Sistema Internacional de Unidades y Análisis Dimensional

El estudio de las magnitudes físicas y químicas requiere no solo conocer sus valores numéricos, sino también comprender sus unidades y cómo éstas se relacionan en las ecuaciones.

Sistema Internacional de Unidades (SI)

El Sistema Internacional de Unidades (SI) es el sistema de unidades más utilizado en ciencia. Se basa en siete unidades básicas, a partir de las cuales se derivan todas las demás.

Unidades derivadas importantes:

Análisis Dimensional y Homogeneidad de Ecuaciones

El análisis dimensional es una herramienta que permite estudiar las relaciones entre las magnitudes físicas a través de sus dimensiones, independientemente de las unidades específicas utilizadas.

Principios fundamentales:

Las ecuaciones físicas deben ser dimensionalmente homogéneas: ambos lados deben tener las mismas dimensiones. No se pueden sumar o restar cantidades con dimensiones diferentes. Los argumentos de funciones como exponenciales, logaritmos o funciones trigonométricas deben ser adimensionales.

Ejemplo 1: Ecuación del movimiento uniformemente acelerado

Analicemos la ecuación:\(x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}\) at^2\(- Dimensiones de x y x₀: [L]\)

• Dimensiones de v₀·t: [L·T⁻¹]·[T] = [L]
• Dimensiones de ½·a·t²: [L·T⁻²]·[T²] = [L]

Todos los términos tienen dimensiones de longitud [L], por lo que la ecuación es dimensionalmente correcta.

Ejemplo 2: Ecuación de energía cinética

Analicemos la ecuación:\(E_c = \frac{1}{2}\) mv^2\(- Dimensiones de E_c: [M·L²·T⁻²]\)

• Dimensiones de ½·m·v²: [M]·[L·T⁻¹]² = [M]·[L²·T⁻²] = [M·L²·T⁻²]

Ambos lados tienen las mismas dimensiones, por lo que la ecuación es dimensionalmente correcta.

Dimensionalidad en Ecuaciones Químicas

En química, las ecuaciones también deben ser dimensionalmente coherentes, especialmente cuando se trabaja con cinética química, equilibrio o termodinámica.

Leyes de velocidad de reacción:

Para una reacción de primer orden:\( \frac{d[A]}{dt} = -k[A]\)- Dimensiones del lado izquierdo: [concentración]·[T⁻¹] = [mol·L⁻¹·T⁻¹]

• Dimensiones del lado derecho: [k]·[concentración] = [T⁻¹]·[mol·L⁻¹] = [mol·L⁻¹·T⁻¹]

Por tanto, k debe tener unidades de [T⁻¹], típicamente s⁻¹.

Para una reacción de segundo orden: \( \frac{d[A]}{dt} = -k[A][B]\)- Dimensiones del lado izquierdo: [mol·L⁻¹·T⁻¹]

• Dimensiones del lado derecho: [k]·[mol·L⁻¹]² = [mol·L⁻¹·T⁻¹]

Por tanto, k debe tener unidades de [L·mol⁻¹·T⁻¹], típicamente L·mol⁻¹·s⁻¹.

Constante de equilibrio:

La constante de equilibrio K para una reacción puede tener diferentes unidades según la naturaleza de la reacción:

• Para equilibrios homogéneos en fase gaseosa: K puede ser adimensional si se usan presiones parciales relativas.
• Para equilibrios en solución: K puede tener unidades como (mol/L)ⁿ, donde n depende de la estequiometría de la reacción.

Constantes Físicas y sus Unidades

Las constantes físicas y químicas tienen unidades específicas que garantizan la coherencia dimensional de las ecuaciones en las que aparecen.

Constante Símbolo Valor aproximado Unidades SI

Constante gravitacional G 6,674 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²)

Velocidad de la luz en el vacío c 2,998 × 10⁸ m/s

Constante de Planck h 6,626 × 10⁻³⁴ J·s

Constante de Boltzmann k 1,381 × 10⁻²³ J/K

Constante de los gases R 8,314 J/(mol·K)

Número de Avogadro Nₐ 6,022 × 10²³ mol⁻¹

Constante de Faraday F 9,649 × 10⁴ C/mol

Ejemplo: Ecuación de Arrhenius

La ecuación de Arrhenius describe la dependencia de la constante de velocidad de una reacción con la temperatura:\(k = A · e^{-E_a/(RT)}\)Donde:

• k es la constante de velocidad (unidades varían según el orden de reacción)
• A es el factor pre-exponencial (mismas unidades que k)
• Eₐ es la energía de activación (J/mol)
• R es la constante de los gases (8,314 J/(mol·K))
• T es la temperatura absoluta (K)

Para que la ecuación sea dimensionalmente correcta, el exponente debe ser adimensional, lo que se logra expresando Eₐ en J/mol, ya que R·T tiene unidades de J/mol.

Aplicaciones del Análisis Dimensional

El análisis dimensional tiene numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería:

1. Verificación de ecuaciones:

Permite comprobar la plausibilidad de una ecuación antes de hacer cálculos detallados.

2. Deducción de fórmulas:

A partir del conocimiento de las variables relevantes y sus dimensiones, se pueden deducir formas funcionales posibles para una relación física.

Ejemplo: Periodo de un péndulo

Si sabemos que el periodo T de un péndulo simple depende de su longitud L y de la aceleración gravitatoria g, el análisis dimensional sugiere:\(T = C · \sqrt{ \frac{L}{g}}\)Donde C es una constante adimensional (que resulta ser 2π).

3. Semejanza física y modelos a escala:

El análisis dimensional permite establecer criterios de semejanza para modelos a escala en ingeniería.

4. Números adimensionales:

En mecánica de fluidos y transferencia de calor, números adimensionales como el número de Reynolds o el número de Prandtl caracterizan los sistemas independientemente de su tamaño absoluto.

Conclusión:

El correcto manejo de las unidades y el análisis dimensional son herramientas fundamentales en ciencia que permiten:

• Verificar la coherencia de ecuaciones
• Detectar errores en cálculos
• Facilitar la conversión entre diferentes sistemas de unidades
• Simplificar la resolución de problemas complejos
• Desarrollar modelos matemáticos coherentes con los fenómenos físicos y químicos

Determinación de Unidades y Fórmulas mediante Análisis Dimensional

El análisis dimensional es una herramienta poderosa para determinar las unidades de constantes desconocidas y discriminar entre fórmulas posibles cuando tenemos dudas sobre la forma correcta de una ecuación.

Método para determinar unidades de constantes:

Identificar la ecuación donde aparece la constante Escribir las dimensiones de todas las variables conocidas Aplicar el principio de homogeneidad dimensional Despejar las dimensiones de la constante

Ejemplos Resueltos

*Ejemplo 1: Determinación de unidades de la constante gravitacional G

Partiendo de la ley de gravitación universal:\(F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}Paso 1: Identificar las dimensiones conocidas\)

• F (fuerza): [M·L·T⁻²]
• m₁, m₂ (masas): [M]
• r (distancia): [L]

Paso 2: Aplicar homogeneidad dimensional\([M·L·T^{-2}] = [G] \frac{[M][M]}{[L]^2}Paso 3: Despejar [G]\)[G] = \frac{[M·L·T^{-2}][L]^2}{[M]^2} = [M^{-1}·L^3·T^{-2}]Resultado: G tiene unidades de m³/(kg·s²)

Ejemplo 2: Discriminación entre fórmulas - Energía de un oscilador armónico

Supongamos que dudamos entre estas dos fórmulas para la energía de un oscilador armónico:

• Opción A:\(E = \frac{1}{2}\) kx^2\(- Opción B:\) E = \frac{1}{2}\( kx\)Donde k es la constante del resorte y x es el desplazamiento.

Datos conocidos:

• E (energía): [M·L²·T⁻²]
• x (desplazamiento): [L]
• k (constante del resorte): [M·T⁻²] (se puede deducir de F = kx)

Análisis de la Opción A: \([ \frac{1}{2}\) kx^2] = [M·T^{-2}][L]^2 = [M·L^2·T^{-2}]✅ Dimensionalmente correcta

\[

Análisis de la Opción B: \([ \frac{1}{2}\) kx] = [M·T^{-2}][L] = [M·L·T^{-2}]❌ Las dimensiones no coinciden con las de energía\]

Conclusión: Solo la Opción A es dimensionalmente correcta.

Ejemplo 3: Determinación de unidades en cinética química

Para una reacción de orden n, la ecuación integrada es:\( \frac{1}{[A]^{n-1}} - \frac{1}{[A_0]^{n-1}} = (n-1)ktPara n = 3 (tercer orden): \) \frac{1}{[A]^2} - \frac{1}{[A_0]^2} = 2ktAnálisis dimensional:

• Lado izquierdo: [concentración⁻²] = [L²·mol⁻²]
• t (tiempo): [T]
• Para que sea dimensionalmente homogéneo: \([k][T] = [L^2\cdot \text{mol}^{-2}]\)

\([k] = [L^2\cdot \text{mol}^{-2}\cdot T^{-1}]\)

Resultado: Para una reacción de tercer orden, k tiene unidades de L²·mol⁻²·s⁻¹

\[ $> Ejemplo 4: Constante de equilibrio y presión

Para la reacción: N₂(g) + 3H₂(g) ⇌ 2NH₃(g)

La expresión de equilibrio en términos de presiones parciales es:

\]

K_p = \frac{P_{NH_3}^2}{P_{N_2} \cdot P_{H_2}^3}

\[

Análisis dimensional:

• Numerador: [presión]² = [M·L⁻¹·T⁻²]²
• Denominador: [presión]¹ × [presión]³ = [M·L⁻¹·T⁻²]⁴\([K_p] = \frac{[M·L^{-1}·T^{-2}]^2}{[M·L^{-1}·T^{-2}]^4} = [M^{-2}·L^2·T^4]En unidades del SI: Pa⁻² = (kg·m⁻¹·s⁻²)⁻²\)

Nota: Δn = (productos) - (reactivos) = 2 - (1+3) = -2

En general, Kp tiene unidades de [presión]^Δn

Ejemplo 5: Discriminación entre leyes de velocidad

Para el flujo de un fluido en una tubería, dudamos entre estas leyes:

• Ley A:\(v = \sqrt{ \frac{2\Delta P}{\rho}}\)- Ley B:\( v = \frac{\Delta P}{\rho}\)Donde v es velocidad, ΔP es diferencia de presión, y ρ es densidad.

Dimensiones conocidas:

• v: [L·T⁻¹]
• ΔP: [M·L⁻¹·T⁻²]
• ρ: [M·L⁻³]

Análisis de la Ley A: \([\sqrt{ \frac{\Delta P}{\rho}}] = [\sqrt{ \frac{M·L^{-1}·T^{-2}}{M·L^{-3}}}] = [\sqrt{L^2·T^{-2}}] = [L·T^{-1}]✅ Correcta (corresponde a la ecuación de Torricelli)\)

Análisis de la Ley B: \([ \frac{\Delta P}{\rho}] = \frac{[M·L^{-1}·T^{-2}]}{[M·L^{-3}]} = [L^2·T^{-2}]❌ Las dimensiones corresponden a energía específica, no a velocidad\)

Ejemplo 6: Análisis dimensional en ecuaciones termodinámicas

La ecuación de van der Waals para gases reales es:\(\left(P + \frac{a}{V^2}\right)(V - b) = RT\)Donde a y b son constantes específicas del gas. Determinemos sus unidades.

Para la constante 'a':

El término a/V² debe tener dimensiones de presión para sumarse a P:\( \frac{[a]}{[V]^2} = [P]\)[a] = [P][V]^2 = [M·L^{-1}·T^{-2}][L^3]^2 = [M·L^5·T^{-2}]Para la constante 'b': \]

\[ El término b debe tener dimensiones de volumen para restarse de V:\([b] = [V] = [L^3]Resultado: \) \]

• a: Pa·m⁶·mol⁻² (o equivalente)
• b: m³·mol⁻¹

Ejemplo 7: Ley de Stefan-Boltzmann

La potencia radiada por un cuerpo negro viene dada por:\(P = \sigma A T^4\) Donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann. Determinemos sus unidades.

Dimensiones conocidas:

• P (potencia): [M·L²·T⁻³]
• A (área): [L²]
• T (temperatura): [K]

Análisis dimensional: \([M·L^2·T^{-3}] = [\sigma][L^2][K]^4\)[\sigma] = \frac{[M·L^2·T^{-3}]}{[L^2][K^4]} = [M·T^{-3}·K^{-4}]Resultado: σ = 5,67 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴

\[ \]

\(> [Ejemplo 8: Ley de Coulomb] La fuerza entre dos cargas eléctricas viene dada por:\)F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}Determinemos las unidades de la constante k (constante de Coulomb).

Dimensiones conocidas:

• F (fuerza): [M·L·T⁻²]
• q₁, q₂ (cargas): [I·T] = [Q]
• r (distancia): [L]

Análisis dimensional:

\([M·L·T^{-2}] = [k] \frac{[I·T]^2}{[L]^2}\)

\([k] = \frac{[M·L·T^{-2}][L^2]}{[I^2·T^2]} = [M·L^3·T^{-4}·I^{-2}]\)

Resultado:* k ≈ 9 × 10⁹ N·m²·C⁻²