La producción y los factores
Producir es transformar factores productivos (trabajo, capital, tierra…) en bienes y servicios. La función de producción relaciona la cantidad de factores empleados con la producción máxima obtenible: $Q = f(L, K)$.
- Corto plazo: al menos un factor es fijo (por ejemplo, el tamaño de la fábrica, $K$); solo se puede variar los variables (trabajo, materias primas).
- Largo plazo: todos los factores son variables; la empresa puede cambiar su tamaño.
Productividad
- Producto total ($PT$): producción total con una cantidad dada del factor variable.
- Producto medio (productividad media): $PMe = \frac{PT}{L}$.
- Producto marginal: producción adicional por emplear una unidad más del factor: $PMg = \frac{\Delta PT}{\Delta L}$.
Ley de los rendimientos decrecientes
Si se añade un factor variable a uno fijo, a partir de cierto punto el producto marginal decrece. Ejemplo: con una cocina fija, cada cocinero adicional aporta menos que el anterior.
- Mientras $PMg > PMe$, el $PMe$ sube; cuando $PMg < PMe$, el $PMe$ baja; la curva de $PMg$ corta a la de $PMe$ en su máximo.
- Los rendimientos decrecientes explican por qué el coste marginal acaba creciendo.
Tipos de costes (corto plazo)
| Concepto | Símbolo | Definición |
|---|---|---|
| Costes fijos | $CF$ | No varían con la producción (alquiler, seguros) |
| Costes variables | $CV$ | Dependen de la producción (materias primas, jornales) |
| Coste total | $CT = CF + CV$ | Suma de ambos |
| Coste fijo medio | $CFMe = CF/q$ | Decrece siempre al aumentar $q$ |
| Coste variable medio | $CVMe = CV/q$ | Forma de U |
| Coste medio (unitario) | $CMe = CT/q = CFMe + CVMe$ | Forma de U |
| Coste marginal | $CMg = \frac{\Delta CT}{\Delta q} = \frac{\Delta CV}{\Delta q}$ | Coste de producir una unidad más |
Relaciones clave:
- $CMg$ no depende de los costes fijos.
- El $CMg$ corta al $CMe$ y al $CVMe$ en sus mínimos.
- Si $CMg < CMe$, el $CMe$ baja; si $CMg > CMe$, el $CMe$ sube.
- Si $CT = aq^2 + bq + CF$ entonces $CMg = 2aq + b$ (derivada) y $CMe = aq + b + \frac{CF}{q}$.
Ingresos y beneficio
- Ingreso total: $IT = P \cdot q$. Ingreso medio: $IMe = P$. Ingreso marginal: $IMg = \frac{\Delta IT}{\Delta q}$ (en competencia, $IMg = P$).
- Beneficio: $B = IT - CT = (P - CMe) \cdot q$.
- El beneficio es máximo donde $IMg = CMg$ (con $CMg$ creciente).
- Cierre a corto plazo: la empresa produce si $P \ge CVMe$ mínimo (cubre al menos los costes variables); si no, cierra y pierde solo los $CF$.
- Largo plazo: produce si $P \ge CMe$ mínimo.
Umbral de rentabilidad (punto muerto)
Es la cantidad a partir de la cual los ingresos cubren todos los costes ($B = 0$). Con precio $P$, coste variable unitario $cv$ y costes fijos $CF$:
La diferencia $P - cv$ es el margen de contribución unitario. Por debajo de $q^$ hay pérdidas; por encima, beneficios.
Economías de escala (largo plazo)
El coste medio de largo plazo ($CMeL$) muestra el menor coste por unidad para cada nivel de producción cuando se puede ajustar todo el tamaño:
| Situación | Significado | Causas |
|---|---|---|
| Economías de escala | $CMeL$ decrece al crecer la producción | Especialización, compras al por mayor, repartir costes fijos |
| Rendimientos constantes | $CMeL$ constante | Tamaño eficiente |
| Deseconomías de escala | $CMeL$ crece | Problemas de coordinación y burocracia |
La escala mínima eficiente es la producción donde el $CMeL$ es mínimo.
Ejemplos resueltos
Una panadería tiene esta producción diaria según el número de trabajadores: $L = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ → $Q = 10, 24, 39, 52, 60, 62$. Calcula $PMe$ y $PMg$, e indica desde dónde hay rendimientos decrecientes.
Paso 1. $PMg$ (variación de $Q$ por cada trabajador extra): $10$; $24 - 10 = 14$; $39 - 24 = 15$; $52 - 39 = 13$; $60 - 52 = 8$; $62 - 60 = 2$.
Paso 2. $PMe = Q/L$: $10$; $12$; $13$; $13$; $12$; $10{,}33$.
Paso 3. El $PMg$ llega al máximo con el 3.er trabajador (15) y decrece desde el 4.º (13 < 15): empiezan los rendimientos decrecientes.
Paso 4. El $PMe$ sube mientras $PMg > PMe$ (hasta $L = 3$) y baja desde $L = 5$. En $L = 4$ ambos valen 13: el $PMg$ corta al $PMe$ en el máximo de este.
Una empresa tiene $CT = q^2 + 5q + 50$. Calcula los costes para $q = 1, 2, \ldots, 6$.
Paso 1. Costes fijos: $CF = 50$ (el valor en $q = 0$). Costes variables: $CV = q^2 + 5q$.
Paso 2. Resultados:
| $q$ | $CV$ | $CT$ | $CMe$ | $CMg$ (incremento de $CT$) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 6 | 56 | 56 | 6 |
| 2 | 14 | 64 | 32 | 8 |
| 3 | 24 | 74 | 24,67 | 10 |
| 4 | 36 | 86 | 21,5 | 12 |
| 5 | 50 | 100 | 20 | 14 |
| 6 | 66 | 116 | 19,33 | 16 |
Paso 3. Cálculo de ejemplo con $q = 4$: $CV = 16 + 20 = 36$; $CT = 36 + 50 = 86$; $CMe = \frac{86}{4} = 21{,}5$; $CMg = 86 - 74 = 12$.
Paso 4. El $CMe$ baja mientras $CMg < CMe$ (el $CMg$ sigue siendo menor que el $CMe$ hasta $q = 6$).
Con $CT = q^2 + 5q + 50$, halla la producción que minimiza el coste medio y su valor.
Paso 1. $CMe = q + 5 + \frac{50}{q}$ y $CMg = 2q + 5$.
Paso 2. En el mínimo del $CMe$: $CMg = CMe$ → $2q + 5 = q + 5 + \frac{50}{q}$.
Paso 3. $q = \frac{50}{q} \Rightarrow q^2 = 50 \Rightarrow q = \sqrt{50} \approx 7{,}07$.
Paso 4. $CMe_{min} = 7{,}07 + 5 + \frac{50}{7{,}07} = 7{,}07 + 5 + 7{,}07 = 19{,}14$ €.
Paso 5. Comprobación con enteros: $q = 7 \Rightarrow CT = 49 + 35 + 50 = 134$, $CMe = 19{,}14$; $q = 8 \Rightarrow CT = 154$, $CMe = 19{,}25$. El mínimo está entre ambos ✓.
Con $CT = q^2 + 5q + 50$ y un precio de mercado $P = 25$ € (competencia perfecta), calcula la producción que maximiza el beneficio y el beneficio.
Paso 1. $CMg = 2q + 5$. Regla: $P = CMg$ → $25 = 2q + 5$.
Paso 2. $2q = 20 \Rightarrow q = 10$.
Paso 3. $IT = 25 \times 10 = 250$ €.
Paso 4. $CT = 100 + 50 + 50 = 200$ €.
Paso 5. $B = 250 - 200 = 50$ €.
Paso 6. Comprobación: $CMe = \frac{200}{10} = 20$ → $B = (25 - 20) \times 10 = 50$ ✓.
Un taller vende cada pieza a 12 €, el coste variable por pieza es de 7 € y los costes fijos son 2 000 € al mes. Calcula el umbral de rentabilidad y el beneficio a 600 piezas.
Paso 1. Margen unitario: $12 - 7 = 5$ €.
Paso 2. $q^* = \frac{2\,000}{5} = 400$ piezas.
Paso 3. Comprobación: $IT = 12 \times 400 = 4\,800$ y $CT = 2\,000 + 7 \times 400 = 4\,800$ → $B = 0$ ✓.
Paso 4. Con 600 piezas: $B = 5 \times 600 - 2\,000 = 3\,000 - 2\,000 = 1\,000$ €.
Una empresa puede elegir entre cuatro plantas: 100 unidades con $CT = 1\,000$ €; 200 con $CT = 1\,600$ €; 400 con $CT = 3\,200$ €; 800 con $CT = 7\,200$ €. Analiza las economías de escala.
Paso 1. Costes medios: $\frac{1\,000}{100} = 10$; $\frac{1\,600}{200} = 8$; $\frac{3\,200}{400} = 8$; $\frac{7\,200}{800} = 9$.
Paso 2. De 100 a 200 unidades, el $CMe$ baja (10 → 8): economías de escala.
Paso 3. De 200 a 400 se mantiene en 8: rendimientos constantes (escala mínima eficiente: 200-400 unidades).
Paso 4. De 400 a 800 sube (8 → 9): deseconomías de escala.
En competencia perfecta, una empresa vende a $P = 10$ € y produce 100 unidades con $CT = 1\,300$ € y $CF = 500$ €. ¿Le conviene producir o cerrar a corto plazo?
Paso 1. $CV = 1\,300 - 500 = 800$ € → $CVMe = \frac{800}{100} = 8$ €.
Paso 2. $P = 10 > 8 = CVMe$: cubre los costes variables.
Paso 3. Beneficio produciendo: $IT - CT = 1\,000 - 1\,300 = -300$ € (pérdidas).
Paso 4. Si cierra, pierde los costes fijos: $-500$ €.
Conclusión: conviene seguir produciendo (pierde 300 < 500), porque aporta 200 € para cubrir costes fijos ($1\,000 - 800 = 200$). A largo plazo, como $P < CMe = 13$, saldría del mercado.
Errores frecuentes
- Incluir los costes fijos en el $CMg$: el $CMg$ solo depende de los costes variables.
- Confundir $PMg$ (adicional) con $PMe$ (promedio).
- Decir que los rendimientos decrecientes implican que la producción total baja: solo crece más despacio.
- Creer que los costes fijos son "cero" a largo plazo: a largo plazo todos los costes son variables.
- Calcular el umbral con $P$ en vez de con $P - cv$.
- Confundir beneficio contable y económico (no incluir costes de oportunidad).
- Cerrar al primer signo de pérdidas: a corto plazo se produce si $P \ge CVMe$.
Resumen
- Corto plazo: factor fijo; largo plazo: todos variables.
- $PMg$ decrece (rendimientos decrecientes) y corta al $PMe$ en su máximo.
- $CT = CF + CV$; $CMe = CT/q$; $CMg = \Delta CT/\Delta q$ (corta al $CMe$ en su mínimo).
- $B = IT - CT$; máximo en $IMg = CMg$.
- Umbral de rentabilidad: $q^* = \frac{CF}{P - cv}$.
- Economías de escala: $CMeL$ decrece; deseconomías: crece.