Teoría Ejercicios

Conceptos Fundamentales de Choques

¿Qué es un Choque o Colisión?

Un choque (o colisión) es un evento en el que dos o más objetos entran en contacto y ejercen fuerzas significativas entre sí en un tiempo muy breve. Durante un choque:

  1. Las fuerzas internas son mucho mayores que las externas
  2. El tiempo de interacción es muy pequeño
  3. Se producen cambios significativos en las velocidades

Clasificación de Choques

Los choques se clasifican principalmente en:

  1. Choques Elásticos: Se conserva la energía cinética total
  2. Choques Inelásticos: Se pierde energía cinética (se convierte en calor, deformación, etc.)
  3. Choques Perfectamente Inelásticos: Los objetos quedan unidos después del choque

Conservación del Momento Lineal

Principio Fundamental

En todo choque, la cantidad de movimiento (momento lineal) se conserva, siempre que no actúen fuerzas externas significativas:

\[\vec{p}_{inicial} = \vec{p}_{final}\]

\[m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2'\]

Donde:

  • \(m_1, m_2\) son las masas
  • \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) son las velocidades iniciales
  • \(\vec{v}_1', \vec{v}_2'\) son las velocidades finales

Cantidad de Movimiento Conservada

La cantidad de movimiento total del sistema permanece constante durante el choque:

\[p_{total} = \text{constante}\]

Esta es una de las leyes más fundamentales de la física.

Choques Elásticos en Una Dimensión

Características

En un choque elástico:

  • ✓ Se conserva el momento lineal
  • ✓ Se conserva la energía cinética total

\[m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'\]
\[\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2'^2\]

Fórmulas para Velocidades Finales

Para un choque elástico en 1D:

\[v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}\]

\[v_2' = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}\]

Casos Especiales

Caso 1: Masas iguales (\(m_1 = m_2 = m\))
\[v_1' = v_2\]
\[v_2' = v_1\]

Los objetos intercambian velocidades completamente.

Caso 2: Un objeto en reposo (\(v_2 = 0\))
\[v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1\]

\[v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1\]

Caso 3: Objeto muy pesado choca con ligero (\(m_1 \gg m_2\))
\[v_1' \approx v_1\]
\[v_2' \approx 2v_1\]

El objeto pesado casi no cambia, el ligero sale disparado.

Choques Inelásticos

Características

En un choque inelástico:

  • ✓ Se conserva el momento lineal
  • ✗ NO se conserva la energía cinética (se pierde)

\[m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'\]

Pérdida de Energía

La energía cinética perdida es:

\[\Delta KE = KE_{inicial} - KE_{final}\]

\[\Delta KE = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 - \frac{1}{2}m_1 v_1'^2 - \frac{1}{2}m_2 v_2'^2\]

Esta energía se convierte en:

  • Calor
  • Deformación
  • Sonido
  • Otros forms de energía interna

Choques Perfectamente Inelásticos

Definición

En un choque perfectamente inelástico, los objetos quedan unidos después de la colisión, moviéndose con una velocidad común final:

\[m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)v_f\]

Velocidad final:
\[v_f = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}\]

Energía Perdida

La energía cinética perdida en un choque perfectamente inelástico es máxima:

\[\Delta KE = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 - \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v_f^2\]

Esta energía es casi toda convertida en calor y deformación.

Choques en Dos Dimensiones

Principio de Conservación

En choques 2D, el momento se conserva en ambas direcciones:

Dirección x:
\[m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m_1 v_{1x}' + m_2 v_{2x}'\]
Dirección y:
\[m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y} = m_1 v_{1y}' + m_2 v_{2y}'\]

Resolución de Problemas

Para resolver problemas de choques 2D:

  1. Descomponer velocidades en componentes x e y
  2. Aplicar conservación de momento para cada componente
  3. Si es elástico, aplicar conservación de energía
  4. Resolver el sistema de ecuaciones

Conservación de Magnitudes en Física

1. Conservación de la Cantidad de Movimiento (Momento Lineal)

Válida: En todo choque o sistema sin fuerzas externas

\[\vec{p}_{total} = \text{constante}\]

\[\sum m_i \vec{v}_i = \text{constante}\]

Aplicaciones:
  • Choques y colisiones
  • Explosiones
  • Movimiento de cohetes

2. Conservación de la Energía Mecánica

Válida: En sistemas con solo fuerzas conservativas

\[E_{total} = KE + PE = \text{constante}\]

\[\frac{1}{2}mv^2 + mgh = \text{constante}\]

Aplicaciones:
  • Movimiento sin fricción
  • Caída libre
  • Movimiento en campos gravitacionales
Nota importante:

En choques inelásticos, la energía mecánica NO se conserva, pero la energía total (incluyendo calor, etc.) SÍ se conserva.

3. Conservación del Momento Angular

Válida: Cuando el torque externo neto es cero

\[\vec{L}_{total} = \text{constante}\]

\[I\omega = \text{constante}\]

Aplicaciones:
  • Rotación sin fricción
  • Patinador girando
  • Órbitas planetarias
  • Trompo en movimiento

4. Conservación de la Carga Eléctrica

Válida: En todos los procesos físicos y químicos

\[Q_{total} = \text{constante}\]

Aplicaciones:
  • Reacciones químicas
  • Procesos nucleares
  • Electrodinámica

5. Conservación de la Masa-Energía

Relación de Einstein:
\[E = mc^2\]
Válida: En procesos nucleares y de partículas

\[m_{inicial}c^2 + E_{inicial} = m_{final}c^2 + E_{final}\]

Problemas Resueltos

Problema 1: Choque Elástico en 1D

Dos bolas de billar, una de 2 kg moviéndose a 4 m/s y otra de 2 kg en reposo, chocan elásticamente. Calcula sus velocidades finales.

Datos:
  • \(m_1 = 2 \text{ kg}\), \(v_1 = 4 \text{ m/s}\)
  • \(m_2 = 2 \text{ kg}\), \(v_2 = 0 \text{ m/s}\)
  • Choque elástico
Solución:

Como las masas son iguales:

\[v_1' = v_2 = 0 \text{ m/s}\]
\[v_2' = v_1 = 4 \text{ m/s}\]

Las bolas intercambian velocidades. La primera se detiene y la segunda sale a 4 m/s.

Verificación:
  • Momento inicial: \(p = 2(4) + 2(0) = 8\) kg·m/s
  • Momento final: \(p = 2(0) + 2(4) = 8\) kg·m/s ✓
  • Energía inicial: \(KE = \frac{1}{2}(2)(4^2) = 16\) J
  • Energía final: \(KE = \frac{1}{2}(2)(4^2) = 16\) J ✓

Problema 2: Choque Perfectamente Inelástico

Un automóvil de 1000 kg moviéndose a 20 m/s choca frontalmente con otro de 1000 kg en reposo. Si quedan unidos, ¿cuál es la velocidad final?

Datos:
  • \(m_1 = 1000 \text{ kg}\), \(v_1 = 20 \text{ m/s}\)
  • \(m_2 = 1000 \text{ kg}\), \(v_2 = 0\)
Solución:

Aplicando conservación de momento:

\[m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)v_f\]
\[1000(20) + 1000(0) = 2000 v_f\]
\[v_f = \frac{20000}{2000} = 10 \text{ m/s}\]

Los autos se mueven a 10 m/s después del choque.

Energía perdida:
\[KE_{inicial} = \frac{1}{2}(1000)(20^2) = 200000 \text{ J}\]
\[KE_{final} = \frac{1}{2}(2000)(10^2) = 100000 \text{ J}\]
\[\Delta KE = 200000 - 100000 = 100000 \text{ J}\]

Se pierden 100 kJ de energía (convertida en calor, deformación, etc.).

Problema 3: Choques en 2D

Una bola de 1 kg moviéndose a 5 m/s en dirección +x choca con otra de 2 kg en reposo. Después del choque, la primera bola se mueve a 3 m/s en una dirección 30° respecto a su dirección inicial. ¿Cuál es la velocidad final de la segunda bola?

Datos:
  • \(m_1 = 1 \text{ kg}\), \(v_1 = 5 \text{ m/s}\), \(\theta_1' = 30°\)
  • \(m_2 = 2 \text{ kg}\), \(v_2 = 0\)
  • \(v_1' = 3 \text{ m/s}\)
Solución:

Momento inicial en x:

\[p_{x,i} = 1(5) + 2(0) = 5 \text{ kg·m/s}\]

Momento final en x:

\[p_{x,f} = 1(3\cos 30°) + 2 v_{2x}' = 2.598 + 2v_{2x}'\]

Conservación en x:

\[5 = 2.598 + 2v_{2x}'\]
\[v_{2x}' = 1.201 \text{ m/s}\]

Momento inicial en y:

\[p_{y,i} = 1(0) + 2(0) = 0\]

Momento final en y:

\[p_{y,f} = 1(3\sin 30°) + 2 v_{2y}' = 1.5 + 2v_{2y}'\]

Conservación en y:

\[0 = 1.5 + 2v_{2y}'\]
\[v_{2y}' = -0.75 \text{ m/s}\]

Velocidad final de la segunda bola:
\[v_2' = \sqrt{v_{2x}'^2 + v_{2y}'^2} = \sqrt{1.201^2 + 0.75^2} = 1.414 \text{ m/s}\]

Ángulo:

\[\theta_2' = \arctan\left(\frac{-0.75}{1.201}\right) = -32° \text{ (bajo la horizontal)}\]