Teoría Ejercicios

Concepto de Movimiento Parabólico

El movimiento parabólico es un tipo de movimiento compuesto que resulta de la combinación de dos movimientos simples:

  • Movimiento horizontal: Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
  • Movimiento vertical: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

Definición

Un movimiento parabólico (o tiro parabólico) es el movimiento de un objeto lanzado bajo la aceleración de la gravedad, donde la única fuerza actuante es el peso del objeto (en ausencia de resistencia del aire).

Características Principales

  1. Trayectoria: Forma una parábola perfecta (en ausencia de resistencia del aire)
  2. Aceleración: Constante e igual a la aceleración de la gravedad (\(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)), dirigida verticalmente hacia abajo
  3. Velocidad horizontal: Constante durante todo el movimiento
  4. Velocidad vertical: Varía linealmente según el tiempo
  5. Independencia de movimientos: Los componentes horizontal y vertical son independientes entre sí
Principio de Galileo:

Los movimientos horizontal y vertical son completamente independientes. El tiempo de vuelo depende solo del movimiento vertical, mientras que el alcance horizontal depende de la velocidad inicial horizontal.

Análisis de Componentes

Descomposición de la Velocidad Inicial

Cuando se lanza un objeto con una velocidad inicial \(v_0\) en un ángulo \( heta\) respecto a la horizontal:

Componente horizontal (x):
\[v_{0x} = v_0 \cos\theta\]
Componente vertical (y):
\[v_{0y} = v_0 \sin\theta\]

Donde:

  • \(v_0\) = magnitud de la velocidad inicial
  • \( heta\) = ángulo de lanzamiento (respecto a la horizontal)

Ecuaciones de Movimiento por Componentes

Movimiento Horizontal (MRU)

\[x(t) = x_0 + v_{0x} cdot t\]

Donde:

  • \(x(t)\) = posición horizontal en el tiempo \(t\)
  • \(v_{0x}\) = velocidad horizontal constante
  • El tiempo nunca aparece elevado al cuadrado (MRU)

Movimiento Vertical (MRUA)

\[v_y(t) = v_{0y} - g cdot t\]

\[y(t) = y_0 + v_{0y} cdot t - \frac{1}{2}g t^2\]

\[v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g(y - y_0)\]

Donde:

  • \(v_y(t)\) = componente vertical de la velocidad
  • \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\) = aceleración de la gravedad
  • El tiempo aparece elevado al cuadrado (MRUA)

Velocidad Instantánea

En cualquier momento del movimiento, la velocidad total tiene componentes:

\[v_x = v_{0x} = \text{constante}\]

\[v_y = v_{0y} - gt\]

Magnitud de la velocidad:
\[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\]
Ángulo de la velocidad:
\[\alpha = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right)\]

Ecuación de la Trayectoria

Eliminando el tiempo entre las ecuaciones de \(x(t)\) e \(y(t)\), se obtiene la ecuación de la trayectoria:

\[y = y_0 + (x - x_0)\tan\theta - \frac{g(x - x_0)^2}{2v_0^2\cos^2\theta}\]

Esta ecuación confirma que la trayectoria es una parábola.

Casos Especiales del Movimiento Parabólico

1. Lanzamiento Horizontal

Cuando se lanza un objeto horizontalmente desde cierta altura (\( heta = 0°\)):

Condiciones iniciales:
  • \(v_{0x} = v_0\) (velocidad inicial horizontal)
  • \(v_{0y} = 0\) (sin componente vertical inicial)
  • \(y_0 = h\) (altura inicial)
Ecuaciones simplificadas:

Tiempo de vuelo (tiempo para alcanzar el suelo):

\[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\]

Alcance horizontal:

\[x = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}\]

Velocidad al llegar al suelo:

\[v_y = \sqrt{2gh}\]

\[v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}\]

Ejemplo: Lanzamiento horizontal

Se lanza una piedra horizontalmente desde un acantilado de 45 metros de altura con una velocidad inicial de 15 m/s.

Tiempo de vuelo:
\[t = \sqrt{\frac{2 \times 45}{9.8}} = \sqrt{9.18} \approx 3.03 \text{ s}\]
Alcance horizontal:
\[x = 15 \times 3.03 = 45.45 \text{ m}\]
Velocidad vertical al impacto:
\[v_y = 9.8 \times 3.03 = 29.7 \text{ m/s}\]
Velocidad total al impacto:
\[v = \sqrt{15^2 + 29.7^2} = \sqrt{225 + 882} = \sqrt{1107} \approx 33.3 \text{ m/s}\]

2. Lanzamiento Oblicuo

El lanzamiento oblicuo es el caso más general, donde se lanza un objeto en un ángulo \( heta\) respecto a la horizontal, con velocidad inicial \(v_0\).

Condiciones iniciales:
  • \(v_{0x} = v_0\cos\theta\)
  • \(v_{0y} = v_0\sin\theta\)
  • \(y_0 = 0\) (se lanza desde el suelo) o \(y_0 = h\) (se lanza desde altura)

Tiempo de Vuelo

Cuando regresa al mismo nivel de lanzamiento (\(y = y_0\)):

\[t_{vuelo} = \frac{2v_0\sin\theta}{g}\]

Altura Máxima

La altura máxima se alcanza cuando \(v_y = 0\):

\[h_{max} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}\]

\[t_{subida} = \frac{v_0\sin\theta}{g}\]

Alcance Máximo

La distancia horizontal cuando regresa al nivel de lanzamiento:

\[R = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}\]

Nota: El alcance máximo se obtiene con \( heta = 45°\), donde \(sin(2 heta) = 1\)

\[R_{max} = \frac{v_0^2}{g}\]

Propiedad importante:

Dos ángulos complementarios (\( heta\) y \(90° - heta\)) producen el mismo alcance horizontal, aunque diferentes alturas máximas y tiempos de vuelo.

Ejemplo: Lanzamiento oblicuo

Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 30 m/s en un ángulo de 30° respecto a la horizontal.

Componentes iniciales:
\[v_{0x} = 30\cos(30°) = 30 \times 0.866 = 25.98 \text{ m/s}\]
\[v_{0y} = 30\sin(30°) = 30 \times 0.5 = 15 \text{ m/s}\]
Tiempo de vuelo:
\[t = \frac{2 \times 15}{9.8} = 3.06 \text{ s}\]
Altura máxima:
\[h_{max} = \frac{15^2}{2 \times 9.8} = \frac{225}{19.6} = 11.48 \text{ m}\]
Alcance horizontal:
\[R = \frac{30^2 \times \sin(60°)}{9.8} = \frac{900 \times 0.866}{9.8} = 79.8 \text{ m}\]

3. Lanzamiento desde Altura Diferente

Cuando se lanza desde una altura \(h\) (no desde el suelo):

El tiempo de vuelo debe calcularse resolviendo la ecuación:

\[0 = h + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2\]

\[\frac{1}{2}gt^2 - v_{0y}t - h = 0\]

Usando la fórmula cuadrática:

\[t = \frac{v_{0y} + \sqrt{v_{0y}^2 + 2gh}}{g}\]

El alcance horizontal será entonces:

\[x = v_{0x} cdot t\]

Características de la Trayectoria Parabólica

Propiedades Importantes

  1. Simetría vertical:
- Si el objeto es lanzado desde el suelo (\(y_0 = 0\)), el punto de máxima altura ocurre exactamente a la mitad del tiempo de vuelo - La velocidad de subida es igual en magnitud pero opuesta en dirección a la velocidad de bajada
  1. Relación entre ángulo y alcance:
- El ángulo de lanzamiento más efectivo para máximo alcance es \(45°\) - Ángulos menores dan trayectorias más achatadas - Ángulos mayores dan trayectorias más verticales
  1. Velocidad mínima:
- La velocidad total es mínima en el punto más alto de la trayectoria - En ese punto, solo existe componente horizontal: \(v_{min} = v_{0x}\)
  1. Ángulo de impacto:
- El ángulo con el que el objeto golpea el suelo es igual en magnitud pero opuesto en sentido al ángulo de lanzamiento - Si se lanza con ángulo \( heta\), impacta con ángulo \(- heta\) respecto a la horizontal

Gráficas Características

Gráfica posición-tiempo (y vs t):
  • Forma parabólica
  • Si se lanza desde el suelo, el máximo está en \(t = \frac{v_0\sin\theta}{g}\)
Gráfica velocidad vertical-tiempo (v_y vs t):
  • Línea recta inclinada (MRUA)
  • Intersecta el eje x en \(t = \frac{v_0\sin\theta}{g}\) (altura máxima)
Gráfica trayectoria (y vs x):
  • Parábola perfecta
  • Pasa por el origen si se lanza desde el origen
  • Máximo en \(x = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{2g}\)

Aplicaciones del Movimiento Parabólico

En la Vida Cotidiana y Deportes

  1. Deportes con balón:
- Lanzamiento en fútbol americano - Tiro en baloncesto - Lanzamiento en béisbol - Saque en tenis
  1. Otros ejemplos:
- Trayectoria de un chorro de agua - Movimiento de fuegos artificiales - Trayectoria de un saltador de esquí - Caída de objetos desde aviones

En Ingeniería y Física

  • Balística: Cálculo de alcance de proyectiles
  • Astronáutica: Trayectorias de naves espaciales en campos gravitacionales débiles
  • Hidráulica: Trayectorias de chorros de agua
  • Artes marciales: Análisis de movimiento en deportes de combate

Resolución Sistemática de Problemas

Metodología

  1. Identificar el tipo de lanzamiento:
- ¿Horizontal (\( heta = 0°\))? - ¿Oblicuo (ángulo arbitrario)? - ¿Desde el suelo o desde altura?
  1. Establecer un sistema de referencia:
- Origen, ejes coordenados, sentido positivo
  1. Descomponer la velocidad inicial:
- \(v_{0x} = v_0cos heta\) - \(v_{0y} = v_0sin heta\)
  1. Seleccionar las ecuaciones apropiadas:
- Para x: \(x = x_0 + v_{0x}t\) - Para y: \(y = y_0 + v_{0y}t - rac{1}{2}gt^2\)
  1. Resolver según lo que se pida:
- Tiempo de vuelo, alcance, altura máxima, velocidad final, etc.
  1. Verificar:
- Unidades coherentes - Sentido físico del resultado - Orden de magnitud razonable

Problemas Resueltos

Problema 1: Lanzamiento horizontal desde una altura

Una pelota se lanza horizontalmente desde un edificio de 20 metros de altura con una velocidad inicial de 10 m/s. Calcula:

a) Tiempo de caída:

\[t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.8}} = \sqrt{4.08} \approx 2.02 \text{ s}\]

b) Alcance horizontal:

\[x = v_0 \times t = 10 \times 2.02 = 20.2 \text{ m}\]

c) Velocidad vertical al impacto:

\[v_y = gt = 9.8 \times 2.02 = 19.8 \text{ m/s}\]

d) Velocidad total al impacto:

\[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{10^2 + 19.8^2} = \sqrt{100 + 392} = \sqrt{492} \approx 22.2 \text{ m/s}\]

Problema 2: Lanzamiento oblicuo

Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 50 m/s en un ángulo de 37° respecto a la horizontal. Calcula:

a) Componentes iniciales:

\[v_{0x} = 50\cos(37°) = 50 \times 0.8 = 40 \text{ m/s}\]

\[v_{0y} = 50\sin(37°) = 50 \times 0.6 = 30 \text{ m/s}\]

b) Tiempo de vuelo:

\[t = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2 \times 30}{9.8} = 6.12 \text{ s}\]

c) Altura máxima:

\[h = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{30^2}{2 \times 9.8} = \frac{900}{19.6} = 45.9 \text{ m}\]

d) Alcance horizontal:

\[R = v_{0x} \times t = 40 \times 6.12 = 244.8 \text{ m}\]

Problema 3: Encontrar el ángulo para máximo alcance

¿Qué ángulo de lanzamiento maximiza el alcance para una velocidad inicial de 40 m/s?

El alcance máximo se logra con un ángulo de 45°. En este caso:

\[R_{max} = \frac{v_0^2}{g} = \frac{40^2}{9.8} = \frac{1600}{9.8} = 163.3 \text{ m}\]