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El Vector Posición
El vector posición \(\vec{r}\) es el vector que une el origen del sistema de referencia con el punto donde se encuentra el objeto en un instante dado. Es la herramienta fundamental para describir la localización en el espacio.
En una dimensión (1D)
Si el movimiento ocurre sobre una recta, basta una coordenada:
\[x = x(t)\]
En este caso, la posición indica cuánto se ha alejado el móvil del origen y en qué lado se encuentra.
En dos dimensiones (2D)
\[\vec{r} = (x, y)\]
Donde:
- \(x\) es la coordenada horizontal (desplazamiento desde el origen a lo largo del eje X)
- \(y\) es la coordenada vertical (desplazamiento desde el origen a lo largo del eje Y)
- Se mide en metros (m) en el SI
El módulo del vector posición representa la distancia en línea recta desde el origen hasta el punto:
\[|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2}\]
También puede escribirse con vectores unitarios:
\[\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}\]
Esta forma es la más importante en cinemática plana, porque muchos movimientos reales se estudian en 2D: un coche sobre un plano, una persona caminando por una ciudad o un proyectil visto de lado.
En tres dimensiones (3D)
\[\vec{r} = (x, y, z)\]
Con módulo:
\[|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]
En 3D también puede escribirse como:
\[\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}\]
El Vector Desplazamiento
El vector desplazamiento \(\vec{\Delta r}\) (o \(\Delta \vec{r}\)) es el vector que describe el cambio neto de posición de un objeto. Se calcula como:
\[\vec{\Delta r} = \vec{r}_f - \vec{r}_i = (x_f - x_i, y_f - y_i)\]
Características importantes del desplazamiento:
- Es una magnitud vectorial: Tiene dirección y sentido específicos
- Es independiente de la trayectoria: Solo depende de los puntos inicial y final
- Su módulo puede ser diferente a la distancia recorrida: La distancia es la longitud total del camino, mientras que el desplazamiento es la "línea recta" entre inicio y fin
- Puede ser cero: Si regresamos al punto de partida, el desplazamiento total es cero aunque hayamos recorrido una distancia > 0
Módulo del vector desplazamiento
\[|\vec{\Delta r}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\]
O en 3D:
\[|\vec{\Delta r}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}\]
Recorrido y Trayectoria
Además de la posición y del desplazamiento, en cinemática aparecen dos ideas muy importantes:
- Trayectoria: es el camino seguido por el móvil.
- Recorrido o distancia recorrida: es la longitud total de ese camino.
La distancia recorrida es una magnitud escalar, mientras que el desplazamiento es una magnitud vectorial.
Ejemplo intuitivo en 2D
Un alumno camina 3 m hacia el este y luego 4 m hacia el norte.
- Recorrido: \(3 + 4 = 7\) m
- Desplazamiento: desde el punto inicial al final, en línea recta
\[\vec{\Delta r} = (3, 4)\]
\[|\vec{\Delta r}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ m}\]
Por eso, en general:
\[\text{recorrido} \ge |\vec{\Delta r}|\]
La igualdad solo se cumple cuando el movimiento se realiza en línea recta y sin cambiar de sentido.
Diferencia: Distancia vs. Desplazamiento
| Aspecto | Distancia | Desplazamiento |
|---|---|---|
| Tipo | Magnitud escalar | Magnitud vectorial |
| Dependencia | Depende de la trayectoria | Independiente de la trayectoria |
| Valor | Siempre positiva | Puede tener componentes positivas, negativas o nulas |
| Relación | \(d \geq |\vec{\Delta r}|\) | Nunca supera a la distancia recorrida |
| Ejemplo | Una persona recorre 10 km caminando | Una persona termina 5 km al norte de donde comenzó |
Posición, desplazamiento y recorrido en distintas dimensiones
Caso 1D
Si un coche pasa de \(x_i = 2\) m a \(x_f = 9\) m:
\[\Delta x = x_f - x_i = 9 - 2 = 7 \text{ m}\]
Si se movió siempre hacia delante en línea recta, entonces el recorrido también es 7 m.
Si primero avanzó hasta 12 m y luego retrocedió hasta 9 m, entonces:
- Desplazamiento: 7 m
- Recorrido: \(10\) m
Caso 2D
En 2D es muy útil distinguir entre las componentes del desplazamiento:
\[\vec{\Delta r} = (\Delta x, \Delta y)\]
Si un móvil va de \((1,2)\) a \((6,5)\):
\[\vec{\Delta r} = (6-1, 5-2) = (5,3)\]
\[|\vec{\Delta r}| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} \approx 5.83 \text{ m}\]
Caso 3D
En 3D se añade la altura o profundidad:
\[\vec{\Delta r} = (\Delta x, \Delta y, \Delta z)\]
Es útil en vuelos, submarinos o drones, donde el movimiento no está contenido en un plano.
Ejemplos Resueltos
Ejercicio 1: Una persona está inicialmente en \(x_i = -2\) m y después pasa a \(x_f = 5\) m.
Desplazamiento:
\(\Delta x = x_f - x_i = 5 - (-2) = 7 \text{ m}\)
Interpretación:
El signo positivo indica que el cambio neto de posición es hacia el sentido positivo del eje.
Ejercicio 2: Un objeto se mueve desde el punto A\((2,3)\) m hasta el punto B\((5,7)\) m.
Vector desplazamiento:
\(\vec{\Delta r} = (5-2, 7-3) = (3,4) \text{ m}\)
Módulo del desplazamiento:
\(|\vec{\Delta r}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}\)
Ángulo respecto al eje X:
\(\theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ\)
Ejercicio 3: Un objeto parte del origen \((0,0)\), avanza 4 m hacia el este y después 3 m hacia el norte.
Posición final:
\(\vec{r}_f = (4,3) \text{ m}\)
Desplazamiento:
\(\vec{\Delta r} = (4,3) \text{ m}\)
Módulo del desplazamiento:
\(|\vec{\Delta r}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \text{ m}\)
Recorrido total:
\(d = 4 + 3 = 7 \text{ m}\)
Conclusión:
El recorrido es mayor que el desplazamiento porque el movimiento tuvo un cambio de dirección.
Ejercicio 4: Un ciclista sale del origen, avanza 10 m y luego retrocede 6 m.
Posición final:
\(x_f = 10 - 6 = 4 \text{ m}\)
Desplazamiento:
\(\Delta x = 4 - 0 = 4 \text{ m}\)
Recorrido:
\(d = 10 + 6 = 16 \text{ m}\)
Conclusión:
Aunque terminó a solo 4 m del origen, recorrió 16 m en total.
Ejercicio 5: Un dron pasa del punto A\((-2,4)\) m al punto B\((3,-1)\) m.
Desplazamiento en cada eje:
\(\Delta x = 3 - (-2) = 5\)
\(\Delta y = -1 - 4 = -5\)
Vector desplazamiento:
\(\vec{\Delta r} = (5,-5) \text{ m}\)
Módulo:
\(|\vec{\Delta r}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{50} \approx 7.07 \text{ m}\)
Ejercicio 6: Una persona camina 6 m al este, 8 m al norte y 6 m al oeste.
Posición final:
El desplazamiento horizontal neto es \(6 - 6 = 0\) y el vertical es \(8\).
\(\vec{r}_f = (0,8) \text{ m}\)
Desplazamiento total:
\(\vec{\Delta r} = (0,8) \text{ m}\)
Módulo del desplazamiento:
\(|\vec{\Delta r}| = 8 \text{ m}\)
Recorrido total:
\(d = 6 + 8 + 6 = 20 \text{ m}\)
Ejercicio 7: Un avión vuela desde A\((100,200,5000)\) m hasta B\((150,280,5500)\) m.
Vector desplazamiento:
\(\vec{\Delta r} = (150-100, 280-200, 5500-5000) = (50,80,500) \text{ m}\)
Módulo:
\(|\vec{\Delta r}| = \sqrt{50^2 + 80^2 + 500^2} = \sqrt{258900} \approx 508.8 \text{ m}\)
Ideas clave para no confundirse
- La posición dice dónde está el objeto respecto a un origen.
- El desplazamiento compara la posición final con la inicial.
- El recorrido suma toda la longitud del camino seguido.
- En problemas de 2D, conviene calcular primero \(\Delta x\) y \(\Delta y\).
- Si el móvil vuelve al punto de partida, el desplazamiento es cero, pero el recorrido puede ser grande.
Representación Gráfica
La representación gráfica es crucial en cinemática:
- Vector posición: Flecha desde el origen hasta el punto
- Vector desplazamiento: Flecha desde la posición inicial hasta la final (la más corta entre ambos puntos)
- Trayectoria: Línea que conecta todos los puntos por los que pasó el objeto
Sistemas de Referencia: Fundamento del Movimiento
Un sistema de referencia es un conjunto de coordenadas que permite localizar un punto en el espacio. Es absolutamente esencial para describir el movimiento porque todas las mediciones de posición, desplazamiento y velocidad son relativas a este sistema.
Características Principales de un Sistema de Referencia
| Característica | Descripción |
|---|---|
| Origen (O) | Punto de referencia fundamental que representa la posición (0,0) en 2D o (0,0,0) en 3D |
| Ejes coordenados | Líneas rectas perpendiculares entre sí que definen direcciones principales |
| Escala de medida | Unidades de distancia para medir separaciones (metros en el SI) |
| Orientación | Definición clara de direcciones positiva y negativa en cada eje |
| Carácter | Puede ser fijo (laboratorio) o móvil (vehículo en movimiento) |
Tipos de Sistemas de Referencia
Sistema de referencia cartesiano 2D:
- Utiliza dos ejes perpendiculares: X (horizontal) e Y (vertical)
- Localización de un punto: (x, y)
- Ideal para movimientos en un plano
Sistema de referencia cartesiano 3D:
- Utiliza tres ejes perpendiculares: X, Y, Z
- Localización de un punto: (x, y, z)
- Necesario para movimientos espaciales complejos
Sistema de referencia polar (2D):
- Utiliza distancia r y ángulo θ desde un punto de origen
- Localización: (r, θ)
- Útil para movimientos circulares
Relatividad del Movimiento
Un concepto crucial: el movimiento es relativo al sistema de referencia elegido.
Ejemplo clásico: Pasajero en un tren
Si una persona está sentada en un tren en movimiento:
- Respecto al tren: La persona está en reposo (posición constante)
- Respecto a la estación: La persona se está moviendo con la velocidad del tren
- Respecto a la Luna: La persona se mueve con una velocidad compleja debido al movimiento terrestre
No hay un sistema "correcto" - depende de lo que queremos analizar. Para estudiar movimientos dentro del tren, el sistema del tren es más útil.
Sistemas de Referencia Inerciales vs No Inerciales
| Tipo | Definición | Características | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Inercial | Sin aceleración | Primera Ley de Newton se cumple directamente | Laboratorio en reposo, tren a velocidad constante |
| No inercial | Con aceleración | Requiere fuerzas ficticias para análisis | Tren acelerando, carrusel girando |