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Movimiento Circular Uniforme (MCU): Conceptos Fundamentales
El Movimiento Circular Uniforme (MCU) es aquel en el que un objeto describe una trayectoria circular con velocidad angular constante. Es uno de los movimientos más importantes en la física, presente en muchos dispositivos mecánicos: ruedas de automóviles, engranajes, motores eléctricos, turbinas, y en fenómenos naturales como el movimiento orbital de los planetas alrededor del Sol o la rotación de la Tierra sobre su eje.
Importancia del MCU
- Tecnología: Máquinas rotativas, motores, turbinas, compresores
- Astronomía: Órbitas planetarias, satélites artificiales
- Deporte: Movimiento de una pelota en un movimiento circular
- Ingeniería: Cálculo de fuerzas en sistemas rotativos
Características fundamentales del MCU
| Característica | Descripción |
|---|---|
| Trayectoria | Circunferencia (círculo perfecto) |
| Velocidad angular (ω) | Constante en módulo y dirección |
| Velocidad tangencial (v) | Módulo constante, dirección variable (tangente al círculo) |
| Aceleración centrípeta | Siempre presente, dirigida hacia el centro |
| Aceleración tangencial | Cero (no hay cambios en la rapidez) |
El Radián: Unidad de Medida de Ángulos
El radián es la unidad estándar de medida de ángulos en el Sistema Internacional (SI). Se define como el ángulo subtendido en el centro de un círculo por un arco cuya longitud es igual al radio del círculo.
\[\text{Ángulo (radianes)} = \frac{\text{Longitud del arco}}{\text{Radio}} = \frac{s}{r}\]
Conversión fundamental:
- Un círculo completo: \(2\pi\) radianes = \(360°\)
- \(1\) radián \(\approx 57.3°\)
- \(1°\) \(\approx 0.01745\) radianes
| Grados | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radianes | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π |
Magnitudes fundamentales del MCU
1. Periodo (T)
Es el tiempo que tarda el móvil en completar una vuelta completa alrededor de la circunferencia.
- Símbolo: T
- Unidad SI: segundos (s)
- Ejemplo: Si una rueda da una vuelta cada 2 segundos, su período es T = 2 s
2. Frecuencia (f)
Es el número de vueltas (revoluciones) que realiza el móvil en la unidad de tiempo.
- Símbolo: f
- Unidad SI: hertzios (Hz) o revoluciones por segundo (s⁻¹)
- Relación con el período: \[f = \frac{1}{T}\]
- Ejemplo: Si una rueda da 5 vueltas por segundo, su frecuencia es f = 5 Hz
3. Velocidad angular (ω)
Es el ángulo (en radianes) que recorre el móvil por unidad de tiempo.
- Símbolo: ω (omega)
- Unidad SI: radianes por segundo (rad/s)
- Fórmulas:
\[\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}\]
\[\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f\]
- Interpretación: Indica qué tan rápido gira el objeto alrededor del centro
4. Velocidad tangencial o lineal (v)
Es la velocidad lineal instantánea del móvil, siempre tangente a la trayectoria circular. Es la velocidad que tendría el objeto si dejara de moverse en círculo.
- Símbolo: v
- Unidad SI: metros por segundo (m/s)
- Fórmulas:
\[v = \omega \cdot r\]
\[v = \frac{2\pi r}{T}\]
\[v = 2\pi r f\]
- Relación: A mayor radio o mayor velocidad angular, mayor velocidad tangencial
- Importante: El módulo de v es constante, pero su dirección cambia continuamente
5. Aceleración centrípeta (aₙ o aᶜ)
Es la aceleración dirigida hacia el centro de la circunferencia que mantiene al móvil en su trayectoria circular. Sin esta aceleración, el objeto saldría disparado tangencialmente.
- Símbolo: aₙ o aᶜ
- Unidad SI: metros por segundo al cuadrado (m/s²)
- Fórmulas:
\[a_n = \frac{v^2}{r}\]
\[a_n = \omega^2 \cdot r\]
\[a_n = \frac{4\pi^2 r}{T^2}\]
- Segunda Ley de Newton: La fuerza centrípeta es: \[F_n = m \cdot a_n = m \cdot \frac{v^2}{r}\]
Relaciones entre magnitudes en el MCU
Esta tabla resume las principales relaciones entre magnitudes:
| Magnitud | Fórmula | Unidades SI | Relación |
|---|---|---|---|
| Periodo (T) | \(T = \frac{1}{f}\) | s | Inversa con frecuencia |
| Frecuencia (f) | \(f = \frac{1}{T}\) | Hz | Inversa con período |
| Velocidad angular (ω) | \(\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f\) | rad/s | Proporcional a f |
| Velocidad tangencial (v) | \(v = \omega r = \frac{2\pi r}{T}\) | m/s | Proporcional a ω y r |
| Aceleración centrípeta (aₙ) | \(a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r\) | m/s² | Proporcional a v² e ω² |
| Fuerza centrípeta (Fₙ) | \(F_n = m \cdot a_n = m\frac{v^2}{r}\) | N | Proporcional a m y a aₙ |
Relaciones y equivalencias útiles
Para resolver problemas de MCU es fundamental entender cómo están interconectadas las magnitudes:
\[\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f\]
\[v = \omega r = \frac{2\pi r}{T}\]
\[a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}\]
Estas ecuaciones permiten convertir de una forma a otra según los datos disponibles.
Problemas Resueltos
Ejemplo 1: Rueda girando a velocidad angular constante
Datos: Radio r = 2 m, velocidad angular ω = 3 rad/s
Calcular: Velocidad tangencial (v), período (T), frecuencia (f) y aceleración centrípeta (aₙ)
Solución:
1) Velocidad tangencial:
\[v = \omega \cdot r = 3 \text{ rad/s} \times 2 \text{ m} = 6 \text{ m/s}\]
2) Período: \[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3} = \frac{6.28}{3} \approx 2.09 \text{ s}\]
(El tiempo para dar una vuelta completa es aproximadamente 2.09 segundos)
3) Frecuencia: \[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2.09} \approx 0.478 \text{ Hz}\]
(Realiza aproximadamente 0.478 vueltas por segundo, o 28.7 vueltas por minuto)
4) Aceleración centrípeta: \[a_n = \omega^2 \cdot r = (3)^2 \times 2 = 9 \times 2 = 18 \text{ m/s}^2\]
Dirigida hacia el centro de la circunferencia
Fuerza centrípeta (si conocemos la masa): Si m = 0.5 kg, entonces:
\[F_n = m \cdot a_n = 0.5 \text{ kg} \times 18 \text{ m/s}^2 = 9 \text{ N}\]
Ejemplo 2: Disco de vinilo rotando
Datos: Un disco de vinilo gira a 33.33 revoluciones por minuto (rpm)
Calcular: Frecuencia en Hz (f), período (T) y velocidad angular (ω)
Solución:
1) Conversión de rpm a Hz:
\[f = \frac{33.33 \text{ rpm}}{60 \text{ s/min}} = \frac{33.33}{60} = 0.556 \text{ Hz}\]
(Completa 0.556 vueltas cada segundo)
2) Período:
\[T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0.556} \approx 1.80 \text{ s}\]
(Tarda 1.80 segundos en dar una vuelta completa)
3) Velocidad angular:
\[\omega = 2\pi f = 2\pi \times 0.556 = 2 \times 3.1416 \times 0.556 \approx 3.49 \text{ rad/s}\]
Nota: Si el radio del disco es 15 cm = 0.15 m, la velocidad tangencial del borde sería:
\[v = \omega r = 3.49 \text{ rad/s} \times 0.15 \text{ m} = 0.524 \text{ m/s}\]
Ejemplo 3: Satélite geoestacionario
Datos: Un satélite geoestacionario debe permanecer sobre el mismo punto de la Tierra. El período es exactamente el mismo que el de rotación terrestre: T = 24 horas = 86,400 s. Radio de órbita: r = 42,164 km = 4.2164 × 10⁷ m
Calcular: Velocidad angular (ω), frecuencia (f) y velocidad tangencial (v)
Solución:
1) Velocidad angular:
\[\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{86,400} = \frac{6.283}{86,400} = 7.27 \times 10^{-5} \text{ rad/s}\]
2) Frecuencia:
\[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{86,400} = 1.157 \times 10^{-5} \text{ Hz}\]
(Una vuelta cada 24 horas)
3) Velocidad tangencial:
\[v = \omega r = 7.27 \times 10^{-5} \times 4.2164 \times 10^7 = 3,065 \text{ m/s} \approx 3.07 \text{ km/s}\]
(Viaja a más de 3 km/s para mantener la sincronización con la Tierra)