Teoría Ejercicios

Conceptos Fundamentales de Estática

¿Qué es la Estática?

La estática es la rama de la mecánica que estudia los cuerpos en equilibrio. Un objeto está en equilibrio cuando:

  1. Su aceleración lineal es cero
  2. Su aceleración angular es cero
  3. Permanece en reposo o se mueve con velocidad constante

Condiciones de Equilibrio

Para que un objeto esté en equilibrio estático, deben cumplirse dos condiciones:

1. Equilibrio Translacional (Equilibrio de Fuerzas)

La suma vectorial de todas las fuerzas debe ser cero:

\[\sum \vec{F} = 0\]

En componentes:

\[\sum F_x = 0 \quad \text{y} \quad \sum F_y = 0\]

Esto significa que no hay aceleración lineal.

2. Equilibrio Rotacional (Equilibrio de Torques)

La suma de todos los torques respecto a cualquier punto debe ser cero:

\[\sum \vec{\tau} = 0\]

Esto significa que no hay aceleración angular.

Torque (Momento de Fuerza)

Definición

El torque (o momento de fuerza) es el efecto rotacional de una fuerza aplicada. Se define como:

\[\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\]

Donde:

  • \(\vec{r}\) es el vector de posición desde el eje de rotación
  • \(\vec{F}\) es la fuerza aplicada

Magnitud del Torque

\[\tau = r F \sin\theta\]

O equivalentemente:

\[\tau = F \times d\]

Donde \(d\) es el brazo de palanca (distancia perpendicular desde el eje a la línea de acción de la fuerza).

Unidades

El torque se mide en:

  • Newton-metro (N·m) en el SI
  • Dina-centímetro (dyn·cm)

Convención de Signos

  • Torque positivo: Rotación contraria a las manecillas del reloj
  • Torque negativo: Rotación en el sentido de las manecillas del reloj
Nota importante:

El torque depende tanto de la magnitud de la fuerza como de su distancia al eje de rotación. Una fuerza pequeña lejos del eje puede producir el mismo torque que una fuerza grande cerca del eje.

Ley de la Palanca

Concepto

La ley de la palanca establece que en equilibrio:

\[F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2\]

Donde:

  • \(F_1, F_2\) son las fuerzas aplicadas
  • \(d_1, d_2\) son los brazos de palanca (distancias al fulcro)

Interpretación

La palanca es una máquina simple que permite:

  • Multiplicar la fuerza: Aplicando una fuerza pequeña lejos del fulcro
  • Cambiar la dirección: De la fuerza aplicada
  • Multiplicar la velocidad: A costa de aplicar más fuerza

Ventaja Mecánica

La ventaja mecánica de una palanca es:

\[VM = \frac{d_1}{d_2} = \frac{F_2}{F_1}\]

  • VM > 1: Ganas fuerza (pierdes distancia)
  • VM < 1: Pierdes fuerza (ganas distancia)
  • VM = 1: Ni ganas ni pierdes

Clasificación de Palancas

Palanca de Primera Clase

Configuración: Fulcro entre la fuerza aplicada y la resistencia

\[\text{Fuerza} - \text{Fulcro} - \text{Resistencia}\]

Características:
  • Puede dar ventaja mecánica mayor, igual o menor a 1
  • Cambia la dirección de la fuerza
  • Ejemplos: Tijeras, balancín, palanca de máquinas
Aplicaciones:
  • Abridor de latas
  • Tenazas
  • Balanza romana

Palanca de Segunda Clase

Configuración: Resistencia entre el fulcro y la fuerza aplicada

\[\text{Fulcro} - \text{Resistencia} - \text{Fuerza}\]

Características:
  • Siempre da ventaja mecánica > 1
  • Ganas fuerza, pierdes distancia
  • No cambia la dirección de la fuerza
Aplicaciones:
  • Carretilla
  • Abridor de botellas
  • Remo de una barca
  • Cascanueces

Palanca de Tercera Clase

Configuración: Fuerza aplicada entre el fulcro y la resistencia

\[\text{Fulcro} - \text{Fuerza} - \text{Resistencia}\]

Características:
  • Siempre da ventaja mecánica < 1
  • Pierdes fuerza, ganas distancia y velocidad
  • Permite movimientos amplios y rápidos
Aplicaciones:
  • Caña de pescar
  • Antebrazo humano
  • Pinzas de cocina
  • Excavadora

Máquinas Simples

Una máquina simple es un dispositivo que transforma una fuerza en otra mayor mediante la aplicación de la ley de la palanca u otros principios.

Palanca y Poleas

Las poleas funcionan como palancas:

Polea Fija:
  • VM = 1
  • Solo cambia la dirección de la fuerza
  • Ejemplos: Polea de un pozo
Polea Móvil:
  • VM = 2
  • Duplica la fuerza (pierdes distancia)
  • Una cuerda soporta la mitad del peso
Sistema de Poleas:
  • VM = número de cuerdas que soportan la carga

Plano Inclinado

\[F = \frac{mgh}{L}\]

Donde \(L\) es la longitud de la rampa.

Ventaja Mecánica:
\[VM = \frac{h}{L}\]

Resolución de Problemas de Estática

Metodología

  1. Dibujar el diagrama de fuerzas: Mostrar todas las fuerzas aplicadas
  2. Elegir un sistema de referencia: Ejes x-y claramente definidos
  3. Escribir ecuaciones de equilibrio:
- \(\sum F_x = 0\) - \(\sum F_y = 0\) - \(\sum \tau = 0\) (respecto a un punto conveniente)
  1. Resolver el sistema de ecuaciones
  2. Verificar la solución

Problemas Resueltos

Problema 1: Palanca Simple

Una palanca de primera clase tiene un fulcro ubicado a 0.5 m de un extremo y a 1.5 m del otro. Si se aplica una fuerza de 200 N en el extremo más largo, ¿qué peso máximo puede levantarse en el extremo más corto?

Datos:
  • \(d_1 = 1.5\) m (brazo largo)
  • \(d_2 = 0.5\) m (brazo corto)
  • \(F_1 = 200\) N
Solución:

Aplicando la ley de la palanca:

\[F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2\]
\[200 \times 1.5 = F_2 \times 0.5\]
\[F_2 = \frac{300}{0.5} = 600 \text{ N}\]

Ventaja mecánica:
\[VM = \frac{d_1}{d_2} = \frac{1.5}{0.5} = 3\]

Se puede levantar un peso equivalente a 600 N (aproximadamente 61 kg).

Problema 2: Barra en Equilibrio

Una barra uniforme de 4 m de largo y 100 N de peso está apoyada en un punto a 1 m de uno de los extremos. Se cuelga un peso de 400 N a 0.5 m del extremo apoyado. ¿Qué fuerza ascendente se necesita en el otro extremo para mantener el equilibrio?

Datos:
  • Barra: peso \(W_b = 100\) N en el centro (2 m del extremo izquierdo)
  • Peso colgante: \(W = 400\) N a 0.5 m del extremo izquierdo
  • Fulcro: a 1 m del extremo izquierdo
  • Fuerza aplicada: a 3.5 m del extremo izquierdo (otro extremo)
Solución:

Tomando torques respecto al fulcro (positivo contrario a manecillas):

Torque del peso colgante:
\[\tau_1 = -400 \times (1 - 0.5) = -400 \times 0.5 = -200 \text{ N·m}\]
Torque del peso de la barra:
\[\tau_2 = -100 \times (2 - 1) = -100 \times 1 = -100 \text{ N·m}\]
Torque de la fuerza aplicada:
\[\tau_3 = F \times (3.5 - 1) = F \times 2.5\]

Equilibrio de torques:

\[\tau_3 + \tau_1 + \tau_2 = 0\]
\[F \times 2.5 - 200 - 100 = 0\]
\[F \times 2.5 = 300\]
\[F = 120 \text{ N}\]

Se necesita una fuerza ascendente de 120 N en el otro extremo.

Problema 3: Carretilla (Palanca de Segunda Clase)

Una carretilla de 200 N está cargada con 800 N de material. El centro de masa combinado está a 0.4 m del eje de la rueda. Los mangos están a 1.2 m del eje. ¿Qué fuerza debe aplicarse en los mangos para levantarla?

Datos:
  • Peso total: \(W = 200 + 800 = 1000\) N
  • Brazo de resistencia: \(d_2 = 0.4\) m
  • Brazo de fuerza: \(d_1 = 1.2\) m
Solución:

Aplicando la ley de la palanca:

\[F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2\]
\[F_1 \times 1.2 = 1000 \times 0.4\]
\[F_1 = \frac{400}{1.2} = 333.3 \text{ N}\]

Ventaja mecánica:
\[VM = \frac{d_2}{d_1} = \frac{1.2}{0.4} = 3\]

Se necesita una fuerza de 333.3 N en los mangos para levantar la carretilla cargada.

Problema 4: Análisis de Fuerzas en una Viga

Una viga horizontal de peso despreciable se apoya en dos puntos (A y B) separados 5 m. Se aplican fuerzas de 100 N hacia abajo a 1 m del punto A y 150 N hacia abajo a 4 m del punto A. Calcula las reacciones en A y B.

Solución: Equilibrio de fuerzas (vertical):
\[R_A + R_B = 100 + 150 = 250 \text{ N}\]
Equilibrio de torques (respecto a A):
\[100 \times 1 + 150 \times 4 = R_B \times 5\]
\[100 + 600 = 5R_B\]
\[R_B = 140 \text{ N}\]
De la ecuación de fuerzas:
\[R_A = 250 - 140 = 110 \text{ N}\]

Las reacciones son: \(R_A = 110\) N y \(R_B = 140\) N.