Sistema Internacional de Unidades y Análisis Dimensional
El estudio de las magnitudes físicas y químicas requiere no solo conocer sus valores numéricos, sino también comprender sus unidades y cómo éstas se relacionan en las ecuaciones.
Sistema Internacional de Unidades (SI)
El Sistema Internacional de Unidades (SI) es el sistema de unidades más utilizado en ciencia. Se basa en siete unidades básicas, a partir de las cuales se derivan todas las demás.
| Magnitud física | Unidad básica SI | Símbolo | Dimensión | Constante física asociada |
|---|---|---|---|---|
| Longitud | metro | m | [L] | Velocidad de la luz (c=299,792,458 m/s) |
| Masa | kilogramo | kg | [M] | Constante de Planck (h=6.626×10⁻³⁴ J·s) |
| Tiempo | segundo | s | [T] | Constante de Boltzmann (k=1.381×10⁻²³ J/K) |
| Corriente eléctrica | amperio | A | [I] | Constante de Faraday (F=96,485 C/mol) |
| Temperatura termodinámica | kelvin | K | [Θ] | Constante de los gases ideales (R=8.314 J/(mol·K)) |
| Cantidad de sustancia | mol | mol | [N] | Número de Avogadro (NA=6.022×10²³ moléculas) |
| Intensidad luminosa | candela | cd | [J] | Constante de Stefan-Boltzmann (σ=5.670×10⁻⁸ W/(m²·K⁴)) |
Unidades derivadas importantes:
| Magnitud física | Unidad SI | Símbolo | En unidades básicas |
|---|---|---|---|
| Fuerza | newton | N | kg·m/s² |
| Energía, trabajo | julio | J | kg·m²/s² |
| Potencia | vatio | W | kg·m²/s³ |
| Presión | pascal | Pa | kg/(m·s²) |
| Carga eléctrica | culombio | C | A·s |
| Diferencia de potencial | voltio | V | kg·m²/(s³·A) |
| Frecuencia | hercio | Hz | s⁻¹ |
Análisis Dimensional y Homogeneidad de Ecuaciones
El análisis dimensional es una herramienta que permite estudiar las relaciones entre las magnitudes físicas a través de sus dimensiones, independientemente de las unidades específicas utilizadas.
Principios fundamentales:
Las ecuaciones físicas deben ser dimensionalmente homogéneas: ambos lados deben tener las mismas dimensiones. No se pueden sumar o restar cantidades con dimensiones diferentes. Los argumentos de funciones como exponenciales, logaritmos o funciones trigonométricas deben ser adimensionales.
Ejemplo: unidades de la constante de gravitación
Si tomamos la ley de gravitación universal: $ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $ Donde:
- F es la fuerza
- G es la constante de gravitación
- m₁ y m₂ son masas
- r es la distancia entre las masas
Conociendo las dimensiones de cada magnitud:
- F tiene dimensiones $ [M·L·T^{-2}] $
- m₁ y m₂ tienen dimensiones $ [M] $
- r tiene dimensiones $ [L] $
Sustituimos en la ecuación:
$ [M·L·T^{-2}] = [G] \frac{[M][M]}{[L]^2} $
Despejando $ [G] $:
$ [G] = \frac{[M·L·T^{-2}][L]^2}{[M]^2} = [M^{-1}·L^3·T^{-2}] $
Ahora hacemos lo mismo con unidades del SI:
- F se mide en newtons (N) = kg·m/s²
- m₁ y m₂ se miden en kg
- r se mide en m
$ \frac{kg·m}{s^2} = G \frac{kg·kg}{m^2} $
Despejando $ G $:
$ G = \frac{kg·m}{s^2} \cdot \frac{m^2}{kg^2} = \frac{m^3}{kg·s^2} $
Por tanto, la constante de gravitación tiene dimensiones $ [M^{-1}·L^3·T^{-2}] $ y en el SI sus unidades son m³/(kg·s²).
Gracias a la operacion con unidades podemos asegurarnos que una ecuacion es correcta, debido a que nos indica las unidades del resto de variables o podemos incluso deducir su ecuación cuando tenemos dudas.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: energia elastica
Opcion A: $ E = \frac{1}{2}kx^2 $ Opcion B: $ E = \frac{1}{2}kx $ $ [kx^2] = [M·T^{-2}][L]^2 = [M·L^2·T^{-2}] $, asi que la A es correcta. $ [kx] = [M·T^{-2}][L] = [M·L·T^{-2}] $, asi que la B no es energia.
Ejemplo 2: reaccion de tercer orden
Si $ \frac{1}{[A]^2} = 2kt $, entonces $ [k][t] = [concentracion]^{-2} $. Como $ [concentracion] = mol·L^{-1} $, queda $ [k] = L^2·mol^{-2}·s^{-1} $. Resultado: $ k $ tiene unidades de L²·mol⁻²·s⁻¹.
Ejemplo 3: equilibrio en presion
$ K_p = \frac{P_{NH_3}^2}{P_{N_2}P_{H_2}^3} $ Arriba hay presion² y abajo presion⁴. Resultado: $ [K_p] = [presion]^{-2} $, es decir Pa⁻².
Ejemplo 4: velocidad de un fluido
Ley A: $ v = \sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}} $ Ley B: $ v = \frac{\Delta P}{\rho} $ $ [\Delta P / \rho] = [L^2·T^{-2}] $; al sacar raiz queda $ [L·T^{-1}] $. Resultado: la ley A es correcta para una velocidad.
Ejemplo 5: constante a de van der Waals
En $ \left(P + \frac{a}{V^2}\right)(V-b)=RT $, el termino $ a/V^2 $ debe ser presion. Entonces $ [a] = [P][V]^2 = [M·L^{-1}·T^{-2}][L^3]^2 $. Resultado: $ [a] = [M·L^5·T^{-2}] $.
Ejemplo 6: constante b de van der Waals
En la misma ecuacion, $ V-b $ solo se puede restar si ambos tienen la misma dimension. Resultado: $ [b] = [V] = [L^3] $, asi que b se mide como un volumen molar.
Ejemplo 7: Stefan-Boltzmann
$ P = \sigma A T^4 $ $ [\sigma] = \frac{[P]}{[A][T]^4} = \frac{[M·L^2·T^{-3}]}{[L^2][K^4]} $ Resultado: $ [\sigma] = [M·T^{-3}·K^{-4}] $.
Ejemplo 8: ley de Coulomb
$ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} $ $ [k] = \frac{[F][r]^2}{[q]^2} = \frac{[M·L·T^{-2}][L]^2}{[I·T]^2} $ Resultado: $ [k] = [M·L^3·T^{-4}·I^{-2}] $.
Ejemplo 9: densidad
Si $ \rho = \frac{m}{V} $, entonces $ [\rho] = \frac{[M]}{[L^3]} $. Resultado: la densidad tiene dimensiones $ [M·L^{-3}] $ y en SI se expresa en kg/m³.