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Introducción a la Cinemática y Sistemas de Referencia
La cinemática es la rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo producen (las fuerzas). Para describir adecuadamente cualquier movimiento, necesitamos establecer un sistema de referencia, que es el marco desde el cual observamos y medimos el movimiento.
Un sistema de referencia es un conjunto de coordenadas que permite localizar un punto en el espacio. Sus características principales son:
- Origen (O): Punto de referencia que representa la posición (0,0) en 2D o (0,0,0) en 3D
- Ejes coordenados: Líneas perpendiculares entre sí (X, Y en 2D; X, Y, Z en 3D)
- Escala: Unidades de medida de distancias (metros en el SI)
- Orientación: Definición de sentidos positivo y negativo en cada eje
En física utilizamos principalmente sistemas de referencia cartesianos rectangulares, muy convenientes para la descripción del movimiento.
Operaciones con Vectores
Los vectores son magnitudes que tienen módulo (magnitud), dirección y sentido. Son herramientas fundamentales en física para representar desplazamientos, velocidades y fuerzas. A continuación, se describen las operaciones básicas:
Suma de vectores
La suma de dos vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) se realiza sumando sus componentes correspondientes:
\[\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y)\]
Ejemplo 1: Si \(\vec{A} = (2, 3)\) y \(\vec{B} = (4, 1)\)
\(\vec{A} + \vec{B} = (2+4, 3+1) = (6, 4)\) metros
Resta de vectores
La resta se realiza restando componentes:
\[\vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x, A_y - B_y)\]
Ejemplo 2: Si \(\vec{A} = (5, 7)\) y \(\vec{B} = (3, 2)\)
\(\vec{A} - \vec{B} = (5-3, 7-2) = (2, 5)\) metros
Producto por un escalar
Multiplicar un vector por un número \(k\) amplifica o reduce su magnitud:
\[k \cdot \vec{A} = (k \cdot A_x, k \cdot A_y)\]
Ejemplo 3: Si \(\vec{A} = (3, 4)\) y \(k = 2\)
\(2 \cdot \vec{A} = (6, 8)\) metros (vector el doble de largo)
Módulo o magnitud de un vector
La magnitud (también llamada módulo) de un vector representa su "longitud" o intensidad:
\[|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}\]
Ejemplo 4: Si \(\vec{A} = (3, 4)\)
\(|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) metros
Producto escalar
El producto escalar de dos vectores produce un número (escalar) que indica el grado de "alineación" entre ellos:
\[\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos(\theta)\]
Donde \(\theta\) es el ángulo entre los vectores.
Ejemplo 5: Si \(\vec{A} = (1, 2)\) y \(\vec{B} = (3, 4)\)
\(\vec{A} \cdot \vec{B} = 1(3) + 2(4) = 3 + 8 = 11\)
Producto vectorial (en 3D)
En tres dimensiones, el producto vectorial produce un vector perpendicular a ambos vectores originales:
\[\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}\]
Ejemplo 6: Si \(\vec{A} = (1, 0, 0)\) y \(\vec{B} = (0, 1, 0)\)
\(\vec{A} \times \vec{B} = (0, 0, 1)\) (apunta en dirección Z positivo)
El Vector Posición
El vector posición \(\vec{r}\) es el vector que une el origen del sistema de referencia con el punto donde se encuentra el objeto en un instante dado. Es la herramienta fundamental para describir la localización en el espacio.
En dos dimensiones (2D)
\[\vec{r} = (x, y)\]
Donde:
- \(x\) es la coordenada horizontal (desplazamiento desde el origen a lo largo del eje X)
- \(y\) es la coordenada vertical (desplazamiento desde el origen a lo largo del eje Y)
- Se mide en metros (m) en el SI
El módulo del vector posición representa la distancia en línea recta desde el origen hasta el punto:
\[|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2}\]
En tres dimensiones (3D)
\[\vec{r} = (x, y, z)\]
Con módulo:
\[|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]
El Vector Desplazamiento
El vector desplazamiento \(\vec{\Delta r}\) (o \(\Delta \vec{r}\)) es el vector que describe el cambio neto de posición de un objeto. Se calcula como:
\[\vec{\Delta r} = \vec{r}_f - \vec{r}_i = (x_f - x_i, y_f - y_i)\]
Características importantes del desplazamiento:
- Es una magnitud vectorial: Tiene dirección y sentido específicos
- Es independiente de la trayectoria: Solo depende de los puntos inicial y final
- Su módulo puede ser diferente a la distancia recorrida: La distancia es la longitud total del camino, mientras que el desplazamiento es la "línea recta" entre inicio y fin
- Puede ser cero: Si regresamos al punto de partida, el desplazamiento total es cero aunque hayamos recorrido una distancia > 0
Módulo del vector desplazamiento
\[|\vec{\Delta r}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\]
O en 3D:
\[|\vec{\Delta r}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}\]
Diferencia: Distancia vs. Desplazamiento
| Aspecto | Distancia | Desplazamiento |
|---|---|---|
| Tipo | Magnitud escalar | Magnitud vectorial |
| Dependencia | Depende de la trayectoria | Independiente de la trayectoria |
| Valor | Siempre positivo | Puede ser positivo o negativo |
| Relación | \(d \geq \ \vec{\Delta r}\ \) | - |
| Ejemplo | Una persona recorre 10 km caminando | Una persona termina 5 km al norte de donde comenzó |
Ejemplos Resueltos
Problema 1: Desplazamiento en 2D
Un objeto se mueve desde el punto A(2, 3) m hasta el punto B(5, 7) m en un plano. Calcular: a) Vector desplazamiento:
\[\vec{\Delta r} = (5-2, 7-3) = (3, 4) \text{ m}\]
b) Módulo del desplazamiento: \[|\vec{\Delta r}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}\]
c) Ángulo respecto al eje X: \[\theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1°\]
Problema 2: Trayectoria rectangular vs. desplazamiento
Un objeto parte del origen (0, 0) m y se desplaza 4 m hacia el este, luego 3 m hacia el norte. Calcular: a) Vector posición final:
\[\vec{r}_f = (4, 3) \text{ m}\]
b) Módulo del desplazamiento: \[|\vec{\Delta r}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}\]
c) Distancia total recorrida: \[d = 4 + 3 = 7 \text{ m}\]
Observación: El desplazamiento es 5 m pero la distancia recorrida es 7 m. La diferencia ocurre porque el objeto no siguió una línea recta directa.Problema 3: Movimiento en 3D
Un avión vuela desde la posición A(100, 200, 5000) m a la posición B(150, 280, 5500) m. Determina su desplazamiento y módulo. Vector desplazamiento:
\[\vec{\Delta r} = (150-100, 280-200, 5500-5000) = (50, 80, 500) \text{ m}\]
Módulo: \[|\vec{\Delta r}| = \sqrt{50^2 + 80^2 + 500^2} = \sqrt{2500 + 6400 + 250000} = \sqrt{258900} \approx 508.8 \text{ m}\]
Representación Gráfica
La representación gráfica es crucial en cinemática:
- Vector posición: Flecha desde el origen hasta el punto
- Vector desplazamiento: Flecha desde la posición inicial hasta la final (la más corta entre ambos puntos)
- Trayectoria: Línea que conecta todos los puntos por los que pasó el objeto
Sistemas de Referencia: Fundamento del Movimiento
Un sistema de referencia es un conjunto de coordenadas que permite localizar un punto en el espacio. Es absolutamente esencial para describir el movimiento porque todas las mediciones de posición, desplazamiento y velocidad son relativas a este sistema.
Características Principales de un Sistema de Referencia
| Característica | Descripción |
|---|---|
| Origen (O) | Punto de referencia fundamental que representa la posición (0,0) en 2D o (0,0,0) en 3D |
| Ejes coordenados | Líneas rectas perpendiculares entre sí que definen direcciones principales |
| Escala de medida | Unidades de distancia para medir separaciones (metros en el SI) |
| Orientación | Definición clara de direcciones positiva y negativa en cada eje |
| Carácter | Puede ser fijo (laboratorio) o móvil (vehículo en movimiento) |
Tipos de Sistemas de Referencia
Sistema de referencia cartesiano 2D:- Utiliza dos ejes perpendiculares: X (horizontal) e Y (vertical)
- Localización de un punto: (x, y)
- Ideal para movimientos en un plano
- Utiliza tres ejes perpendiculares: X, Y, Z
- Localización de un punto: (x, y, z)
- Necesario para movimientos espaciales complejos
- Utiliza distancia r y ángulo θ desde un punto de origen
- Localización: (r, θ)
- Útil para movimientos circulares
Relatividad del Movimiento
Un concepto crucial: el movimiento es relativo al sistema de referencia elegido.
Ejemplo clásico: Pasajero en un tren
Sistemas de Referencia Inerciales vs No Inerciales
| Tipo | Definición | Características | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Inercial | Sin aceleración | Primera Ley de Newton se cumple directamente | Laboratorio en reposo, tren a velocidad constante |
| No inercial | Con aceleración | Requiere fuerzas ficticias para análisis | Tren acelerando, carrusel girando |