Ley de Gravitación Universal

Sir Isaac Newton (1642-1727) formuló la ley de gravitación universal, estableciendo que todos los objetos con masa se atraen mutuamente con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Formulación Matemática

La ley de gravitación universal se expresa como:

$$ F = G \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} $$

Donde:

  • $F$ es la fuerza gravitatoria entre los dos cuerpos (en newtons)
  • $G$ es la constante de gravitación universal ($6.67 \times 10^{-11}$ N·m²/kg²)
  • $m_1$, $m_2$ son las masas de los dos cuerpos (en kilogramos)
  • $r$ es la distancia entre los centros de ambos cuerpos (en metros)

Esta fuerza actúa a lo largo de la línea que une los centros de ambos cuerpos y siempre es atractiva.

Características Importantes:

  • Fuerza central: Actúa en la dirección que une los centros de los cuerpos
  • Fuerza conservativa: El trabajo es independiente del camino recorrido
  • Alcance infinito: Disminuye con la distancia pero nunca es exactamente cero
  • Principio de superposición: La fuerza total es la suma vectorial de fuerzas individuales
Ejemplo: Fuerza entre la Tierra y la Luna

La Tierra ($M_T = 5.97 \times 10^{24}$ kg) y la Luna ($M_L = 7.35 \times 10^{22}$ kg) separadas por 384,400 km

$$ F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.844 \times 10^8)^2} \approx 2 \times 10^{20} \text{ N} $$

Campo Gravitatorio

El campo gravitatorio describe la influencia gravitatoria de un cuerpo masivo en el espacio que lo rodea. Se define como la fuerza por unidad de masa:

$$ g = G \frac{M}{r^2} $$

Variación con la Altura

A una altura $h$ sobre la superficie de un planeta de radio $R$:

$$ g_h = G \frac{M}{(R+h)^2} $$
Ejemplo: Campo gravitatorio a diferentes alturas

En la superficie de la Tierra: $g_0 = 9.8$ m/s²

A 400 km de altura (altitud de la ISS):

$$ g_{400} = 9.8 \times \left(\frac{6371}{6371+400}\right)^2 \approx 8.7 \text{ m/s}^2 $$

Órbitas Circulares y Fuerza Centrípeta

La Gravedad como Fuerza Centrípeta

En una órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantener el movimiento circular:

$$ F_c = \frac{mv^2}{r} = G \frac{mM}{r^2} $$

Despejando la velocidad orbital:

$$ v = \sqrt{ \frac{GM}{r}} $$
Ejemplo: Órbita de la Estación Espacial Internacional

Para la ISS a 400 km de altura:

$$ v = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6371 + 400) \times 10^3}} \approx 7.7 \text{ km/s} $$

Período Orbital

El período orbital (tiempo para completar una vuelta) se calcula como:

$$ T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} $$

Las Leyes de Kepler

Primera Ley de Kepler: Órbitas Elípticas

Los planetas orbitan en elipses con el Sol en uno de los focos. Las órbitas de los planetas son casi circulares.

Segunda Ley de Kepler: Ley de Áreas

La línea que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto implica que los planetas se mueven más rápido cuando están más cerca del Sol.

Tercera Ley de Kepler

El cuadrado del período orbital es proporcional al cubo de la distancia media al Sol:

$$ T^2 \propto r^3 $$

O de forma más precisa:

$$ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3 $$
Ejemplo: Comparación de períodos orbitales

Mercurio orbita a 57.9 millones de km con período de 88 días Venus orbita a 108.2 millones de km con período de 225 días

Verificación:

$$ \frac{T_V^2}{T_M^2} = \frac{225^2}{88^2} \approx 6.5 $$
$$ \frac{r_V^3}{r_M^3} = \frac{108.2^3}{57.9^3} \approx 6.5 $$

Se cumple la ley de Kepler

Velocidad de Escape

La velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para que un objeto abandone la gravitación de un cuerpo celeste:

$$ v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} $$
Ejemplo: Velocidades de escape
CuerpoMasa (kg)Radio (km)$v_e$ (km/s)
Tierra$5.97 \times 10^{24}$637111.2
Luna$7.35 \times 10^{22}$17372.38
Marte$6.41 \times 10^{23}$33895.03
Júpiter$1.89 \times 10^{27}$6991159.5

1. ¿Qué sucede con la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos si se duplica la distancia entre ellos? (1 puntos)

2. ¿Qué mantiene a un satélite en órbita alrededor de la Tierra? (1 puntos)

3. ¿Qué relación existe entre el periodo orbital de un planeta y su distancia media al Sol según la tercera ley de Kepler? (1 puntos)

4. Calcula la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos: (3 puntos)

a ) La fuerza de atracción entre la Tierra (5.97×10²⁴ kg) y la Luna (7.35×10²² kg) separadas por 384,400 km. (G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²). Expresa el resultado en Newtons con notación científica.

b ) La fuerza gravitatoria entre dos masas de 1000 kg cada una separadas por 10 metros. Expresa el resultado en Newtons.

c ) Si la fuerza gravitatoria entre dos objetos es de 50 N y duplicamos la masa de uno de ellos, ¿cuál será la nueva fuerza en Newtons?

5. ¿Cuál es la forma de la órbita de un planeta alrededor del Sol según la primera ley de Kepler? (1 puntos)

6. Determina el periodo orbital: (3 puntos)

a ) Un satélite orbita la Tierra a una altura de 500 km sobre la superficie. Calcula su periodo orbital en minutos. (G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg², MTierra = 5.97×10²⁴ kg, RTierra = 6371 km)

b ) La estación espacial internacional orbita a 400 km de altura. ¿Cuántas órbitas completa en un día?

c ) Un planeta tiene un periodo orbital de 8 años alrededor de su estrella. Si el semieje mayor de su órbita es de 4 unidades astronómicas, ¿cuál sería el periodo orbital (en años) de otro planeta con un semieje mayor de 9 unidades astronómicas?

7. Calcula la velocidad orbital: (3 puntos)

a ) Velocidad orbital de un satélite a 300 km sobre la superficie terrestre, en km/s. (G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg², MTierra = 5.97×10²⁴ kg, RTierra = 6371 km)

b ) ¿Cuál es la velocidad orbital de la Luna alrededor de la Tierra en km/s? (Distancia Tierra-Luna = 384,400 km)

c ) Para una órbita circular, si la distancia al centro aumenta 4 veces, ¿por qué factor se multiplica la velocidad orbital? (ingresa el factor como número decimal)

8. ¿Qué sucede con el peso de un objeto cuando su altura sobre la superficie terrestre aumenta? (1 puntos)

9. Calcula la velocidad de escape: (2 puntos)

a ) Velocidad de escape desde la superficie de la Tierra en km/s. (G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg², MTierra = 5.97×10²⁴ kg, RTierra = 6371 km)

b ) Velocidad de escape desde la superficie de la Luna en km/s. (G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg², MLuna = 7.35×10²² kg, RLuna = 1737 km)

10. ¿Cómo cambia el campo gravitatorio g con la distancia r al centro de la Tierra? (1 puntos)

11. Para una órbita elíptica, identifica si estas afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F): (5 puntos)

a ) La velocidad orbital es constante a lo largo de toda la órbita.

b ) El momento angular se conserva durante todo el movimiento orbital.

c ) La velocidad es máxima en el perihelio (punto más cercano al foco ocupado).

d ) La energía mecánica total del sistema varía a lo largo de la órbita.

e ) La segunda ley de Kepler indica que la línea que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

12. ¿Qué ocurre con la fuerza gravitatoria entre dos estrellas si la masa de ambas se triplica? (1 puntos)

13. Calcula la aceleración de la gravedad: (3 puntos)

a ) Aceleración de la gravedad a 400 km sobre la superficie terrestre, en m/s². (g₀ = 9.8 m/s² en la superficie, RTierra = 6371 km)

b ) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre la aceleración de la gravedad es la mitad que en la superficie? Expresa el resultado en km.

c ) La gravedad en la superficie de un planeta es 3.7 m/s². Si su radio es la mitad del terrestre, ¿cuál es la relación entre su masa y la masa de la Tierra? (expresada como fracción)