Momento Lineal e Impulso Mecánico

Momento lineal (cantidad de movimiento)

El momento lineal (o cantidad de movimiento) de una partícula de masa $m$ que se mueve con velocidad $\vec v$ es una magnitud vectorial definida como:

$$ \vec p = m\vec v $$

Es un vector: tiene la misma dirección y sentido que la velocidad.
Su unidad en el SI es $\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
Cuanto mayor es la masa o la velocidad de un cuerpo, mayor es su momento lineal y más "cuesta" detenerlo o desviarlo.

Para un sistema de partículas, el momento lineal total es la suma vectorial de los momentos individuales:

$$ \vec P = \sum_i m_i \vec v_i $$

Impulso mecánico

Cuando una fuerza $\vec F$ actúa sobre un cuerpo durante un intervalo de tiempo $\Delta t$, se define el impulso mecánico de esa fuerza como:

$$ \vec J = \vec F \cdot \Delta t $$

(si la fuerza no es constante, $\vec J = \displaystyle\int \vec F\, dt$).

El impulso también es un vector, con la misma dirección y sentido que la fuerza, y se mide en $\text{N}\cdot\text{s}$ (unidades equivalentes a las del momento lineal).

Teorema del impulso mecánico

A partir de la segunda ley de Newton, $\vec F = m\vec a = m\dfrac{d\vec v}{dt} = \dfrac{d\vec p}{dt}$, se deduce que:

$$ \vec J = \vec F \cdot \Delta t = \Delta \vec p = m\vec v_f - m\vec v_0 $$

Teorema del impulso

El impulso de la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es igual a la variación de su momento lineal. Esto permite relacionar fuerzas que actúan durante intervalos muy cortos (como un golpe o un choque) con el cambio de velocidad que producen, sin necesidad de conocer cómo varía la fuerza instante a instante.

Este teorema es especialmente útil quando la fuerza no es constante en el tiempo, como en un impacto: aunque $F(t)$ sea complicada, basta con conocer $\Delta p$ para calcular el impulso total, o al revés, estimar la fuerza media:

$$ F_{media} = \frac{\Delta p}{\Delta t} $$

fuerza media en un golpe

Una pelota de $0{,}2$ kg llega a una pared con $v_0 = 15$ m/s y rebota con $v_f = -12$ m/s (cambia de sentido). El contacto dura $0{,}01$ s. Calcula la fuerza media ejercida por la pared.

$$ \Delta p = m(v_f - v_0) = 0{,}2 \times (-12 - 15) = 0{,}2 \times (-27) = -5{,}4 \ \text{kg·m/s} $$

$$ F_{media} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{-5{,}4}{0{,}01} = -540 \ \text{N} $$

El signo negativo indica que la fuerza actúa en sentido contrario al de la velocidad inicial (empujando la pelota hacia atrás).

Principio de conservación del momento lineal

Si sobre un sistema de partículas no actúa ninguna fuerza externa neta (o esta es despreciable), el momento lineal total del sistema permanece constante:

$$ \vec F_{ext} = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec P_{antes} = \vec P_{después} $$

Esto es consecuencia directa de la tercera ley de Newton: en cualquier interacción interna (choque, explosión, propulsión...), las fuerzas que se ejercen las partículas entre sí son pares de acción y reacción que se cancelan al sumar el momento total del sistema.

Para un sistema de dos cuerpos que interactúan (por ejemplo, en un choque):

$$ m_1 \vec v_{1,0} + m_2 \vec v_{2,0} = m_1 \vec v_{1,f} + m_2 \vec v_{2,f} $$

Aplicación a los choques

La conservación del momento lineal es la herramienta fundamental para analizar choques o colisiones, que se clasifican según si se conserva o no la energía cinética:

Tipo de choque	Momento lineal	Energía cinética
Elástico	Se conserva	Se conserva
Inelástico	Se conserva	No se conserva (se transforma en calor, sonido, deformación...)
Perfectamente inelástico	Se conserva	No se conserva; los cuerpos quedan unidos y se mueven con la misma velocidad final

En un choque perfectamente inelástico, los dos cuerpos se mueven juntos tras el impacto con una velocidad común $v_f$:

$$ m_1 v_{1,0} + m_2 v_{2,0} = (m_1 + m_2)v_f $$

choque perfectamente inelástico

Un vagón de $800$ kg que se mueve a $3$ m/s choca y se acopla con otro vagón de $1200$ kg en reposo. Calcula la velocidad final del conjunto.

$$ v_f = \frac{m_1 v_{1,0} + m_2 v_{2,0}}{m_1 + m_2} = \frac{800 \times 3 + 1200 \times 0}{800+1200} = \frac{2400}{2000} = 1{,}2 \ \text{m/s} $$

retroceso (explosión / propulsión)

Un patinador de $70$ kg en reposo lanza hacia adelante una mochila de $10$ kg con una velocidad de $8$ m/s. ¿Con qué velocidad retrocede el patinador?

Como el sistema partía con momento total nulo, debe seguir siendo nulo:

$$ 0 = m_{mochila}\,v_{mochila} + m_{patinador}\,v_{patinador} $$

$$ v_{patinador} = -\frac{10 \times 8}{70} = -1{,}14 \ \text{m/s} $$

El signo negativo indica que el patinador se mueve en sentido contrario a la mochila (esta es la base física de la propulsión a reacción).

Relación con las leyes de Newton

La 1ª ley (inercia) equivale a decir que, si $\vec F = 0$, el momento lineal de una partícula aislada no cambia.
La 2ª ley se expresa de forma general como $\vec F = \dfrac{d\vec p}{dt}$ (más general que $\vec F = m\vec a$, válida incluso si la masa varía, como en un cohete).
La 3ª ley garantiza que, en un sistema aislado, las fuerzas internas no cambian el momento lineal total.

Problemas resueltos

Problema 1: Cálculo directo del impulso

Sobre un cuerpo de 2 kg que viaja a 4 m/s actúa una fuerza constante de 10 N en la misma dirección durante 3 s. Calcula la velocidad final.

$$ J = F\Delta t = 10 \times 3 = 30 \ \text{N·s} $$

$$ \Delta p = J \ \Rightarrow \ m v_f - m v_0 = 30 \ \Rightarrow \ v_f = \frac{30 + 2\times4}{2} = \frac{38}{2} = 19 \ \text{m/s} $$

Problema 2: Choque elástico simplificado

Dos bolas de billar de igual masa: una viaja a 5 m/s y choca frontalmente y elásticamente con otra en reposo. En un choque elástico entre masas iguales, la bola incidente se detiene y transfiere toda su velocidad a la otra. ¿Cuál es la velocidad final de cada bola?

Bola incidente: $v_f = 0$ m/s. Bola que estaba en reposo: $v_f = 5$ m/s (se comprueba que el momento total, $5$ antes y $5$ después, y la energía cinética, se conservan).