Aceleración

Teoría Ejercicios

Concepto de Aceleración

La aceleración es una magnitud vectorial que mide la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Es fundamental para entender cómo cambia el movimiento de los objetos.

Definición Matemática

La aceleración se define como:

\[\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}\]

En forma de aceleración media entre dos instantes:

\[\vec{a}_{media} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_f - \vec{v}_i}{t_f - t_i}\]

Unidades en el SI: metros por segundo al cuadrado (m/s² o m·s⁻²)

Significado Físico de la Aceleración

La aceleración puede significar:

Cambio en la rapidez: El objeto se mueve más rápido o más lentamente
Cambio en la dirección: El objeto cambia su trayectoria (incluso si mantiene la rapidez constante)
Cambio en ambos aspectos: El objeto cambia tanto rapidez como dirección

Ejemplos de aceleración en la vida cotidiana:

Un automóvil acelerando en una carretera recta (rapidez aumenta, dirección igual)
Un automóvil girando a rapidez constante (rapidez igual, dirección cambia)
Un automóvil en una curva ascendente (rapidez disminuye, dirección cambia)
Un objeto en caída libre (rapidez aumenta hacia abajo)

Aceleración y Fuerza: Segunda Ley de Newton

Existe una relación directa entre aceleración y fuerza según la Segunda Ley de Newton:

\[\vec{F}{neta} = m \cdot \vec{a}\]

Despejando la aceleración:

\[\vec{a} = \frac{\vec{F}{neta}}{m}\]

Esto significa:

La aceleración es directamente proporcional a la fuerza neta aplicada
La aceleración es inversamente proporcional a la masa del objeto
Si aumenta la fuerza, aumenta la aceleración
Si aumenta la masa, disminuye la aceleración (para la misma fuerza)

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

El Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) es un tipo especial de movimiento donde:

Trayectoria: Línea recta
Aceleración: Constante (no cambia con el tiempo)
Velocidad: Varía linealmente
Posición: Varía cuadráticamente

Características clave del MRUA

Aspecto	MRU	MRUA
Velocidad	Constante	Cambia linealmente
Aceleración	Cero	Constante (no cero)
Fuerza neta	Cero	Constante
Gráfica x-t	Línea recta	Parábola
Gráfica v-t	Línea horizontal	Línea inclinada
Gráfica a-t	Línea en cero	Línea horizontal

Ecuaciones Fundamentales del MRUA

Para un objeto con posición inicial \(x_0\), velocidad inicial \(v_0\) y aceleración constante \(a\):

1. Velocidad en función del tiempo:

\[v = v_0 + a \cdot t\]

2. Posición en función del tiempo:

\[x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a t^2\]

3. Relación velocidad-posición (sin tiempo):

\[v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)\]

4. Posición media:

\[x_{media} = x_0 + \frac{v_0 + v}{2} \cdot t\]

5. Aceleración:

\[a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{\Delta v}{\Delta t}\]

Ecuación clave: Cuando \(v_0 = 0\) (parte del reposo)

\[v^2 = 2ax\]

\[x = \frac{1}{2}at^2\]

\[v = at\]

Gráficas del MRUA

Las gráficas características del MRUA son:

Gráfica posición-tiempo (x-t):

Forma: Parábola
Si \(a > 0\): Parábola abierta hacia arriba
Si \(a < 0\): Parábola abierta hacia abajo
Pendiente: Aumenta o disminuye (no es constante)
Significado: La pendiente en cualquier punto es la velocidad instantánea

Gráfica velocidad-tiempo (v-t):

Forma: Línea recta inclinada
Pendiente: Igual a la aceleración (\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\))
Si \(a > 0\): Línea con pendiente positiva
Si \(a < 0\): Línea con pendiente negativa
Área bajo la curva: Representa el desplazamiento

Gráfica aceleración-tiempo (a-t):

Forma: Línea horizontal
Altura: Constante e igual a \(a\)
Si \(a > 0\): Línea por encima del eje x
Si \(a < 0\): Línea por debajo del eje x
Área bajo la curva: Representa el cambio de velocidad

Casos Especiales del MRUA

Caída Libre

La caída libre es un caso particular del MRUA donde la única aceleración que actúa es la aceleración de la gravedad terrestre (\(g\)). En ausencia de resistencia del aire:

Características:

Aceleración: \(g \approx 9.8 \text{ m/s}^2\) (hacia abajo)
Propiedad sorprendente: Todos los objetos, sin importar su masa, caen con la misma aceleración
Razón: La fuerza gravitatoria es proporcional a la masa (\(F = mg\)), por lo que la aceleración es independiente de la masa

Ecuaciones de Caída Libre

Considerando el eje Y positivo hacia arriba y el origen en el punto de lanzamiento:

Velocidad en función del tiempo:

\[v = v_0 - g \cdot t\]

Altura en función del tiempo:

\[h = h_0 + v_0 \cdot t - \frac{1}{2}g \cdot t^2\]

Relación velocidad-altura:

\[v^2 = v_0^2 - 2g(h - h_0)\]

Casos Particulares de Caída Libre

1. Caída desde el reposo (\(v_0 = 0\))

\[v = -gt\]

\[h = h_0 - \frac{1}{2}gt^2\]

\[v^2 = -2g(h - h_0)\]

2. Lanzamiento vertical hacia arriba (\(v_0 > 0\))

El objeto sube hasta una altura máxima donde \(v = 0\), luego cae.

Tiempo de subida:

\[t_{subida} = \frac{v_0}{g}\]

Altura máxima:

\[h_{max} = h_0 + \frac{v_0^2}{2g}\]

Tiempo total de vuelo (regresa al punto de partida):

\[t_{total} = \frac{2v_0}{g}\]

Problema resuelto: Lanzamiento vertical

Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Determina: a) Tiempo para alcanzar la altura máxima:

\[t = \frac{20}{9.8} \approx 2.04 \text{ s}\]

b) Altura máxima (desde el punto de lanzamiento):

\[h = \frac{20^2}{2 \times 9.8} = \frac{400}{19.6} \approx 20.4 \text{ m}\]

c) Tiempo total de vuelo:

\[t = \frac{2 \times 20}{9.8} \approx 4.08 \text{ s}\]

Frenado de Vehículos

El frenado de un vehículo es un ejemplo de MRUA donde la aceleración es negativa (desaceleración). Cuando un conductor ve un obstáculo:

Tiempo de reacción: Durante este tiempo, el vehículo mantiene velocidad constante
Frenado: Desaceleración aproximadamente constante

La distancia total de frenado es la suma de:

\[d_{total} = d_{reacción} + d_{frenado}\]

\[d_{total} = v \cdot t_{reacción} + \frac{v^2}{2a}\]

Resolución Sistemática de Problemas de MRUA

Metodología (Paso a Paso)

Identificar el tipo de movimiento: ¿Es MRUA? ¿Aceleración constante?

Establecer un sistema de referencia: Origen, sentido positivo y escala de tiempo

Listar todos los datos conocidos:

- Posición inicial (\(x_0\) o \(h_0\)) - Velocidad inicial (\(v_0\)) - Aceleración (\(a\)) - Tiempo (\(t\)) o posición final (\(x_f\))

Seleccionar la ecuación apropiada según los datos disponibles:

- Si tengo \(v\), \(v_0\), \(a\), \(t\) → usar \(v = v_0 + at\) - Si tengo \(x\), \(x_0\), \(v_0\), \(a\), \(t\) → usar \(x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) - Si no tengo \(t\) → usar \(v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)\)

Resolver la ecuación algebraicamente para la incógnita

Verificar:

- Unidades coherentes - Sentido físico del resultado - Signos correctos según el sistema de referencia

Problemas Resueltos

Ejemplo 1: Aceleración a partir de cambio de velocidad

Un automóvil aumenta su velocidad de 0 a 90 km/h en 12 segundos. Calcula su aceleración. Paso 1: Convertir unidades \(v_0 = 0 \text{ m/s}\) \(v_f = 90 \text{ km/h} = 90 ÷ 3.6 = 25 \text{ m/s}\) \(t = 12 \text{ s}\) Paso 2: Aplicar ecuación \(a = \frac{v_f - v_0}{t} = \frac{25 - 0}{12} = 2.08 \text{ m/s}^2\)

Ejemplo 2: Caída de un objeto desde una altura

Se deja caer una piedra desde lo alto de un edificio de 45 metros. Determina el tiempo de caída y la velocidad al llegar al suelo. Datos:

\(h_0 = 45 \text{ m}\)
\(v_0 = 0\) (se deja caer)
\(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)

Tiempo de caída: \(h = \frac{1}{2}gt^2\) \(45 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2\) \(t^2 = \frac{45 \times 2}{9.8} = 9.18\) \(t = 3.03 \text{ s}\) Velocidad final: \(v = gt = 9.8 \times 3.03 = 29.7 \text{ m/s}\)

Ejemplo 3: Distancia de frenado con tiempo de reacción

Un automóvil viaja a 108 km/h cuando el conductor ve un obstáculo. Si sus reflejos tardan 0.8 segundos en reaccionar y la desaceleración es de 5 m/s², ¿cuál es la distancia total? Paso 1: Convertir velocidad \(v = 108 ÷ 3.6 = 30 \text{ m/s}\) Paso 2: Distancia durante reacción (MRU) \(d_1 = v \cdot t = 30 \times 0.8 = 24 \text{ m}\) Paso 3: Distancia de frenado (MRUA con \(v_f = 0\)) \(v_f^2 = v^2 + 2ad\) \(0 = 30^2 - 2 \times 5 \times d_2\) \(d_2 = \frac{900}{10} = 90 \text{ m}\) Paso 4: Distancia total \(d_{total} = 24 + 90 = 114 \text{ m}\)