Teoría Ejercicios

Campo Gravitatorio

Leyes de Kepler

Desde el inicio de los tiempos los humanos se han fijado en cómo se mueven los objetos celestes. En el siguiente video Carl Sagan nos explica cómo veían el cielo civilizaciones antiguas y como Johannes Kepler comenzó a entender su movimiento matemáticamente. Puedes explorar el cielo con aplicaciones como Stellarium.

Primera ley de Kepler: Ley de las órbitas

Los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol en uno de sus focos.

Una elipse se caracteriza por tener dos focos. La excentricidad de la órbita determina qué tan "aplastada" es la elipse:

  • Excentricidad = 0: Órbita circular
  • 0 < Excentricidad < 1: Órbita elíptica
  • Excentricidad = 1: Órbita parabólica
  • Excentricidad > 1: Órbita hiperbólica

Segunda ley de Kepler: Ley de las áreas

> Los planetas recorren áreas iguales en tiempos iguales.

\[\frac{dA}{dt} = \text{constante}\]

Esta ley es una manifestación de la conservación del momento angular:

\[\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m \vec{r} \times \vec{v} = \text{constante}\]

\[\frac{d\vec{L}}{dt} = 0\]

Como consecuencia, cuando el planeta está más cerca del Sol (perihelio), su velocidad es mayor que cuando está más lejos (afelio).

Tercera ley de Kepler: Ley de los períodos

> El cuadrado del período orbital es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita.

\[\frac{T^2}{a^3} = \text{constante}\]

Para órbitas circulares, esta constante se puede expresar como:

\[\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}\]

Donde G es la constante de gravitación universal y M es la masa del cuerpo central.

Gravitación Universal

Finalmente Isaac Newton fue capaz de relacionar la fuerza que hacía que giraran los objetos del universo con la fuerza que experimentamos constantemente y nos atrae a la tierra. Esto fue posible en gran parte al desarrollo del cálculo matemático (derivadas e integrales) cuyo descubrimiento se disputa con Leibniz.

Aunque está muy extendido que Newton se dio cuenta de esto gracias al mito de la manzana no es cierto. Y posteriormente se pudo medir y comprobar obteniendo la constante de gravitación universal G (experimento de Cavendish).

Ley de Gravitación Universal

\[F_G = G \frac{M_1 \cdot M_2}{r^2}\]

En forma vectorial:

\[\vec{F}_G = -G \frac{M_1 \cdot M_2}{r^2} \hat{u}_r\]

Donde:

  • \(G\) es la constante de gravitación universal: \(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2/ ext{kg}^2\)
  • \(M_1\), \(M_2\) son las masas de los dos cuerpos
  • \(r\) es la distancia entre los centros de masa
  • \(\hat{u_r}\) es el vector unitario en la dirección de la línea que une los centros

El signo negativo indica que la fuerza es atractiva, dirigida hacia el centro del cuerpo que causa la atracción.

Principio de superposición

Cuando hay más de dos masas, la fuerza total sobre cualquier masa es la suma vectorial de las fuerzas debidas a todas las demás masas:

\[\vec{F}_{total} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \ldots\]

Campo Gravitatorio

El campo gravitatorio es una propiedad del espacio que rodea a cualquier masa. Representa la fuerza gravitatoria por unidad de masa que experimentaría cualquier objeto colocado en ese punto.

\[\vec{g} = \frac{\vec{F}_G}{m} = -G \frac{M}{r^2} \hat{u}r\]

Las unidades del campo gravitatorio son N/kg, que es equivalente a m/s² (aceleración).

Campo gravitatorio terrestre

En la superficie de la Tierra, el campo gravitatorio es aproximadamente:

\[g = G \frac{M{Tierra}}{R_{Tierra}^2} \approx 9.8 \text{ m/s}^2\]

A una altura \(h\) sobre la superficie:

\[g(h) = G \frac{M_{Tierra}}{(R_{Tierra} + h)^2}\]

Principio de superposición para el campo

\[\vec{g}_{total} = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 + \vec{g}_3 + \ldots\]

Energía en el Campo Gravitatorio

Energía potencial gravitatoria

La energía potencial gravitatoria de una masa \(m\) en el campo de una masa \(M\) a una distancia \(r\) es:

\[E_p = -G \frac{Mm}{r}\]

El signo negativo indica que:

  • Es una energía de ligadura
  • Se necesita energía para separar las masas hasta el infinito
  • La energía potencial es cero en el infinito

Trabajo en el campo gravitatorio

El trabajo realizado por fuerzas externas para mover una masa entre dos radios depende solo del estado inicial y final (campo conservativo):

\[W_{ext} = \Delta E_p = -\int_{r_i}^{r_f} \vec{F} \cdot d\vec{r} = GMm\left(\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i}\right)\]

Potencial gravitatorio

El potencial gravitatorio es la energía potencial por unidad de masa:

\[V = \frac{E_p}{m} = -G \frac{M}{r}\]

La unidad es J/kg, que es equivalente a m²/s².

Relación entre campo y potencial

\[\vec{g} = -\nabla V\]

En una dimensión:

\[g = -\frac{dV}{dr}\]

Movimiento Orbital

Velocidad orbital

Para un movimiento circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta:

\[\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}\]

De donde se obtiene la velocidad orbital:

\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\]

Ecuación vis-viva (órbita elíptica)

Relaciona la velocidad con la distancia al foco y el semieje mayor \(a\):

\[v^2 = GM\left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)\]

Período orbital

\[T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}\]

Esta ecuación demuestra la tercera ley de Kepler:

\[T^2 \propto r^3\]

Velocidad de escape

La velocidad mínima necesaria para que un objeto escape completamente del campo gravitatorio:

\[v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}\]

Para la Tierra:

\[v_e \approx 11.2 \text{ km/s}\]

Energía total en órbita

Para un objeto en órbita circular:

\[E_{total} = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r} = -\frac{GMm}{2r}\]

La energía total es negativa, indicando que el objeto está ligado gravitatoriamente.

Aplicaciones y fenómenos gravitatorios

Satélites artificiales

Los satélites se clasifican según su órbita:

  • LEO (Low Earth Orbit): 160-2000 km de altura
  • MEO (Medium Earth Orbit): 2000-35,786 km de altura
  • GEO (Geostationary Orbit): 35,786 km de altura (período = 24 horas)

Mareas

Las mareas son causadas por la diferencia en la fuerza gravitatoria que ejerce la Luna (y en menor medida el Sol) sobre diferentes partes de la Tierra.

Puntos de Lagrange

Son posiciones en el espacio donde las fuerzas gravitatorias de dos cuerpos masivos (como la Tierra y el Sol) se equilibran con la fuerza centrífuga, permitiendo que un objeto permanezca en una posición estable relativa a ambos cuerpos.

Resumen de Fórmulas

Leyes fundamentales

  • Ley de Gravitación Universal: \(F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\)
  • Campo gravitatorio: \(\vec{g} = -G\frac{M}{r^2}\hat{u}_r\) (N/kg = m/s²)
  • Energía potencial: \(E_p = -G\frac{Mm}{r}\) (J)
  • Potencial gravitatorio: \(V = -G\frac{M}{r}\) (J/kg = m²/s²)
  • Vis-viva: \(v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)\)

Leyes de Kepler

  • Primera ley: Órbitas elípticas con el Sol en un foco
  • Segunda ley: \(\frac{dA}{dt} = \text{constante}\) (conservación del momento angular)
  • Tercera ley: \(\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}\)

Movimiento orbital

  • Velocidad orbital: \(v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\)
  • Período orbital: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}\)
  • Velocidad de escape: \(v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}\)
  • Energía total orbital: \(E = -\frac{GMm}{2r}\)

Constantes importantes

  • Constante de gravitación universal: \(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2/\text{kg}^2\)
  • Masa de la Tierra: \(M_T = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}\)
  • Radio de la Tierra: \(R_T = 6.37 \times 10^6 \text{ m}\)
  • Aceleración gravitatoria terrestre: \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)

Tipos de problemas EVAU

  • Aplicación de las leyes de Kepler a sistemas planetarios
  • Cálculo de fuerzas gravitatorias entre masas
  • Determinación de campos gravitatorios y potenciales
  • Análisis de movimientos orbitales (velocidad, período, energía)
  • Cálculo de velocidades de escape
  • Problemas de satélites artificiales y transferencia de órbitas (idea general)
  • Comparación entre diferentes planetas o lunas
  • Aplicación del principio de conservación de la energía