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Problemas de encuentro
Los problemas de encuentro son problemas en la que dos o mas móviles se mueven en una misma dimensión y se pide determinar cuándo o dónde se encuentran. Lo mas típicos son:
- Salen a la vez en sentidos opuestos y se pide el tiempo o lugar de encuentro
- Salen en tiempos diferentes en el mismo sentido y se pide el tiempo o lugar de alcance.
Si se mueven en sentidos opuestos sus velocidades tendrán signos contrarios
Los problemas consisten en un sistema de ecuaciones para cada móvil: \(v_a= \frac{\Delta x_a}{\Delta t_a}\) y \(v_b= \frac{\Delta x_b}{\Delta t_b}\)
Problemas de encuentro en sentidos opuestos
Método sistema de referencia externo
Este método es el más intuitivo ya que describe el movimiento tal y como lo vería una persona situada fuera de ambos móviles.
- Si salen a la vez el tiempo de encuentro es el mismo: \(v_a= \frac{\Delta x_a}{t}\) y \(v_b= \frac{\Delta x_b}{t}\)
- La posicion final de los dos es la misma: \(v_a= \frac{x-x_{0a}}{t}\) y \(v_b= \frac{x-x_{0b}}{t}\)
- A una de las posiciones iniciales se le asigna el valor 0: \(v_a= \frac{x}{t}\) y \(v_b= \frac{x-x_{0b}}{t}\)
- Se puede resolver el sistema de ecuaciones sacando \(t\) o \(x\):
Método sistema de referencia de uno de los móviles
Este método analiza el movimiento desde la perspectiva de uno de los móviles, simplificando su calculo.
- El movil dereferencia ve acercarse al otro más rápido sumando las velocidades: \(v_{rel} = |v_a| + |v_b|\)
- El tiempo de encuentro es el mismo para ambos: \(t = |t_b - t_a|\)
- La distancia inicial entre ambos es la separación que tienen al inicio: \(\Delta x_a = \Delta x_b = d\)
- Se puede estudiar como un MRU simple: \(v_{rel} = \frac{d}{t}\)
1: Dos coches parten simultáneamente desde dos ciudades separadas 180 km. Uno viaja a 70 km/h y el otro a 50 km/h, acercándose uno al otro. ¿Cuándo se encuentran y a qué distancia de la primera ciudad?
Método de sistema de referencia externo:
\(\begin{cases} 70= \frac{x}{t} \\ -50= \frac{x-180}{t} \end{cases}\)
\(\begin{cases} 70t = x \\ -50t = x-180 \end{cases}\)
\(-50t = (70t)-180 \Rightarrow 120t = 180 \Rightarrow t = 1.5 \text{h}\)
\(x = 70t = 105 \text{km}\)
Método de sistema de referencia de uno de los móviles:
\(v_{rel} = 70 + 50 = 120 \text{km/h}\)
\(t = \frac{180}{120} = 1.5 \text{h}\)
\(x = 70t = 105 \text{km}\)
Problemas de alcance en el mismo sentido
Método sistema de referencia externo
- Si salen de un mismo punto recorren el mismo espacio: \(v_a= \frac{x}{\Delta t}\) y \(v_b= \frac{x}{\Delta t}\)
- El tiempo final es el mismo: \(v_a= \frac{x}{t-t_{0a}}\) y \(v_b= \frac{x}{t-t_{0b}}\)
- El movil que sale primero se le asigna el tiempo inicial 0: \(v_a= \frac{x}{t}\) y \(v_b= \frac{x}{t-t_0}\)
- Se puede resolver el sistema de ecuaciones sacando \(t\) o \(x\):
Método sistema de referencia de uno de los móviles
- El movil de referencia ve alejarse al otro más lento restando las velocidades: \(v_{rel} = |v_a| - |v_b|\)
- La distancia inicial entre ambos es la ventaja que tiene el móvil que sale primero: \(\Delta x_a = \Delta x_b = d\)
- La difeerncia del tiempo de salida: \(t = |t_b - t_a|\)
- Se puede estudiar como un MRU simple: \(v_{rel} = \frac{d}{t}\)
2 Un ciclista sale a las 8:00 am a 20 km/h. A las 8:30 am, otro ciclista sale del mismo punto a 30 km/h. ¿A qué hora alcanza el segundo al primero?
Ponemos el tiempo en horas. La ventaja del primer ciclista es de 0.5 h.
Método sistema de referencia externo
\(\begin{cases} 20= \frac{x}{t} \\ 30= \frac{x}{t-0.5} \end{cases}\)
\(\begin{cases} 20t = x \\ 30(t-0.5) = x \end{cases}\)
\(20t = 30t - 15 \Rightarrow 10t = 15 \Rightarrow t = 1.5 \text{h}\)
El segundo ciclista alcanza al primero a las 8:00 am + 1.5 h = 9:30 am.
Método sistema de referencia de uno de los móviles
\(v_{rel} = 30 - 20 = 10 \text{km/h}\)
\(t = \frac{0.5 \cdot 20}{10} = 1 \text{h}\)
El segundo ciclista alcanza al primero a las 8:30 am + 1 h = 9:30 am.
Posiciones y tiempos diferentes
Se debe elegir un sentido del movimiento y posicionar cada movil en su punto y sentido de la velocidad adecuados.
Resolver el sistema de ecuaciones o aplicar la velocidad relativa según corresponda.
3 Un tren sale de una estación a las 9:00 h a 60 km/h. A las 10:00 h, otro tren sale de otra estación situada a 300 km de la primera, a 100 km/h y en sentido contrario. Calcula cuándo y dónde se encuentran
Primero se identifica el primer tren como como posición 0 y velocidad positiva.
El segundo tren tien posicion inicial 300 km y velocidad negativa, ya que va en sentido contrario.
Se resuelve el sistema de ecuaciones:
\(\begin{cases} 60= \frac{x-0}{t-0} = \frac{x}{t} \\ -100= \frac{x-300}{t-1} \end{cases}\)
\(\begin{cases} 60t = x \\ -100(t-1) = x-300 \end{cases}\)
\(-100(t-1) = (60t)-300\)
\(-100t + 100 = 60t - 300\)
\(160t = 400\)
\(t = \frac{400}{160} = 2.5 \text{h}\)
El encuentro es a las 9:00 h + 2.5 h = 11:30 h.
La posición de encuentro es \(x = 60t = 60 \cdot 2.5 = 150 \text{km}\) desde la primera estación.
Método de sistema de referencia de uno de los móviles
El primer tren ve al segundo acercarse a una velocidad relativa de \(60 + 100 = 160 \text{km/h}\).
El primer tren tiene una ventaja de 1 h, lo que equivale a 60 km de distancia.
El tiempo de encuentro es \(t = \frac{60}{160} = 0.375 \text{h}\) después de la salida del segundo tren, es decir a las 10:22.5 h.
La posición de encuentro es \(x = 60t = 60 \cdot 2.5 = 150 \text{km}\) desde la primera estación.