Cargando historial...
¿Qué es un vector?
Los vectores se usan siempre que una magnitud dependa de su direccion o posicion en el espacio. Se utiliza para describir la poscion, el desplazamiento, la velocidad, la aceleracion, la fuerza, el torque, el momento angular, entre otros.
Un vector es un objeto matemático que se representa como una flecha en el espacio y que tiene módulo (magnitud), dirección y sentido.
- Módulo (o magnitud): Su valor numérico, siempre positivo
- Dirección: La línea sobre la cual actúa
- Sentido: Hacia dónde apunta en esa dirección
Diferencia entre Magnitudes Escalares y Vectoriales
Muchas magnitudes son escalares y no dependen de la dirección, como la temperatura o la masa. En cambio, las magnitudes vectoriales sí dependen de la dirección, como la velocidad o la fuerza.
| Característica | Escalar | Vectorial |
|---|---|---|
| Definición | Solo tiene magnitud | Tiene magnitud, dirección y sentido |
| Ejemplos | Temperatura, masa, energía | Velocidad, fuerza, aceleración |
| Representación | Número + unidad | Flecha o notación \(\vec{v}\) |
| Operaciones | Álgebra ordinaria | Álgebra vectorial |
Notación Vectorial
Un vector se representa de varias formas:
- Notación de flecha: \(\vec{v}\)
- Notación de negrita: \(\mathbf{v}\)
A su vez las componentes de un vector en 3D se pueden expresar como:
- En componentes: \(\vec{v} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j} + v_z\hat{k}\) (donde \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) son los vectores unitarios en las direcciones x, y, z respectivamente)
- En forma de dupla: \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\)
Ejemplo 1: Vector 2D, que llamaremos S, en la posicion 1 para x y 2 para y
El vector se representa en con una flecha \(\vec{S}\) o negrita \(\mathbf{S}\), sobre todo por limitaciones a la hora de representarlo gráficamente.
Los valores de sus componentes se pueden expresar como \(\vec{S} = S_x \hat{i} + S_y \hat{j}\) o \(\vec{S} = (S_x, S_y)\), donde \(S_x\) es la componente en x y \(S_y\) es la componente en y.
En este caso, \(\vec{S} = 1\hat{i} + 2\hat{j}\) o \(\vec{S} = (1, 2)\).
Coordenadas angulares
Tambien se puede dar el modulo del vector y angulo que forma con los ejes:
\(\vec{v} = (r, \theta, \phi)\) donde \(r\) es el módulo, \(\theta\) es el ángulo con el eje z y \(\phi\) es el ángulo con el eje x en el plano xy.
En 2D: \(\vec{v} = (r, \theta)\) Se puede expresar en componentes cartesianas: \(\vec{v} = r \cos\theta \hat{i} + r \sin\theta \hat{j}\)
Operaciones Fundamentales con Vectores
1. Módulo de un Vector
El módulo o magnitud de un vector \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\) se calcula mediante pitagoras con la fórmula:
\[\text{En 3D: } |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\]
\[\text{En 2D: } |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\]
Ejemplo 2: Módulo de vector \(\vec{v}\) = \(v_x = 3\) y \(v_y = 4\) 0 \((3, 4)\)
\(|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
Ejemplo 3: Módulo de vector \(\vec{v}\) = \(v_x = 2\), \(v_y = 3\) y \(v_z = 6\) o \((2,3,6)\)
\(|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\)
2. Suma y Resta de Vectores
Método Gráfico (Regla del Paralelogramo): Si tenemos dos vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\), el vector suma \(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}\) se obtiene colocando los vectores origen con origen, formando un paralelogramo.
Método Analítico: Se suman o restan sus componentes:
Suma
\[\text{En 3D: } \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j} + (A_z + B_z)\hat{k}\]
\[\text{En 2D: } \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j}\]
Resta
\[\text{En 3D: } \vec{R} = \vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x)\hat{i} + (A_y - B_y)\hat{j} + (A_z - B_z)\hat{k}\]
\[\text{En 2D: } \vec{R} = \vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x)\hat{i} + (A_y - B_y)\hat{j}\]
Ejemplo 4: Suma de los vectores \(\vec{A} = (2, 3)\) y \(\vec{B} = (4, 1)\)
\(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (2 + 4)\hat{i} + (3 + 1)\hat{j} = 6\hat{i} + 4\hat{j}\)
En forma matricial: \(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (2,3) + (4,1) = ( 2+4 , 3+1 ) = ( 6 , 4 )}\)
Ejemplo 5: Resta de los vectores \(\vec{A} = (2, 3)\) y \(\vec{B} = (3, 1)\)
\(\vec{R} = \vec{A} - \vec{B} = (2 - 3)\hat{i} + (3 - 1)\hat{j} = -1\hat{i} + 2\hat{j}\)
En forma matricial: \(\vec{R} = \vec{A} - \vec{B} = ( 2, 3 ) - (3, 1) = ( 2-3 , 3-1 ) = ( -1 , 2 )\)
El producto escalar entre dos vectores produce un escalar (un número).
Consiste en multiplicar un vector por otro, obteniendo un resultado que no tiene dirección, solo magnitud.
Definición:
\[\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta\]
Donde \(\theta\) es el ángulo entre los vectores.
Forma Analítica:
\[\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z\]
Propiedades:
- Conmutativo: \(\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}\)
- Distributivo: \(\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}\)
- Ortogonalidad: Si \(\vec{A} \perp \vec{B}\), entonces \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\)
Aplicación en física: Energía de trabajo
El trabajo mecánico es el producto escalar de fuerza y desplazamiento:
\(E_W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta\)
Se produce trabajo máximo cuando la fuerza es paralela al desplazamiento (\(\theta = 0°\)) y no se produce trabajo cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento (\(\theta = 90°\)).
La energía es una magnitud escalar, por eso el resultado del producto escalar es un número que representa la cantidad de energía transferida.
Ejemplo 6: Producto escalar \(3\) por un vector \(\vec{A} = (2, 3)\)
\(3 \cdot \vec{A} = 3(2\hat{i} + 3\hat{j}) = 6\hat{i} + 9\hat{j}\)
De forma matricial: \(3 \cdot \vec{A} = 3(2, 3) = (3\cdot 2, 3\cdot 3) = (6, 9)\)
Ejemplo 7: Producto escalar de los vectores \(\vec{A} = (2, 3)\) y \(\vec{B} = (4, 1)\)
\(\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(4) + (3)(1) = 8 + 3 = 11\)
De forma matricial: \(\vec{A} \cdot \vec{B} = (2, 3) \cdot (4, 1) = (2\cdot 4) + (3\cdot 1) = 8 + 3 = 11\)
4. Producto Vectorial
El producto vectorial entre dos vectores produce otro vector perpendicular a ambos.
Definición:
\[\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin\theta \, \hat{n}\]
Donde \(\hat{n}\) es un vector unitario perpendicular a \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\), determinado por la regla de la mano derecha.
Forma Analítica (usando determinante):
No es necesario utilizar la regla de la mano derecha para determinar el sentido del vector resultante, ya que el producto vectorial se puede calcular directamente a través de sus componentes utilizando la siguiente fórmula:
\[\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}\]
\[= \vec{i} \begin{vmatrix} A_y & A_z \\ B_y & B_z \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} A_x & A_z \\ B_x & B_z \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} A_x & A_y \\ B_x & B_y \end{vmatrix}\]
\[= (A_y B_z - A_z B_y)\hat{i} - (A_x B_z - A_z B_x)\hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x)\hat{k}\]
Propiedades:
- No es conmutativo: \(\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}\)
- Distributivo: \(\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}\)
- Paralelos: Si \(\vec{A} \parallel \vec{B}\), entonces \(\vec{A} \times \vec{B} = 0\)
Aplicación física: Torque o momento de una fuerza
El torque (momento de una fuerza) es el producto vectorial de posición y fuerza:
\(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\)
Una puerta no se abre aplicando una fuerza paralela a la puerta ya sea hacia adentro o hacia afuera.
Si la fuerza se aplica de forma perpendicular toda esa fuerza va a abrir la puerta y el torque es máximo.
Con una misma fuerza, el torque es mayor cuanto mas lejos de la bisagra se aplique la fuerza \( r\cdot F\)
El vector resultante indica la magnitud y dirección del giro. Si la fuerza se hace en un sentido, el torque es positivo y el giro es en un sentido y se la fuerza se hace en el sentido contrario, el torque es negativo y el giro es en el sentido contrario.
Ejemplo 8: Producto vectorial de \(\vec{A} = (0, 3)\) y \(\vec{B} = (5, 4)\)
Primero tenemos que conocer el ángulo entre los vectores
\(\theta = \arctan(\frac{3}{0}) - \arctan(\frac{4}{5}) = 90° - 38.66° = 51.34°\)
\(\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin\theta\)
\(|\vec{A}| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3\)
\(|\vec{B}| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}\)
\(|\vec{A} \times \vec{B}| = 3 \cdot \sqrt{41} \cdot \sin(51.34°) = 3 \cdot \sqrt{41} \cdot 0.78 \approx 15\)
Utilizando la regla de la mano derecha, el vector resultante es negativo en la dirección de \(\hat{k}\): \(\vec{A} \times \vec{B} = -15\hat{k}\)
Utilizando matrices podemos hacer estos calculos de una forma mas mecánica y precisa
Los vectores son: \(\vec{A} = (0, 3, 0)\) y \(\vec{B} = (5, 4, 0)\).
\(\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & 0 \\ 5 & 4 & 0 \end{vmatrix}\)
\(= (3 \cdot 0 - 0 \cdot 4)\hat{i} - (0 \cdot 0 - 0 \cdot 5)\hat{j} + (0 \cdot 4 - 3 \cdot 5)\hat{k}\)
\(= 0\hat{i} - 0\hat{j} + (0 - 15)\hat{k}\)
\(= -15\hat{k}\)