Teoría Ejercicios

Oscilaciones y Ondas

1. Ondas

El sonido, las olas del mar, la luz, ondas sísmicas, etc. son fenómenos muy importantes que se dan en la naturaleza y cuyo estudio como ondas nos permite comprender. Las ondas son fenómenos de transporte de vibraciones con patrones que se repiten e interaccionan entre varias ondas creando regiones de suma destructiva y constructiva.

Las ondas no transfieren materia sino que la perturbación a través de un medio hace que cada punto se mueva ligeramente de una forma regular transportando la energía con la que el medio se ha perturbado.

Tipos de ondas

Las ondas se pueden clasificar en diferentes tipos según su naturaleza y características:

  1. Ondas mecánicas: Son aquellas que requieren un medio material para propagarse, como las ondas del sonido, las ondas en el agua o las ondas sísmicas. Estas ondas se caracterizan por transmitir energía a través de la vibración de las partículas del medio.
  1. Ondas electromagnéticas: Son ondas que no requieren un medio material para propagarse, ya que se componen de campos eléctricos y magnéticos oscilantes. Las ondas de luz, las ondas de radio, las ondas de microondas y las ondas de rayos X son ejemplos de ondas electromagnéticas.
  1. Ondas transversales: Son aquellas en las que la vibración de las partículas del medio es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Un ejemplo de onda transversal es la onda en una cuerda vibrante.
  1. Ondas longitudinales: Son aquellas en las que la vibración de las partículas del medio es paralela a la dirección de propagación de la onda. Un ejemplo de onda longitudinal es el sonido, donde las partículas del aire se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda.
  1. Ondas de superficie: Son aquellas que se propagan en la interfaz entre dos medios, como las ondas en la superficie del agua. Estas ondas combinan características de las ondas transversales y longitudinales.
Ondas de sonido Ver simulación de ondas sonoras

2. Oscilaciones. El oscilador Armónico (OA)

El oscilador armónico es un movimiento periódico de vaivén en el que un cuerpo oscila de un lado a otro de su posición de equilibrio y en intervalos de tiempo iguales. Es el modelo más simple de movimiento periódico que puede utilizarse para modelizar el movimiento de un péndulo simple o de un muelle.

Posición en un punto del OA\(y(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi_0) = A \cdot \cos(\omega t + \phi_0')\) Se puede convertir una función de seno a coseno sumando o restando\(\pi/2(90º o 1/4 de vuelta).\)

-\(\omega t + \phi_0\) es\( la fase de onda) que representa el instante de un movimiento ondulatorio\) -\(\phi_0\) es la fase inicial para tiempo 0

La frecuencia angular\(\omega = 2\pi/T\), donde T es el período (tiempo en volver a la posición inicial). También se usa su inversa, la frecuencia\( f = 1/T. La frecuencia se da en hercios (Hz), que es igual a\) s^{-1}\(.\)

Velocidad en un punto del OA\(v(t) = \frac{dy}{dt} = A\omega \cdot \cos(\omega t + \phi_0)Sabiendo que\)\sin^2 + \cos^2 = 1:\( \frac{y}{A} = \sin(\omega t + \phi_0) \quad \text{y} \quad \frac{v}{A\omega} = \cos(\omega t + \phi_0)por tanto:\sin^2(\omega t + \phi_0) + \cos^2(\omega t + \phi_0) = 1\) \frac{y^2}{A^2} + \frac{v^2}{A^2\omega^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad v = \omega\sqrt{A^2 - y^2}$

Aceleración en un punto del OA$ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 A \cdot \sin(\omega t + \phi_0) = -\omega^2 y
\[

Ejemplo: Bloque con resorte

\]
Se coloca un bloque de 2,00 kg en una superficie sin fricción. Un resorte con una constante de fuerza de k=32,00 N/m se fija al bloque y el extremo opuesto del resorte se fija a la pared. El bloque se libera del reposo y oscila entre x=+0,02 m y x=-0,02 m. El período del movimiento es de 1,57 s. Determine las ecuaciones de movimiento. Solución:

Frecuencia angular:\(\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1,57} = 4,00 \text{ rad/s}Velocidad máxima:\) v_{max} = A\omega = 0,02 \cdot 4,00 = 0,08 \text{ m/s}\( Aceleración máxima:\) a_{max} = A\omega^2 = 0,02 \cdot 16,0 = 0,32 \text{ m/s}^2\( Ecuaciones de movimiento: \)

\[-\( x(t) = 0.02 \text{ m} \cdot \cos(4,00 \text{ rad/s} \cdot t + \phi_0)\)-\( v(t) = -0,08 \text{ m/s} \cdot \sin(4,00 \text{ rad/s} \cdot t + \phi_0)\)-\( a(t) = -0,32 \text{ m/s}^2 \cdot \cos(4,00 \text{ rad/s} \cdot t + \phi_0)## 3. Aplicación del oscilador armónico a sistemas simples\) \]
Se puede aplicar a diferentes sistemas que siguen este comportamiento. Los sistemas más estudiados y sencillos son el muelle y el péndulo simple.\(F = m \cdot a = m \cdot (-\omega^2 x)\)

Muelle

Un muelle se comporta de forma elástica durante cierto rango siguiendo la ley de Hooke:

Ley de Hooke: \(F = -kxDe-kx = m(-\omega^2 x)\) obtenemosk = m\omega^2\( oT = 2\pi\sqrt{ \frac{m}{k}}\) Ver simulación de masa y resorte Ejemplo: Dos astronautas en la Estación Espacial Internacional desean medir sus masas utilizando un resorte con k=700 N/m. Si un astronauta mide un período de 2,2 s y el otro 1,8 s, ¿cuáles son sus masas? Solución: \(m = \frac{k \cdot T^2}{(2\pi)^2}\) para T = 2,2 s:m = \frac{700 \cdot 2,2^2}{(2\pi)^2} = 85,82 \text{ kg}\( para T = 1,8 s:m = \frac{700 \cdot 1,8^2}{(2\pi)^2} = 57,45 \text{ kg}\)

Péndulo simple$

El péndulo simple es una aproximación matemática válida para ángulos muy pequeños.

Para ángulos pequeños:\(\sin\theta \approx \frac{x}{L}De la ecuación del MAS para un péndulo:\)\omega^2 = \frac{g}{L}\( o T = 2\pi\sqrt{ \frac{L}{g}}\)

Ver simulación de péndulo Ejemplo: ¿Cuál es la aceleración debido a la gravedad donde un péndulo de 75,000 cm tiene un período de 1,7357 s? Solución: \(g = \frac{4\pi^2 L}{T^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 0,75000}{(1,7357)^2} = 9,8281 \text{ m/s}^2\)

4. Energía del OA
\[

\]
La energía se puede obtener de la ley de Hooke:\(E_{pe} = \int F \cdot dx = \int k \cdot x \cdot dx = \frac{1}{2}\) kx^2 = \frac{1}{2}\( m\omega^2 x^2La energía mecánica total es:\) E_m = E_{pe} + E_c = \frac{1}{2}\( m\omega^2 A^2\)

5. Ondas mecánicas

\[ Una onda se compone de una serie de objetos que describen un movimiento armónico. Son capaces de transmitir energía pero los puntos que describen el movimiento armónico se mantienen en su sitio.\(y(x,t) = A \cdot \sin(k \cdot x - \omega t + \phi_0)\) Donde: -\(\lambda\) es la longitud de onda -\(k = 2\pi/\lambda\) es\( el número de onda angular\) -\(v_p = \lambda/T = \lambda f = \omega/k\) es\( la velocidad de propagación\)

Tensión de la cuerda\(T = \mu \cdot v^2\) Donde\(\mu = \frac{masa}{longitud}\) es\( la densidad de la cuerda.\)

Velocidad y aceleración de partícula\(v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega \cdot \cos(k \cdot x - \omega t + \phi_0)\]

a_y(x,t) = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -\omega^2 \cdot A \cdot \sin(k \cdot x - \omega t + \phi_0)\)

Diferencia de fases\(\phi_2 - \phi_1 = k(x_2 - x_1)\)

Ejemplo de ondas

\(\) Un estudiante envía ondas por una cuerda de 30,00 m con frecuencia 2,00 Hz. La primera onda golpea la pared 6,00 s después de crearse. Solución:

Velocidad:\(v = \frac{30,00 \text{ m}}{6,00 \text{ s}} = 5,00 \text{ m/s}\) Período:\( T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2,00} = 0,50 \text{ s}\) Longitud de onda:\(\lambda = vT = 5,00 \cdot 0,50 = 2,50 \text{ m}\)

6. Fenómenos ondulatorios$

Reflexión y refracción

  • Reflexión: El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión
  • Refracción: La onda cambia de velocidad y dirección según la ley de Snell:\(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2### Interferencia\)

Cuando dos ondas se superponen:

  • Constructiva: Las ondas están en fase (amplitudes se suman)
  • Destructiva: Las ondas están desfasadas 180° (amplitudes se restan)

Difracción

Es la capacidad de las ondas para bordear obstáculos o pasar por aberturas. Es más notable cuando el tamaño del obstáculo es comparable a la longitud de onda.

Ver simulación de interferencia de ondas

Efecto Doppler

El efecto Doppler es el cambio en la frecuencia percibida cuando hay movimiento relativo entre la fuente y el observador:\(f' = f \frac{v \pm v_o}{v \pm v_f}\) Donde v es la velocidad del sonido,\( v_o\) la velocidad del observador, y\( v_f\) la velocidad de la fuente.

7. Ondas estacionarias

Las ondas estacionarias se forman cuando dos ondas de igual frecuencia y amplitud viajan en direcciones opuestas y se superponen. Se caracterizan por:

  • Nodos: Puntos fijos con amplitud cero
  • Antinodos: Puntos de máxima amplitud

Ver simulación de ondas estacionarias

En una cuerda fija en ambos extremos, las frecuencias de resonancia son:\(f_n = \frac{n}{2L}\sqrt{ \frac{T}{\mu}}\)Donde n = 1, 2, 3, ...

8. Acústica

El sonido es una onda longitudinal mecánica que se propaga a través de un medio. La velocidad del sonido en el aire a 20°C es aproximadamente 343 m/s.

Características del sonido

  • Tono: Relacionado con la frecuencia
  • Intensidad: Relacionada con la amplitud
  • Timbre: Relacionado con la forma de onda (armónicos)

Intensidad sonora

La intensidad sonora se mide en decibelios (dB):\(\beta = 10 \log\left( \frac{I}{I_0}\right)Donde I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2Ver simulación de análisis de Fourier\)

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Conceptos clave
  • MAS: Movimiento donde\(a = -\omega^2 x> - Período: \) T = 2\pi\sqrt{ \frac{m}{k}}(muelle),\( T = 2\pi\sqrt{ \frac{L}{g}}(péndulo)\)
  • Ondas: \(y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi_0)> - Velocidad de onda: \) v = \lambda f = \frac{\omega}{k}> - Efecto Doppler: Cambio de frecuencia por movimiento relativo