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Conceptos Fundamentales de Vectores
¿Qué es un Vector?
Un vector es una magnitud física que tiene:
- Módulo (o magnitud): Su valor numérico, siempre positivo
- Dirección: La línea sobre la cual actúa
- Sentido: Hacia dónde apunta en esa dirección
Diferencia entre Magnitudes Escalares y Vectoriales
| Característica | Escalar | Vectorial |
|---|---|---|
| Definición | Solo tiene magnitud | Tiene magnitud, dirección y sentido |
| Ejemplos | Temperatura, masa, energía | Velocidad, fuerza, aceleración |
| Representación | Número + unidad | Flecha o notación \(\vec{v}\) |
| Operaciones | Álgebra ordinaria | Álgebra vectorial |
Notación Vectorial
Un vector se representa de varias formas:
- Notación de flecha: \(\vec{v}\)
- Notación de negrita: \(\mathbf{v}\)
- En componentes: \(\vec{v} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j} + v_z\hat{k}\)
- En forma de dupla: \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\)
Operaciones Fundamentales con Vectores
1. Suma de Vectores
Método Gráfico (Regla del Paralelogramo): Si tenemos dos vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\), el vector suma \(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}\) se obtiene colocando los vectores origen con origen, formando un paralelogramo. Método Analítico:\[\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j} + (A_z + B_z)\hat{k}\]
Magnitud de la suma:
\[|\vec{R}| = \sqrt{(A_x + B_x)^2 + (A_y + B_y)^2 + (A_z + B_z)^2}\]
2. Resta de Vectores
\[\vec{R} = \vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x)\hat{i} + (A_y - B_y)\hat{j} + (A_z - B_z)\hat{k}\]
3. Producto Escalar (Producto Punto)
El producto escalar entre dos vectores produce un escalar (un número).
Definición:\[\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta\]
Donde \(\theta\) es el ángulo entre los vectores.
Forma Analítica:\[\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z\]
Propiedades:
- Conmutativo: \(\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}\)
- Distributivo: \(\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}\)
- Ortogonalidad: Si \(\vec{A} \perp \vec{B}\), entonces \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\)
Aplicación física:
El trabajo mecánico es el producto escalar de fuerza y desplazamiento:
\[W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta\]
4. Producto Vectorial (Producto Cruz)
El producto vectorial entre dos vectores produce otro vector.
Definición:\[\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin\theta \, \hat{n}\]
Donde \(\hat{n}\) es un vector unitario perpendicular a \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\), determinado por la regla de la mano derecha.
Forma Analítica (usando determinante):\[\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}\]
\[= (A_y B_z - A_z B_y)\hat{i} - (A_x B_z - A_z B_x)\hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x)\hat{k}\]
Propiedades:
- No es conmutativo: \(\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}\)
- Distributivo: \(\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}\)
- Paralelos: Si \(\vec{A} \parallel \vec{B}\), entonces \(\vec{A} \times \vec{B} = 0\)
Aplicación física:
El torque (momento de una fuerza) es el producto vectorial de posición y fuerza:
\[\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\]
Vectores en Dos Dimensiones
Descomposición de un Vector en Componentes
En 2D, un vector \(\vec{v}\) se puede descomponer en sus componentes rectangulares:
\[\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}\]
Donde:
- \(v_x = v \cos\theta\) (componente horizontal)
- \(v_y = v \sin\theta\) (componente vertical)
\[v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\]
Ángulo respecto a la horizontal:
\[\theta = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right)\]
Vectores Unitarios
Un vector unitario es aquel cuya magnitud es 1. Los vectores unitarios en 2D son:
- \(\hat{i} = (1, 0)\) - Dirección horizontal positiva
- \(\hat{j} = (0, 1)\) - Dirección vertical positiva
Operaciones Vectoriales en 2D
Suma de dos vectores en 2D
\[\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j}\]
Producto escalar en 2D
\[\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y\]
Producto vectorial en 2D
En 2D, el producto vectorial produce un escalar (la componente z del resultado 3D):\[\vec{A} \times \vec{B} = A_x B_y - A_y B_x\]
Interpretación geométrica:
El producto vectorial en 2D da el área del paralelogramo formado por los vectores \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\).
Momento Angular
Definición
El momento angular (o cantidad de movimiento angular) es una magnitud vectorial que describe la rotación de un objeto alrededor de un punto. Se define como:
\[\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\]
Donde:
- \(\vec{r}\) es el vector de posición respecto al punto de rotación
- \(\vec{p} = m\vec{v}\) es el momento lineal
Forma Expandida
\[\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v} = m(\vec{r} \times \vec{v})\]
Magnitud del Momento Angular
\[L = mvr\sin\theta\]
Donde \(\theta\) es el ángulo entre \(\vec{r}\) y \(\vec{v}\).
Caso especial: Si \(\vec{v} \perp \vec{r}\) (movimiento circular), entonces:\[L = mvr\]
Momento Angular en Movimiento Circular
Para un objeto en movimiento circular uniforme:
\[L = m v r = m r^2 \omega = I \omega\]
Donde:
- \(I = mr^2\) es el momento de inercia
- \(\omega\) es la velocidad angular
Relación entre Torque y Momento Angular
El torque (\(\vec{\tau}\)) es la derivada del momento angular con respecto al tiempo:
\[\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}\]
Esta es la segunda ley de Newton para rotación.
Conservación del Momento Angular
Si el torque neto es cero (\(\vec{\tau} = 0\)), el momento angular se conserva:
\[\vec{L} = \text{constante}\]
Esto significa:
\[I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2\]
Ejemplos de Aplicación en Física
Ejemplo 1: Cálculo de Momento Angular en Movimiento Circular
Un satélite de 1000 kg orbita la Tierra a una distancia de 7000 km del centro, con una velocidad de 7500 m/s. Calcula su momento angular.
Datos:- \(m = 1000 \text{ kg}\)
- \(r = 7 \times 10^6 \text{ m}\)
- \(v = 7500 \text{ m/s}\)
\[L = mvr = 1000 \times 7500 \times 7 \times 10^6 = 5.25 \times 10^{13} \text{ kg·m}^2/\text{s}\]
Ejemplo 2: Producto Escalar en 2D
Dados \(\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}\) y \(\vec{B} = 2\hat{i} - 5\hat{j}\), calcula su producto escalar y el ángulo entre ellos.
Producto escalar:\[\vec{A} \cdot \vec{B} = (3)(2) + (4)(-5) = 6 - 20 = -14\]
Magnitudes:
\[A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\]
\[B = \sqrt{2^2 + (-5)^2} = \sqrt{29}\]
Ángulo:
\[\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{AB} = \frac{-14}{5\sqrt{29}} = -0.52\]
\[\theta = \arccos(-0.52) \approx 121.3°\]
Ejemplo 3: Producto Vectorial en 2D
Calcula el "pseudo-vector" resultado del producto \(\vec{A} \times \vec{B}\) donde \(\vec{A} = (2, 3)\) y \(\vec{B} = (4, -1)\).
Solución:\[\vec{A} \times \vec{B} = A_x B_y - A_y B_x = (2)(-1) - (3)(4) = -2 - 12 = -14\]
El resultado es -14 (en unidades cuadradas), indicando un área con orientación negativa.
Ejemplo 4: Conservación del Momento Angular
Una patinadora realiza una rotación con brazos extendidos. Cuando recoge los brazos, su momento de inercia disminuye de \(2\text{ kg·m}^2\) a \(0.5\text{ kg·m}^2\). Si su velocidad angular inicial es 2 rad/s, ¿cuál es su velocidad angular final?
Aplicando conservación:\[I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2\]
\[2 \times 2 = 0.5 \times \omega_2\]
\[\omega_2 = \frac{4}{0.5} = 8 \text{ rad/s}\]
La velocidad angular aumenta 4 veces.