Sistema Internacional de Unidades y Análisis Dimensional

El estudio de las magnitudes físicas y químicas requiere no solo conocer sus valores numéricos, sino también comprender sus unidades y cómo éstas se relacionan en las ecuaciones.

Sistema Internacional de Unidades (SI)

El Sistema Internacional de Unidades (SI) es el sistema de unidades más utilizado en ciencia. Se basa en siete unidades básicas, a partir de las cuales se derivan todas las demás.

Unidades derivadas importantes:

Análisis Dimensional y Homogeneidad de Ecuaciones

El análisis dimensional es una herramienta que permite estudiar las relaciones entre las magnitudes físicas a través de sus dimensiones, independientemente de las unidades específicas utilizadas.

Principios fundamentales:

Las ecuaciones físicas deben ser dimensionalmente homogéneas: ambos lados deben tener las mismas dimensiones. No se pueden sumar o restar cantidades con dimensiones diferentes. Los argumentos de funciones como exponenciales, logaritmos o funciones trigonométricas deben ser adimensionales.

Ejemplo: unidades de la constante de gravitación

Si tomamos la ley de gravitación universal: \( F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \) Donde:

• F es la fuerza
• G es la constante de gravitación
• m₁ y m₂ son masas
• r es la distancia entre las masas

Conociendo las dimensiones de cada magnitud:

• F tiene dimensiones \( [M·L·T^{-2}] \)
• m₁ y m₂ tienen dimensiones \( [M] \)
• r tiene dimensiones \( [L] \)

Sustituimos en la ecuación:

\( [M·L·T^{-2}] = [G] \frac{[M][M]}{[L]^2} \)

Despejando \( [G] \):

\( [G] = \frac{[M·L·T^{-2}][L]^2}{[M]^2} = [M^{-1}·L^3·T^{-2}] \)

Ahora hacemos lo mismo con unidades del SI:

• F se mide en newtons (N) = kg·m/s²
• m₁ y m₂ se miden en kg
• r se mide en m

\( \frac{kg·m}{s^2} = G \frac{kg·kg}{m^2} \)

Despejando \( G \):

\( G = \frac{kg·m}{s^2} \cdot \frac{m^2}{kg^2} = \frac{m^3}{kg·s^2} \)

Por tanto, la constante de gravitación tiene dimensiones \( [M^{-1}·L^3·T^{-2}] \) y en el SI sus unidades son m³/(kg·s²).

Gracias a la operacion con unidades podemos asegurarnos que una ecuacion es correcta, debido a que nos indica las unidades del resto de variables o podemos incluso deducir su ecuación cuando tenemos dudas.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: energia elastica

Opcion A: \( E = \frac{1}{2}kx^2 \)
Opcion B: \( E = \frac{1}{2}kx \)
\( [kx^2] = [M·T^{-2}][L]^2 = [M·L^2·T^{-2}] \), asi que la A es correcta.
\( [kx] = [M·T^{-2}][L] = [M·L·T^{-2}] \), asi que la B no es energia.

Ejemplo 2: reaccion de tercer orden

Si \( \frac{1}{[A]^2} = 2kt \), entonces \( [k][t] = [concentracion]^{-2} \).
Como \( [concentracion] = mol·L^{-1} \), queda \( [k] = L^2·mol^{-2}·s^{-1} \).
Resultado: \( k \) tiene unidades de L²·mol⁻²·s⁻¹.

Ejemplo 3: equilibrio en presion

\( K_p = \frac{P_{NH_3}^2}{P_{N_2}P_{H_2}^3} \)
Arriba hay presion² y abajo presion⁴.
Resultado: \( [K_p] = [presion]^{-2} \), es decir Pa⁻².

Ejemplo 4: velocidad de un fluido

Ley A: \( v = \sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}} \)
Ley B: \( v = \frac{\Delta P}{\rho} \)
\( [\Delta P / \rho] = [L^2·T^{-2}] \); al sacar raiz queda \( [L·T^{-1}] \).
Resultado: la ley A es correcta para una velocidad.

Ejemplo 5: constante a de van der Waals

En \( \left(P + \frac{a}{V^2}\right)(V-b)=RT \), el termino \( a/V^2 \) debe ser presion.
Entonces \( [a] = [P][V]^2 = [M·L^{-1}·T^{-2}][L^3]^2 \).
Resultado: \( [a] = [M·L^5·T^{-2}] \).

Ejemplo 6: constante b de van der Waals

En la misma ecuacion, \( V-b \) solo se puede restar si ambos tienen la misma dimension.
Resultado: \( [b] = [V] = [L^3] \), asi que b se mide como un volumen molar.

Ejemplo 7: Stefan-Boltzmann

\( P = \sigma A T^4 \)
\( [\sigma] = \frac{[P]}{[A][T]^4} = \frac{[M·L^2·T^{-3}]}{[L^2][K^4]} \)
Resultado: \( [\sigma] = [M·T^{-3}·K^{-4}] \).

Ejemplo 8: ley de Coulomb

\( F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \)
\( [k] = \frac{[F][r]^2}{[q]^2} = \frac{[M·L·T^{-2}][L]^2}{[I·T]^2} \)
Resultado: \( [k] = [M·L^3·T^{-4}·I^{-2}] \).

Ejemplo 9: densidad

Si \( \rho = \frac{m}{V} \), entonces \( [\rho] = \frac{[M]}{[L^3]} \).
Resultado: la densidad tiene dimensiones \( [M·L^{-3}] \) y en SI se expresa en kg/m³.