Errores en Medidas Científicas

En ciencia, toda medición está sujeta a errores e incertidumbres. Comprender estos errores es fundamental para evaluar la fiabilidad de los resultados experimentales.

Cifras Significativas

Las cifras significativas son aquellos dígitos en una medida que aportan información real sobre la magnitud medida.

Reglas para identificar cifras significativas:

• Todos los dígitos distintos de cero son significativos.
• Los ceros entre dígitos significativos son significativos.
• Los ceros a la izquierda (que solo indican posición decimal) no son significativos.
• Los ceros a la derecha después del punto decimal son significativos.
• Los ceros a la derecha en números enteros son ambiguos a menos que se use notación científica.

Ejemplos:

• 0,00234: tiene 3 cifras significativas (2, 3, 4).
• 1,050: tiene 4 cifras significativas (1, 0, 5, 0).
• 7,00 × 10²: tiene 3 cifras significativas (7, 0, 0).
• 3000: ambiguo sin contexto adicional.

Redondeo

El redondeo es necesario para expresar resultados con el número adecuado de cifras significativas.

Reglas de redondeo:

• Si la primera cifra descartada es menor que 5, la última cifra retenida no cambia.
• Si la primera cifra descartada es mayor que 5, o es 5 seguida de dígitos no todos ceros, la última cifra retenida se incrementa en 1.
• Si la primera cifra descartada es exactamente 5 (sin cifras significativas después), la última cifra retenida se redondea al valor par más cercano.

Ejemplos:

• 2,443 redondeado a 3 cifras: 2,44
• 2,456 redondeado a 3 cifras: 2,46
• 2,450 redondeado a 3 cifras: 2,45 (se mantiene el 5 por ser par)
• 2,350 redondeado a 3 cifras: 2,35 (se mantiene el 5 por ser par)

Valor de una Medida

Una medida experimental debe expresarse correctamente, indicando tanto su valor como su incertidumbre.

Forma correcta de expresar una medida:

• Valor ± Incertidumbre (con unidades)
• Ejemplo: (15,3 ± 0,2) cm

El número de cifras decimales en la incertidumbre determina el número de decimales que deben mostrarse en el valor de la medida.

Error Absoluto

El error absoluto es la diferencia entre el valor medido y el valor considerado verdadero.

Fórmula: \(E_{abs} = | \text{Valor medido} - \text{Valor real} |\) El error absoluto tiene las mismas unidades que la magnitud medida. Por ejemplo, si medimos longitud $en metros, el error absoluto también se expresa en metros. Ejemplo:

Si medimos 5,43 cm cuando el valor real es 5,40 cm, el error absoluto es |5,43 - 5,40| = 0,03 cm.

Error Relativo

El error relativo es la proporción entre el error absoluto y el valor real, normalmente expresado como porcentaje.

Fórmula: \(E_{rel} = \frac{E_{abs}}{ \text{Valor real}} \times 100\% \) El error relativo es adimensional (sin unidades) si se expresa como fracción, o $en porcentaje si se multiplica por 100. Ejemplo:

Siguiendo el ejemplo anterior, el error relativo sería (0,03 cm / 5,40 cm) × 100% = 0,56%.

Propagación de Errores

Cuando realizamos operaciones con magnitudes que tienen errores, estos se propagan al resultado.

Reglas básicas de propagación:

• En sumas y restas: los errores absolutos se suman.
• En multiplicaciones y divisiones: los errores relativos se suman.

Ejemplos:

• Si sumamos (10,2 ± 0,1) cm + (5,3 ± 0,2) cm = (15,5 ± 0,3) cm
• Si multiplicamos (2,5 ± 0,1) m × (3,0 ± 0,2) m = (7,5 ± 0,75) m² (el error relativo es la suma de 4% y 6,7%)

Exactitud vs. Precisión

Es importante distinguir entre estos dos conceptos:

• Exactitud: Cercanía de una medida al valor real (se relaciona con el error sistemático).
• Precisión: Reproducibilidad de las medidas (se relaciona con el error aleatorio).

Un instrumento puede ser preciso (dar siempre las mismas lecturas) pero inexacto (alejado del valor real), o viceversa.

Variabilidad de Medidas y Análisis Estadístico

En la práctica experimental, nunca se obtienen exactamente las mismas medidas al repetir un experimento, incluso en condiciones idénticas. Esta variabilidad es inherente al proceso de medición y se debe a múltiples factores:

• Fluctuaciones aleatorias en el sistema físico
• Limitaciones del instrumento de medición
• Variaciones en las condiciones ambientales
• Factores humanos en la toma de datos

Cuando realizamos múltiples mediciones de una misma magnitud, después de poner a punto el instrumento, el valor más representativo es la media aritmética de todos los resultados obtenidos:

Media aritmética: \(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum x_i}{n}\) para cuantificar la dispersión de las medidas, se utiliza la desviación estándar, que representa la incertidumbre estadística de nuestras mediciones: Desviación estándar: \(\sigma = \sqrt{ \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \) El resultado final debe expresarse como: x̄ ± error ($con unidades), donde σ representa la incertidumbre en la medida.

Además de la desviación estándar, cuando trabajamos con muestras y queremos estimar la precisión de la media como estimador del valor verdadero, utilizamos el error estándar de la media:

Error estándar:\(\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) El error estándar disminuye al aumentar el número de mediciones, lo que indica que la media es más precisa cuando se basa $en más datos. Es especialmente útil cuando queremos comparar nuestros resultados con un valor teórico o con los resultados de otros experimentos.

Secciones colapsibles:

Ejemplo 1: Análisis de cifras significativas en cálculos

Problema: Calcula el área de un rectángulo cuyos lados miden 4,52 cm y 3,1 cm. Expresa el resultado con el número correcto de cifras significativas. Paso 1: Identificar las cifras significativas

• 4,52 cm tiene 3 cifras significativas
• 3,1 cm tiene 2 cifras significativas

Paso 2: Realizar el cálculo: \( \text{Área} = 4,52 \text{ cm} \times 3,1 \text{ cm} = 14,012 \text{ cm}^2\) Paso 3: Redondear: En multiplicaciones, el resultado debe tener el mismo número de cifras significativas que el factor con menos cifras (en este caso, 2). Resultado: Área = 14 cm²

Ejemplo 2: Cálculo de error absoluto y relativo

Problema: Se mide la masa de un objeto con una balanza, obteniendo 245,3 g. Si la masa real del objeto es 243,8 g, calcula el error absoluto y el error relativo. Paso 1: Calcular el error absoluto: \(E_{abs} = |245,3 \text{ g} - 243,8 \text{ g}| = 1,5 \text{ g}\) Paso 2: Calcular el error relativo: \(E_{rel} = \frac{1,5 \text{ g}}{243,8 \text{ g}} \times 100% = 0,615%\) Resultado:

• Error absoluto: 1,5 g
• Error relativo: 0,62% (redondeado a 2 cifras significativas)

Ejemplo 3: Análisis estadístico de mediciones repetidas

Problema: Se mide el periodo de oscilación de un péndulo 8 veces, obteniendo los siguientes valores (en segundos): 2,14; 2,16; 2,13; 2,17; 2,15; 2,12; 2,16; 2,14. Calcula la media, la desviación estándar y el error estándar. Paso 1: Calcular la media aritmética: \(ar{x} = \frac{2,14 + 2,16 + 2,13 + 2,17 + 2,15 + 2,12 + 2,16 + 2,14}{8} = \frac{17,17}{8} = 2,146 \text{ s}\) Paso 2: Calcular la desviación estándar: \(sigma = \sqrt{ \frac{sum(x_i - ar{x})^2}{n-1}} = \sqrt{ \frac{0,001988}{7}} = 0,0168 \text{ s}\) Paso 3: Calcular el error estándar: \(sigma_{ar{x}} = \frac{sigma}{sqrt{n}} = \frac{0,0168}{sqrt{8}} = 0,0059 \text{ s}\) Resultado: T = (2,146 ± 0,017) s

Ejemplo 4: Propagación de errores en suma y multiplicación

Problema: Un estudiante mide los lados de un rectángulo: L₁ = (15,3 ± 0,2) cm y L₂ = (8,7 ± 0,1) cm. Calcula el perímetro y el área con sus respectivas incertidumbres. Perímetro (suma): \(P = 2(L_1 + L_2) = 48,0 \text{ cm}\) \(Delta P = 2 \times (0,2 + 0,1) = 0,6 \text{ cm}\) \(P = (48,0 pm 0,6) \text{ cm}\) Área (multiplicación): \(A = L_1 \times L_2 = 133,11 \text{ cm}^2\) \( \frac{\Delta A}{A} = \frac{0,2}{15,3} + \frac{0,1}{8,7} = 0,0246\) \(Delta A = 133,11 \times 0,0246 = 3,27 \text{ cm}^2\) \(A = (133 pm 3) \text{ cm}^2\)

Ejemplo 5:** Comparación de exactitud y precisión

Problema: Dos estudiantes miden la longitud de una mesa (valor real: 120,0 cm) usando diferentes instrumentos. Analiza la exactitud y precisión de cada método. Estudiante A (regla graduada): Media: 119,9 cm; Desviación: 0,15 cm Estudiante B (cinta métrica): Media: 121,2 cm; Desviación: 0,11 cm Análisis:

• Error A: 0,1 cm (más exacto, menos preciso)
• Error B: 1,2 cm (menos exacto, más preciso)

Ecuaciones con LaTeX

Ecuación en línea: $ \text{NaCl} ightarrow \text{Na}^+ + \text{Cl}^-$

Ecuación en bloque: