La función de producción

Producir es transformar factores productivos (trabajo, capital, materias primas, tecnología) en bienes o servicios. Las decisiones básicas son qué, cuánto, cómo y dónde producir.

Clasificación de los procesos: por proyecto, por lotes (series) y en continuo (en masa). Los factores pueden ser fijos (no cambian con la producción a corto plazo: nave, maquinaria) o variables (cambian con ella: materias primas, horas de trabajo directas).

Productividad

La productividad mide la relación entre lo producido y los recursos empleados.

$$ \text{Productividad de un factor} = \frac{\text{Producción obtenida}}{\text{Cantidad de factor empleado}} $$
  • Productividad del trabajo: unidades por trabajador o por hora trabajada.
  • Productividad global: $\frac{\text{valor de la producción}}{\text{valor de todos los factores empleados}}$.

Variación de la productividad:

$$ \Delta P (\%) = \frac{P_1 - P_0}{P_0} \cdot 100 $$

Factores que la aumentan: formación, mejor tecnología, organización, motivación, economías de escala.

Una fábrica producía 5 000 unidades con 250 horas de trabajo. Tras mejorar el proceso produce 5 400 unidades con 240 horas. Calcula la productividad por hora en cada situación y su variación.

Paso 1. Productividad inicial: $P_0 = \frac{5000}{250} = 20$ unidades/hora.

Paso 2. Productividad final: $P_1 = \frac{5400}{240} = 22{,}5$ unidades/hora.

Paso 3. Variación: $\frac{22{,}5 - 20}{20} \cdot 100 = 12{,}5\ \%$.

Conclusión: la productividad del trabajo ha aumentado un 12,5 %.

Una empresa vende su producción por 120 000 €. Ha empleado 50 000 € de trabajo, 30 000 € de materiales y 20 000 € de otros factores. Calcula la productividad global.

Paso 1. Factores empleados: $50000 + 30000 + 20000 = 100000$ €.

Paso 2. Productividad global: $\frac{120000}{100000} = 1{,}2$.

Interpretación: por cada euro de recursos se obtienen 1,20 € de producción.

Eficiencia técnica y económica

  • Eficiencia técnica: una tecnología es eficiente técnicamente si, para producir lo mismo, usa menos de al menos un factor y no más de ninguno que otra. No depende de los precios.
  • Eficiencia económica: entre las tecnologías técnicamente eficientes, la más eficiente económicamente es la de menor coste total (depende de los precios de los factores).
Para producir 100 unidades hay tres tecnologías: A (5 trabajadores, 2 máquinas), B (4 trabajadores, 3 máquinas), C (6 trabajadores, 3 máquinas). Cada trabajador cuesta 1 000 € y cada máquina 800 €. Determina las eficiencias técnica y económica.

Paso 1. Eficiencia técnica. Comparamos A con C: C usa más trabajadores (6 > 5) y más máquinas (3 > 2). C es ineficiente técnicamente respecto a A. A y B no son comparables (A usa más trabajadores y B más máquinas), por lo que ambas son eficientes técnicamente.

Paso 2. Coste de A: $5 \cdot 1000 + 2 \cdot 800 = 5000 + 1600 = 6600$ €.

Paso 3. Coste de B: $4 \cdot 1000 + 3 \cdot 800 = 4000 + 2400 = 6400$ €.

Paso 4. Coste de C (solo para comparar): $6000 + 2400 = 8400$ €.

Conclusión: A y B son técnicamente eficientes; B es económicamente eficiente (menor coste, 6 400 €).

Los costes de la empresa

CosteDefinición
Costes fijos (CF)No varían con el volumen de producción (alquiler, amortización, seguros).
Costes variables (CV)Varían con la producción: $CV = cv \cdot Q$ (materias primas, energía de producción).
Coste total (CT)$CT = CF + CV$
Coste medio o unitario$CMe = \frac{CT}{Q}$
Coste fijo medio$CFMe = \frac{CF}{Q}$, disminuye al aumentar $Q$
Coste marginalCoste de producir una unidad adicional

También se clasifican en directos (imputables a un producto concreto) e indirectos (comunes a varios).

Una empresa tiene CF = 30 000 €, cv = 15 €/unidad y produce 2 000 unidades. Calcula CV, CT, CMe y CFMe.

Paso 1. Costes variables: $15 \cdot 2000 = 30000$ €.

Paso 2. Coste total: $30000 + 30000 = 60000$ €.

Paso 3. Coste medio: $\frac{60000}{2000} = 30$ €/unidad.

Paso 4. Coste fijo medio: $\frac{30000}{2000} = 15$ €/unidad, y el coste variable medio es 15 €. Se cumple $15 + 15 = 30$.

Umbral de rentabilidad (punto muerto)

El umbral de rentabilidad es el nivel de producción y ventas en el que los ingresos igualan a los costes totales: no hay ni beneficio ni pérdida.

$$ I = CT \;\Rightarrow\; p \cdot Q = CF + cv \cdot Q \;\Rightarrow\; Q^{} = \frac{CF}{p - cv} $$
  • $p - cv$ es el margen de contribución unitario.
  • Ingresos en el umbral: $p \cdot Q^{}$.
  • Con $Q < Q^{}$: pérdidas; con $Q > Q^{}$: beneficios.

Beneficio:

$$ B = I - CT = (p - cv) \cdot Q - CF $$

Cantidad para un beneficio objetivo: $Q = \frac{CF + B}{p - cv}$.

Margen de seguridad: $\frac{Q - Q^{}}{Q} \cdot 100$, indica cuánto pueden bajar las ventas antes de entrar en pérdidas.

Representación gráfica: en el eje horizontal, la cantidad $Q$; en el vertical, euros. Se dibujan la recta de ingresos (pasa por el origen, pendiente $p$), la de costes fijos (horizontal, a altura $CF$) y la de costes totales (parte de $CF$ con pendiente $cv$). El punto donde se cortan las rectas de ingresos y costes totales es el punto muerto. A su izquierda hay zona de pérdidas, a su derecha zona de beneficios.

Una empresa vende un producto a 25 € con un coste variable de 15 € y costes fijos de 30 000 €. Calcula el punto muerto en unidades y en euros.

Paso 1. Margen de contribución: $25 - 15 = 10$ €/unidad.

Paso 2. Punto muerto: $Q^{*} = \frac{30000}{10} = 3000$ unidades.

Paso 3. Ingresos: $25 \cdot 3000 = 75000$ €.

Paso 4. Comprobación: $CT = 30000 + 15 \cdot 3000 = 75000$ €, igual a los ingresos. ✓.

Con los datos anteriores, calcula el beneficio si se venden 4 000 unidades, las unidades necesarias para ganar 20 000 € y el margen de seguridad con 4 000 unidades.

Paso 1. Beneficio con 4 000 unidades: $B = 10 \cdot 4000 - 30000 = 10000$ €.

Paso 2. Unidades para $B = 20000$: $Q = \frac{30000 + 20000}{10} = 5000$ unidades.

Paso 3. Margen de seguridad: $\frac{4000 - 3000}{4000} \cdot 100 = 25\ \%$.

Gestión de inventarios

Las existencias (materias primas, productos en curso, productos terminados) generan costes de pedido (cada vez que se pide), costes de mantenimiento o almacenaje y costes de ruptura (falta de stock).

Modelo de Wilson (EOQ): calcula el tamaño de pedido que minimiza el coste total de gestión.

$$ Q^{} = \sqrt{\frac{2 \cdot D \cdot S}{H}} $$
  • $D$: demanda anual en unidades.
  • $S$: coste de cada pedido.
  • $H$: coste anual de mantener una unidad en almacén.
  • Número de pedidos al año: $N = \frac{D}{Q^{}}$.
  • Coste total de gestión: $CT = \frac{D}{Q}\,S + \frac{Q}{2}\,H$.
  • Punto de pedido = consumo diario × plazo de entrega (en días).
Una empresa consume 3 600 unidades al año. Cada pedido cuesta 50 € y mantener una unidad en el almacén cuesta 2 € al año. Calcula el pedido óptimo, el número de pedidos, el coste de gestión y el punto de pedido (año de 360 días, plazo de entrega de 6 días).

Paso 1. Pedido óptimo: $Q^{*} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3600 \cdot 50}{2}} = \sqrt{180000} \approx 424{,}26$ unidades.

Paso 2. Pedidos al año: $\frac{3600}{424{,}26} \approx 8{,}49$ (unos 8-9 pedidos).

Paso 3. Coste de pedidos: $8{,}49 \cdot 50 \approx 424{,}26$ €.

Paso 4. Coste de almacenar: $\frac{424{,}26}{2} \cdot 2 = 424{,}26$ €. En el óptimo, ambos costes son iguales.

Paso 5. Coste total de gestión: $424{,}26 + 424{,}26 \approx 848{,}53$ €.

Paso 6. Consumo diario: $\frac{3600}{360} = 10$ unidades. Punto de pedido: $10 \cdot 6 = 60$ unidades.

Calidad

Gestión de la calidad: mejorar los productos y procesos para satisfacer al cliente y reducir defectos.

  • Control de calidad: detecta defectos al final.
  • Aseguramiento de la calidad: previene errores en todo el proceso.
  • Calidad total (TQM): toda la empresa participa en la mejora continua (kaizen).
  • Herramientas y normas: círculos de calidad, 5S, Six Sigma, normas ISO 9001 (calidad) e ISO 14001 (ambiental).
En un lote de 1 500 piezas se detectan 45 defectuosas. Calcula el porcentaje de defectos y la cantidad que cumple.

Paso 1. Porcentaje de defectos: $\frac{45}{1500} \cdot 100 = 3\ \%$.

Paso 2. Piezas correctas: $1500 - 45 = 1455$ (97 %).

I+D+i

  • Investigación: generar conocimiento nuevo.
  • Desarrollo: aplicar el conocimiento a prototipos y productos.
  • Innovación: llevar al mercado productos o procesos nuevos.

Se protege con patentes (invenciones), marcas, diseños industriales y derechos de autor. Tiene riesgo y coste alto, pero crea ventajas competitivas; en España existen incentivos fiscales y ayudas públicas (CDTI).

Errores frecuentes

  • Calcular la productividad dividiendo entre el factor equivocado, o comparar productividades con unidades de tiempo distintas.
  • Confundir eficiencia técnica (menos factores) con eficiencia económica (menos coste).
  • Incluir los costes fijos en la fórmula del margen de contribución: $p - cv$ no contiene CF.
  • Dividir los costes fijos entre $p$ en lugar de entre $p - cv$.
  • Olvidar que el punto muerto en euros es $p \cdot Q^{}$.
  • En el EOQ, mezclar unidades (demanda anual con coste de almacenaje mensual).

Resumen

  • Productividad = producción / factor; $\Delta P = \frac{P_1 - P_0}{P_0} \cdot 100$.
  • Eficiencia técnica: menos factores; económica: menor coste.
  • $CT = CF + cv \cdot Q$; $CMe = CT/Q$.
  • Punto muerto: $Q^{} = \frac{CF}{p - cv}$; beneficio: $B = (p - cv) \cdot Q - CF$.
  • EOQ: $Q^{} = \sqrt{\frac{2DS}{H}}$.
  • La calidad total y la I+D+i son fuentes de ventaja competitiva.

1. Una fábrica produce 1 800 unidades con 90 horas de trabajo. ¿Cuál es su productividad (unidades por hora)? (1 punto)

2. La productividad pasa de 20 a 23 unidades por hora. ¿Qué variación porcentual supone? (1 punto)

3. Una empresa tiene costes fijos de 48 000 €, precio de venta 20 € y coste variable unitario 12 €. ¿Cuál es su umbral de rentabilidad en unidades? (1 punto)

4. ¿Qué ingresos tiene en el umbral de rentabilidad la empresa anterior (en €)? (1 punto)

5. Con los datos anteriores, ¿qué beneficio obtiene si vende 8 000 unidades (en €)? (1 punto)

6. Una empresa tiene un umbral de rentabilidad de 4 000 unidades y vende 5 000. ¿Cuál es su margen de seguridad (en %)? (1 punto)

7. Una empresa tiene CF = 18 000 €, cv = 10 € y produce 1 500 unidades. ¿Cuál es el coste medio (en €)? (1 punto)

8. Para producir lo mismo, la tecnología A usa 4 trabajadores y 1 máquina, y la B usa 2 trabajadores y 3 máquinas. Un trabajador cuesta 1 500 € y una máquina 2 000 €. ¿Cuál es la más eficiente económicamente? (1 punto)

9. Demanda anual de 2 400 unidades, coste de pedido 30 € y coste de mantenimiento 1,5 € por unidad y año. ¿Cuál es el pedido óptimo (EOQ, en unidades, 2 decimales)? (1 punto)

10. Si la producción es inferior al umbral de rentabilidad, la empresa: (1 punto)