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Los Engranajes
Un engranaje es una rueda dentada que transmite el movimiento de rotación a otra rueda dentada al engranar sus dientes. Los engranajes permiten transmitir fuerzas y movimientos entre ejes, modificando la velocidad, el par de fuerza o la dirección de giro.
Elementos de un engranaje
- Rueda motriz (conductor): Es el engranaje al que se aplica la fuerza. Se denota con el subíndice 1.
- Rueda conducida: Es el engranaje movido por el conductor. Se denota con el subíndice 2.
- Número de dientes (\(Z\)): Cuantos más dientes tiene una rueda, mayor es su diámetro.
- Velocidad angular (\(n\)): Generalmente en rpm (revoluciones por minuto).
Ley de engranajes
Los dientes de ambas ruedas deben ser del mismo tamaño. Por cada vuelta completa de la rueda motriz, la rueda conducida gira tantas veces como sea necesario para que los mismos dientes encajen.
La relación entre velocidades y número de dientes es:
\[\frac{n_1}{n_2} = \frac{Z_2}{Z_1}\]
O de forma equivalente:
\[n_1 \cdot Z_1 = n_2 \cdot Z_2\]
Donde:
- \(n_1\), \(n_2\): velocidades angulares de cada rueda (rpm)
- \(Z_1\), \(Z_2\): número de dientes de cada rueda
Relación de Transmisión
\[i = \frac{n_2}{n_1} = \frac{Z_1}{Z_2}\]
- Si \(Z_1 < Z_2\) (rueda pequeña mueve a rueda grande): \(i < 1\) → la conducida gira más lenta. Se gana fuerza (par motor).
- Si \(Z_1 > Z_2\) (rueda grande mueve a rueda pequeña): \(i > 1\) → la conducida gira más rápida. Se gana velocidad.
- Si \(Z_1 = Z_2\): \(i = 1\) → misma velocidad angular.
Sentido de giro
- Cuando dos engranajes externos engranan directamente, giran en sentidos contrarios.
- Si se intercala un engranaje intermedio (loco), los engranajes extremos giran en el mismo sentido.
Conservación de la potencia
En un sistema ideal (sin rozamiento), la potencia se conserva:
\[P = F_1 \cdot v_1 = F_2 \cdot v_2\]
Al ganar velocidad, se pierde fuerza, y viceversa.
Tren de engranajes
Un tren de engranajes es una serie de ruedas dentadas encadenadas. La relación de transmisión total es el producto de las relaciones individuales:
\[i_{total} = i_1 \cdot i_2 \cdot i_3 \ldots = \frac{Z_1}{Z_2} \cdot \frac{Z_3}{Z_4} \ldots\]
Tabla de relaciones de transmisión típicas
| Situación | Relación i | Efecto |
|---|---|---|
| Bicicleta (piñón grande) | < 1 | Menos velocidad, más fuerza |
| Bicicleta (piñón pequeño) | > 1 | Más velocidad, menos fuerza |
| Caja de cambios (1ª) | < 1 | Arranque con fuerza |
| Caja de cambios (5ª) | ~ 1 | Velocidad de crucero |
Aplicaciones de los engranajes
Ejemplos cotidianos:
- Reloj mecánico: Tren de engranajes que reduce la velocidad del muelle para mover las agujas.
- Caja de cambios de un vehículo: Diferentes combinaciones de engranajes para adaptar fuerza y velocidad.
- Bicicleta: Plato y piñones para adaptar el pedaleo al terreno.
- Taladro: Engranajes internos para reducir velocidad y aumentar par.
- Mecanismo de limpiaparabrisas: Convierte el movimiento rotatorio en oscilante.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Un motor acciona una rueda de \(Z_1 = 20\) dientes a \(n_1 = 600\) rpm. Esta engrana con una rueda de \(Z_2 = 80\) dientes. ¿A qué velocidad gira la segunda rueda?
Aplicamos la ley de engranajes:
\[n_1 \cdot Z_1 = n_2 \cdot Z_2\]
>
\[n_2 = \frac{n_1 \cdot Z_1}{Z_2} = \frac{600 \cdot 20}{80} = 150 \text{ rpm}\]
> > Relación de transmisión: >
\[i = \frac{Z_1}{Z_2} = \frac{20}{80} = 0{,}25\]
> > La segunda rueda gira 4 veces más lento, pero con 4 veces más par de fuerza.