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Ley de Gravitación Universal
Sir Isaac Newton (1642-1727) formuló la ley de gravitación universal, estableciendo que todos los objetos con masa se atraen mutuamente con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
Formulación Matemática
La ley de gravitación universal se expresa como:
\[F = G \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]
Donde:
- \(F\) es la fuerza gravitatoria entre los dos cuerpos (en newtons)
- \(G\) es la constante de gravitación universal (\(6.67 \times 10^{-11}\) N·m²/kg²)
- \(m_1\), \(m_2\) son las masas de los dos cuerpos (en kilogramos)
- \(r\) es la distancia entre los centros de ambos cuerpos (en metros)
Esta fuerza actúa a lo largo de la línea que une los centros de ambos cuerpos y siempre es atractiva.
Características Importantes:
- Fuerza central: Actúa en la dirección que une los centros de los cuerpos
- Fuerza conservativa: El trabajo es independiente del camino recorrido
- Alcance infinito: Disminuye con la distancia pero nunca es exactamente cero
- Principio de superposición: La fuerza total es la suma vectorial de fuerzas individuales
Ejemplo: Fuerza entre la Tierra y la Luna
La Tierra (\(M_T = 5.97 \times 10^{24}\) kg) y la Luna (\(M_L = 7.35 \times 10^{22}\) kg) separadas por 384,400 km
\[F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.844 \times 10^8)^2} \approx 2 \times 10^{20} \text{ N}\]
Campo Gravitatorio
El campo gravitatorio describe la influencia gravitatoria de un cuerpo masivo en el espacio que lo rodea. Se define como la fuerza por unidad de masa:
\[g = G \frac{M}{r^2}\]
Variación con la Altura
A una altura \(h\) sobre la superficie de un planeta de radio \(R\):
\[g_h = G \frac{M}{(R+h)^2}\]
Ejemplo: Campo gravitatorio a diferentes alturas
En la superficie de la Tierra: \(g_0 = 9.8\) m/s² A 400 km de altura (altitud de la ISS):
\[g_{400} = 9.8 \times \left(\frac{6371}{6371+400}\right)^2 \approx 8.7 \text{ m/s}^2\]
Órbitas Circulares y Fuerza Centrípeta
La Gravedad como Fuerza Centrípeta
En una órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantener el movimiento circular:
\[F_c = \frac{mv^2}{r} = G \frac{mM}{r^2}\]
Despejando la velocidad orbital:
\[v = \sqrt{ \frac{GM}{r}}\]
Ejemplo: Órbita de la Estación Espacial Internacional
Para la ISS a 400 km de altura:
\[v = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6371 + 400) \times 10^3}} \approx 7.7 \text{ km/s}\]
Período Orbital
El período orbital (tiempo para completar una vuelta) se calcula como:
\[T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}\]
Las Leyes de Kepler
Primera Ley de Kepler: Órbitas Elípticas
Los planetas orbitan en elipses con el Sol en uno de los focos. Las órbitas de los planetas son casi circulares.
Segunda Ley de Kepler: Ley de Áreas
La línea que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto implica que los planetas se mueven más rápido cuando están más cerca del Sol.
Tercera Ley de Kepler
El cuadrado del período orbital es proporcional al cubo de la distancia media al Sol:
\[T^2 \propto r^3\]
O de forma más precisa:
\[T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3\]
Ejemplo: Comparación de períodos orbitales
Mercurio orbita a 57.9 millones de km con período de 88 días Venus orbita a 108.2 millones de km con período de 225 días Verificación:
\[\frac{T_V^2}{T_M^2} = \frac{225^2}{88^2} \approx 6.5\]
\[\frac{r_V^3}{r_M^3} = \frac{108.2^3}{57.9^3} \approx 6.5\]
Se cumple la ley de KeplerVelocidad de Escape
La velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para que un objeto abandone la gravitación de un cuerpo celeste:
\[v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\]
Ejemplo: Velocidades de escape
| Cuerpo | Masa (kg) | Radio (km) | \(v_e\) (km/s) |
|---|---|---|---|
| Tierra | \(5.97 \times 10^{24}\) | 6371 | 11.2 |
| Luna | \(7.35 \times 10^{22}\) | 1737 | 2.38 |
| Marte | \(6.41 \times 10^{23}\) | 3389 | 5.03 |
| Júpiter | \(1.89 \times 10^{27}\) | 69911 | 59.5 |