Vector Posición

Teoría Ejercicios

Vector Posición y Desplazamiento en Cinemática

La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo producen. Para describir adecuadamente cualquier movimiento, primero necesitamos establecer un sistema de referencia.

Operaciones con Vectores

Los vectores son herramientas fundamentales en física y matemáticas. A continuación, se describen las operaciones básicas con vectores en dos dimensiones (2D):

Suma de vectores

La suma de dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ se realiza sumando sus componentes correspondientes:

$\vec{A} + \vec{B} = (A_{x} + B_{x}, A_{y} + B_{y})$

Ejemplo: Si $\vec{A} = (2, 3)$ y $\vec{B} = (4, 1)$ , entonces:

$\vec{A} + \vec{B} = (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4)$

Resta de vectores

La resta de dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ se realiza restando sus componentes correspondientes:

$\vec{A} - \vec{B} = (A_{x} - B_{x}, A_{y} - B_{y})$

Ejemplo: Si $\vec{A} = (5, 7)$ y $\vec{B} = (3, 2)$ , entonces:

$\vec{A} - \vec{B} = (5 - 3, 7 - 2) = (2, 5)$

Producto por un escalar

Multiplicar un vector $\vec{A}$ por un escalar $k$ implica multiplicar cada componente del vector por el escalar:

$k \cdot \vec{A} = (k \cdot A_{x}, k \cdot A_{y})$

Ejemplo: Si $\vec{A} = (3, 4)$ y $k = 2$ , entonces:

$2 \cdot \vec{A} = (2 \cdot 3, 2 \cdot 4) = (6, 8)$

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ es un número que se calcula como:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_{x} \cdot B_{x} + A_{y} \cdot B_{y}$

Ejemplo: Si $\vec{A} = (1, 2)$ y $\vec{B} = (3, 4)$ , entonces:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$

Vector Posición en 2D

El vector posición ( $\vec{r}$ ) es el vector que une el origen del sistema de referencia con la posición actual de un objeto. En un plano (2D), este vector tiene dos componentes:

$\vec{r} = (x, y)$

donde $x$ es la coordenada horizontal (eje X) y $y$ es la coordenada vertical (eje Y). El vector posición se mide en metros (m) en el SI.

El módulo del vector posición representa la distancia en línea recta desde el origen hasta el punto:

$| \vec{r} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Vector Desplazamiento en 2D

El vector desplazamiento ( $\vec{Δ r}$ ) es el vector que describe el cambio de posición de un objeto. Se calcula como la diferencia entre el vector posición final y el inicial:

$\vec{Δ r} = {\vec{r}}_{f} - {\vec{r}}_{i} = (x_{f} - x_{i}, y_{f} - y_{i})$

Características importantes del desplazamiento:

Es una magnitud vectorial (tiene dirección y sentido)
No depende de la trayectoria seguida, solo de las posiciones inicial y final
Su módulo puede ser diferente a la distancia recorrida
Si el punto final coincide con el inicial, el desplazamiento es nulo

El módulo del vector desplazamiento se calcula como:

$| \vec{Δ r} | = \sqrt{(x_{f} - x_{i})^{2} + (y_{f} - y_{i})^{2}}$

Representación gráfica

Producto vectorial (en 3D)

En tres dimensiones, el producto vectorial de dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ es un vector perpendicular a ambos, calculado como:

$\vec{A} \times \vec{B} = (A_{y} B_{z} - A_{z} B_{y}, A_{z} B_{x} - A_{x} B_{z}, A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x})$

Ejemplo: Si $\vec{A} = (1, 0, 0)$ y $\vec{B} = (0, 1, 0)$ , entonces:

$\vec{A} \times \vec{B} = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (0, 0, 1)$

Vector Posición y Desplazamiento en 3D

En un espacio tridimensional, los conceptos se extienden añadiendo la coordenada $z$:

Vector posición: $\vec{r} = (x, y, z)$
Vector desplazamiento: $\vec{Δ r} = (x_{f} - x_{i}, y_{f} - y_{i}, z_{f} - z_{i})$
Módulo del vector posición: $| \vec{r} | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$
Módulo del desplazamiento: $| \vec{Δ r} | = \sqrt{(x_{f} - x_{i})^{2} + (y_{f} - y_{i})^{2} + (z_{f} - z_{i})^{2}}$

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Un objeto se mueve desde el punto A(2,3) m hasta el punto B(5,7) m. Calcular:

a) Su vector desplazamiento:

$\vec{Δ r} = {\vec{r}}_{B} - {\vec{r}}_{A} = (5, 7) - (2, 3) = (3, 4) m$

b) El módulo del desplazamiento:

$| \vec{Δ r} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 m$

c) El ángulo que forma el desplazamiento con el eje X:

$θ = \arctan \frac{4}{3} \approx 53, 1 °$

Ejemplo 2: Un objeto parte del origen y sigue una trayectoria rectangular: primero 4 m hacia el este, luego 3 m hacia el norte. Calcular:

a) Su vector posición final:

${\vec{r}}_{f} = (4, 3) m$

b) El módulo del vector posición final:

$| {\vec{r}}_{f} | = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 m$

c) La distancia total recorrida:

$d = 4 m + 3 m = 7 m$

Sistemas de Referencia

Un sistema de referencia es un conjunto de coordenadas que permite localizar un punto en el espacio. Es esencial para describir el movimiento porque todas las mediciones de posición son relativas a este sistema.

Características principales de un sistema de referencia:

Tiene un origen (punto O) que representa la posición (0,0) en 2D o (0,0,0) en 3D
Tiene ejes coordenados perpendiculares entre sí
Tiene una escala para medir distancias
Define una orientación positiva y negativa para cada eje

En física usamos habitualmente sistemas de referencia cartesianos, con ejes X, Y en el plano (2D), añadiendo el eje Z en el espacio (3D).

1. Un objeto se mueve desde la posición (3,4) m hasta la posición (7,1) m. Calcula el módulo de su vector desplazamiento. (10 puntos)

2. Calcula las siguientes magnitudes para un objeto que se desplaza en un plano: (15 puntos)

a. Si el vector posición inicial es (2,3) m y el vector posición final es (5,7) m, ¿cuál es la componente y del vector desplazamiento?

b. Si un objeto se desplaza 5 m en dirección este y luego 12 m en dirección norte, ¿cuál es el módulo del desplazamiento total?

3. Un objeto inicialmente en el origen se desplaza 4 m hacia el este y luego 3 m hacia el norte. ¿Cuál es su vector posición final? (1 punto)

(4,3) m

(3,4) m

(5,0) m

(0,5) m