Curvas con Peralte

¿Qué es el peralte de una curva?

En una curva horizontal y plana, la única fuerza que puede aportar la componente centrípeta necesaria para girar es el rozamiento entre los neumáticos y el asfalto. Si la velocidad es alta o el firme está deslizante, esa fuerza puede no ser suficiente y el vehículo derrapa hacia el exterior de la curva.

Para reducir esta dependencia del rozamiento, las carreteras, autovías y circuitos de velocidad inclinan la calzada hacia el interior de la curva. Esa inclinación se llama peralte, y permite que una parte de la normal contribuya directamente a la fuerza centrípeta.

Idea clave

El peralte no es más que inclinar el plano de la curva un ángulo $\theta$ respecto a la horizontal, de modo que la componente horizontal de la normal ayude (o incluso sustituya) al rozamiento en el papel de fuerza centrípeta.

Diagrama de fuerzas en una curva peraltada

Sobre un vehículo de masa $m$ que recorre una curva de radio $r$ peraltada un ángulo $\theta$ actúan:

El peso: $\vec P = m\vec g$, vertical hacia abajo.
La normal: $\vec N$, perpendicular a la calzada (inclinada un ángulo $\theta$ respecto a la vertical).
El rozamiento: $\vec F_r$, paralelo a la calzada (puede apuntar hacia arriba o hacia abajo de la pendiente según la velocidad).

Al inclinar la superficie, la normal se descompone en:

$$ N_x = N\,\text{sen}\,\theta \quad \text{(horizontal, hacia el centro de la curva)} $$

$$ N_y = N\,\cos\theta \quad \text{(vertical, hacia arriba)} $$

Caso ideal: peralte sin rozamiento

Si la carretera está diseñada para que, a la velocidad de diseño $v$, no sea necesario nada de rozamiento, las únicas fuerzas son el peso y la normal. Aplicando la segunda ley de Newton:

Eje vertical (equilibrio):

$$ N\cos\theta = mg $$

Eje horizontal (la resultante es la fuerza centrípeta):

$$ N\,\text{sen}\,\theta = \frac{mv^2}{r} $$

Dividiendo ambas ecuaciones se elimina la masa y la normal:

$$ \tan\theta = \frac{v^2}{r g} $$

Esta es la ecuación del ángulo de peralte ideal. Observa que:

No depende de la masa del vehículo: sirve igual para una moto que para un camión.
A mayor velocidad de diseño $v$ o menor radio $r$, mayor debe ser el ángulo de peralte.
Con este ángulo exacto, un vehículo podría tomar la curva a esa velocidad incluso sobre hielo (sin rozamiento).

resuelto

Una curva de radio $r = 150\ \text{m}$ se diseña para una velocidad de $108\ \text{km/h} = 30\ \text{m/s}$, sin contar con el rozamiento. Calcula el ángulo de peralte.

$$ \tan\theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{30^2}{150 \times 9.8} = \frac{900}{1470} = 0.612 $$

$$ \theta = \arctan(0.612) \approx 31.5° $$

Caso real: peralte con rozamiento

En la práctica, el rozamiento sí interviene, y permite que la curva se recorra con seguridad en un rango de velocidades, no solo a la velocidad de diseño.

Velocidad máxima (el coche tiende a deslizar hacia fuera)

A velocidades altas, el rozamiento actúa hacia el interior de la curva, sumándose a la componente horizontal de la normal:

$$ v_{max} = \sqrt{rg\,\frac{\tan\theta + \mu}{1 - \mu\tan\theta}} $$

Velocidad mínima (el coche tiende a deslizar hacia dentro)

A velocidades bajas (o parado en la curva), el rozamiento actúa hacia el exterior, evitando que el vehículo resbale hacia el centro:

$$ v_{min} = \sqrt{rg\,\frac{\tan\theta - \mu}{1 + \mu\tan\theta}} $$

Donde $\mu$ es el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y el asfalto.

Nota

Si $\tan\theta < \mu$, la expresión de $v_{min}$ da un valor negativo o nulo: significa que, incluso parado, el rozamiento por sí solo evita que el vehículo se deslice hacia el centro de la curva.

Caso particular: curva sin peralte ($\theta = 0$)

Si la calzada es horizontal, toda la fuerza centrípeta debe proporcionarla el rozamiento:

$$ F_r = \mu N = \mu m g = \frac{mv^2}{r} \quad \Rightarrow \quad v_{max} = \sqrt{\mu g r} $$

Esta es la velocidad máxima a la que se puede tomar una curva plana sin derrapar, y es el motivo por el que en carreteras sin peralte hay que reducir mucho la velocidad al girar.

Aplicaciones

Autovías y autopistas: los peraltes se calculan para la velocidad máxima permitida, minimizando el desgaste de neumáticos y aumentando la seguridad con lluvia o hielo.
Circuitos de motor (velódromos, óvalos de NASCAR): emplean peraltes muy pronunciados (hasta 30°-33°) que permiten alcanzar velocidades mucho mayores que en una curva plana.
Vías de ferrocarril: el peralte de los raíles reduce el desgaste lateral de las ruedas y mejora el confort en las curvas.

Problemas resueltos

Problema 1: Ángulo de peralte ideal

Un tramo de autovía tiene una curva de radio 300 m diseñada para 120 km/h (33.3 m/s) sin depender del rozamiento. Calcula el ángulo de peralte.

$$ \tan\theta = \frac{33.3^2}{300 \times 9.8} = \frac{1108.9}{2940} = 0.377 $$

$$ \theta \approx 20.6° $$

Problema 2: Velocidad máxima con rozamiento

Una curva de radio 100 m tiene un peralte de 15° y un coeficiente de rozamiento estático $\mu = 0.4$ entre neumático y asfalto. Calcula la velocidad máxima a la que puede tomarse sin derrapar.

$$ \tan(15°) = 0.268 $$

$$ v_{max} = \sqrt{100 \times 9.8 \times \frac{0.268 + 0.4}{1 - 0.4 \times 0.268}} = \sqrt{980 \times \frac{0.668}{0.893}} \approx \sqrt{732.9} \approx 27.1 \text{ m/s} $$

Es decir, unos 97.6 km/h.

Problema 3: Curva sin peralte

Un coche toma una curva plana de radio 50 m sobre un asfalto con $\mu = 0.6$. ¿Cuál es la velocidad máxima segura?

$$ v_{max} = \sqrt{\mu g r} = \sqrt{0.6 \times 9.8 \times 50} = \sqrt{294} \approx 17.1 \text{ m/s} \approx 61.7 \text{ km/h} $$