1. Ley de la desintegración
Después de $n$ semividas queda $N_0/2^n$. La vida media es $\tau = 1/\lambda$.
2. Fisión y fusión
- Fisión: un núcleo pesado se rompe (p. ej. $^{235}$U + n), liberando ≈ 200 MeV. Se usa en centrales nucleares; problema: residuos radiactivos.
- Fusión: núcleos ligeros se unen (D + T → He + n, 17,6 MeV). Es la fuente de energía del Sol; requiere temperaturas de millones de grados.
3. Ejemplos resueltos
Un isótopo con $T_{1/2}=5$ años. ¿Qué fracción queda a los 15 años?
3 semividas: $(1/2)^3 = 1/8 = 12{,}5\,\%$
Constante de desintegración del yodo-131 ($T_{1/2}=8$ días).
$\lambda = \ln2/8 = 0{,}0866\ \mathrm{d^{-1}}$
Actividad de una muestra con $N = 10^{6}$ núcleos y $\lambda=0{,}01\ \mathrm{s^{-1}}$.
$A = \lambda N = 10^{4}$ Bq
Una muestra arqueológica contiene el 25 % del carbono-14 que tendría un ser vivo ($T_{1/2}=5730$ años). Estima su edad.
$25\%=\left(\tfrac12\right)^2$: han pasado 2 semividas, $t=2\cdot5730=11500$ años.
Una muestra tiene $10^{12}$ núcleos radiactivos con $T_{1/2}=2$ h. Calcula la actividad inicial y la actividad a las 6 h.
$\lambda=\dfrac{\ln2}{T_{1/2}}=9{,}63\cdot10^{-5}\ \mathrm{s^{-1}}$; $A_0=\lambda N_0=9{,}63\cdot10^{7}\ \mathrm{Bq}$.
A las 6 h han pasado 3 semividas: $A=\dfrac{A_0}{8}=1{,}20\cdot10^{7}\ \mathrm{Bq}$
En la fisión de un núcleo de $^{235}$U se liberan unos 200 MeV. Calcula la energía liberada al fisionar 1 g.
$N=\dfrac{6{,}022\cdot10^{23}}{235}=2{,}56\cdot10^{21}$ núcleos. $E=N\cdot200\ \mathrm{MeV}=8{,}20\cdot10^{10}\ \mathrm{J}$ (equivalente a unas 20 toneladas de TNT).
En la fusión $^2_1\mathrm{H}+{}^3_1\mathrm{H}\to{}^4_2\mathrm{He}+n$ se liberan 17,6 MeV. Compara la energía por nucleón con la de la fisión del uranio (200 MeV).
Fusión: $\dfrac{17{,}6}{5}=3{,}52\ \mathrm{MeV/nucleón}$. Fisión: $\dfrac{200}{236}=0{,}847\ \mathrm{MeV/nucleón}$. La fusión libera más energía por unidad de masa.
4. Errores frecuentes
- Olvidar que el defecto de masa se calcula con las masas de las partículas libres menos la del núcleo.
- Usar $T_{1/2}$ en lugar de $\lambda$ en la exponencial.
Contenido ampliado de los apuntes completos
5. Fórmulas fundamentales
| Concepto | Fórmula |
|---|---|
| Factor de Lorentz | $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ |
| Dilatación temporal | $t = \gamma \tau$ |
| Contracción de longitudes | $L = \frac{L_0}{\gamma}$ |
| Energía en reposo | $E = mc^2$ |
| Energía del fotón | $E = hf = \frac{hc}{\lambda}$ |
| Longitud de onda de De Broglie | $\lambda = \frac{h}{p}$ |
| Efecto fotoeléctrico | $hf = W + E_{c,\text{máx}}$ |
| Incertidumbre | $\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$ |
| Niveles de Bohr | $E_n = -\frac{13.6}{n^2}\ \text{eV}$ |
| Radiactividad | $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ |
6. Aplicaciones de la física moderna
- La relatividad se usa para corregir el GPS.
- La mecánica cuántica explica el funcionamiento de semiconductores, láseres y LED.
- La física nuclear tiene aplicaciones médicas y energéticas.
- El efecto fotoeléctrico es la base de sensores y células solares.
7. Ideas para repasar
- Diferencia entre física clásica y física moderna.
- Significado físico del factor de Lorentz.
- Interpretación del efecto fotoeléctrico y de la dualidad onda-corpúsculo.
- Uso correcto de $E = hf$, $E = mc^2$ y $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.