Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece en el exponente de una potencia. Por ejemplo:
Para resolverlas necesitamos dominar las propiedades de las potencias.
Propiedades de las potencias
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Producto de potencias | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ |
| Cociente de potencias | $a^m : a^n = a^{m-n}$ |
| Potencia de una potencia | $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ |
| Exponente negativo | $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ |
| Exponente cero | $a^0 = 1$ (con $a \neq 0$) |
| Raíz como potencia | $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ |
Método 1: Igualar las bases
Si conseguimos escribir los dos miembros como potencias de la misma base, aplicamos que la función exponencial es inyectiva:
resuelto: $2^{x+1} = 16$
1. Escribimos 16 como potencia de 2: $16 = 2^4$. 2. La ecuación queda $2^{x+1} = 2^4$. 3. Igualamos los exponentes: $x + 1 = 4$. 4. Solución: $x = 3$. Comprobación: $2^{3+1} = 2^4 = 16$ ✓
resuelto: $3^{2x-1} = \frac{1}{9}$
1. Expresamos ambos miembros con base 3: $\frac{1}{9} = 3^{-2}$. 2. Queda $3^{2x-1} = 3^{-2}$. 3. Igualamos exponentes: $2x - 1 = -2$. 4. Solución: $2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$. Comprobación: $3^{-1-1} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$ ✓
Método 2: Cambio de variable
Cuando la ecuación es de la forma $a^{2x} + b \cdot a^x + c = 0$, hacemos el cambio $t = a^x$ (con $t > 0$), teniendo en cuenta que $a^{2x} = (a^x)^2 = t^2$. Resolvemos la ecuación de segundo grado en $t$ y, después, deshacemos el cambio.
resuelto: $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$
1. Como $4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$, escribimos $(2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. 2. Cambio $t = 2^x$: $t^2 - 5t + 4 = 0$. 3. Resolvemos: $t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$, luego $t = 4$ o $t = 1$. 4. Deshacemos el cambio: - $2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2$. - $2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x = 0$. 5. Soluciones: $x = 2$ y $x = 0$. Comprobación: $4^2 - 5 \cdot 2^2 + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$ ✓ y $4^0 - 5 \cdot 2^0 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$ ✓
Recuerda: si tras el cambio resultara $t \leq 0$, no habría solución, porque $a^x > 0$ para todo $x$ real.
Método 3: Uso de logaritmos
Si no es posible igualar las bases, tomamos logaritmos en ambos miembros y aplicamos $\log(a^n) = n \cdot \log a$.
resuelto: $3^x = 5$
1. Tomamos logaritmos: $\log(3^x) = \log 5$. 2. Aplicamos la propiedad: $x \cdot \log 3 = \log 5$. 3. Despejamos: $x = \frac{\log 5}{\log 3} \approx \frac{0{,}699}{0{,}477} \approx 1{,}465$. 4. Comprobación aproximada: $3^{1{,}465} \approx 5$ ✓
Errores comunes
| Error | Incorrecto | Correcto |
|---|---|---|
| No reducir a la misma base | $2^{x+1} = 8 \Rightarrow x + 1 = 8$ | $2^{x+1} = 2^3 \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$ |
| Olvidar deshacer el cambio | llegar a $t = 4$ y parar | $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$ |
| Aplicar mal la propiedad del logaritmo | $\log(3^x) = x + \log 3$ | $\log(3^x) = x \cdot \log 3$ |
| Confundir potencias | $2^x \cdot 2^3 = 2^{3x}$ | $2^x \cdot 2^3 = 2^{x+3}$ |
Consejo: comprueba siempre la solución sustituyéndola en la ecuación original, sobre todo cuando hayas aplicado un cambio de variable.