Teoría Ejercicios

Ecuaciones de Primer Grado

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad algebraica que contiene una o más incógnitas elevadas a la primera potencia. El objetivo es encontrar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.

Conceptos Fundamentales

¿Qué es una Ecuación?

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contiene una o más variables (incógnitas).

\[\text{Primer Miembro} = \text{Segundo Miembro}\]

Ejemplo: 3x + 5 = 2x - 1

Primer miembro: 3x + 5 Segundo miembro: 2x - 1

Partes de una Ecuación

ElementoDescripciónEjemplo
IncógnitaVariable a encontrarx
CoeficienteNúmero que multiplica la incógnita3 (en 3x)
Término independienteNúmero sin incógnita5 (en 3x + 5)
TérminosCada sumando de la expresión3x, +5

Forma General

La forma general de una ecuación de primer grado con una incógnita es:

\[ax + b = 0\]

Donde:

  • \[a \neq 0\]
    (de lo contrario no sería de primer grado)
  • \[a, b \in \mathbb{R}\]
    (números reales)

Principios de Resolución

Principio 1: Equivalencia

Una ecuación no cambia su solución si aplicamos la misma operación a ambos miembros:

\[a + b = c \quad \Rightarrow \quad a + b - b = c - b\]

\[a \times b = c \quad \Rightarrow \quad \frac{a \times b}{b} = \frac{c}{b}\]

Ejemplo: Suma/Resta

\[x + 5 = 12\]
Restamos 5 a ambos lados:
\[x + 5 - 5 = 12 - 5\]
\[x = 7\]

Ejemplo: Multiplicación/División

\[3x = 15\]
Dividimos ambos lados por 3:
\[\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}\]
\[x = 5\]

Principio 2: Transposición de Términos

Podemos mover términos de un miembro a otro cambiando su signo u operación:

Operación OriginalAl Transponerlo
\[+a\]
(sumando)
\[-a\]
(restando)
\[-a\]
(restando)
\[+a\]
(sumando)
\[\times a\]
(multiplicando)
\[\div a\]
(dividiendo)
\[\div a\]
(dividiendo)
\[\times a\]
(multiplicando)
Ejemplo: Transposición

\[2x + 6 = 14\]
Trasponemos +6 como -6:
\[2x = 14 - 6 = 8\]
Trasponemos ×2 como ÷2:
\[x = 8 ÷ 2 = 4\]

Pasos para Resolver Ecuaciones

Método Paso a Paso

  1. Eliminar paréntesis (si existen) - Aplicar propiedad distributiva
  2. Eliminar denominadores (si existen) - Multiplicar por MCM
  3. Agrupar términos - Variables en un lado, números en el otro
  4. Reducir términos semejantes - Simplificar cada lado
  5. Despejar la incógnita - Dividir por el coeficiente
  6. Verificar la solución - Sustituir en la ecuación original

Esquema General

\[ax + b = cx + d\]
\[ax - cx = d - b \quad \text{(agrupar términos)}\]
\[(a-c)x = d - b \quad \text{(reducir)}\]
\[x = \frac{d-b}{a-c} \quad \text{(despejar)}\]

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Ecuación Simple

Resolver: 2x + 5 = 13

Paso 1: Restar 5 a ambos lados

\[2x + 5 - 5 = 13 - 5\]
\[2x = 8\]
Paso 2: Dividir por 2
\[x = \frac{8}{2} = 4\]
Paso 3: Verificación
\[2(4) + 5 = 8 + 5 = 13\]
✓

Ejemplo 2: Ecuación con Paréntesis

Resolver: 3(x - 2) = 2x + 4

Paso 1: Eliminar paréntesis (distributiva)

\[3x - 6 = 2x + 4\]
Paso 2: Agrupar términos con x a la izquierda
\[3x - 2x = 4 + 6\]
Paso 3: Reducir
\[x = 10\]
Paso 4: Verificación
\[3(10 - 2) = 3(8) = 24\]
\[2(10) + 4 = 20 + 4 = 24\]
✓

Ejemplo 3: Ecuación con Fracciones

Resolver: \frac{x + 3}{2} - \frac{x - 1}{3} = 1

Paso 1: MCM(2, 3) = 6. Multiplicar todo por 6

\[6 \cdot \frac{x+3}{2} - 6 \cdot \frac{x-1}{3} = 6 \cdot 1\]
\[3(x + 3) - 2(x - 1) = 6\]
Paso 2: Distribuir
\[3x + 9 - 2x + 2 = 6\]
Paso 3: Reducir
\[x + 11 = 6\]
Paso 4: Despejar
\[x = -5\]
Verificación:
\[\frac{-5+3}{2} - \frac{-5-1}{3} = -1 - (-2) = 1\]
✓

Ejemplo 4: Ecuación con Términos Variables en Ambos Lados

Resolver: 5x - 7 = 2x + 8

Paso 1: Agrupar variables a la izquierda

\[5x - 2x = 8 + 7\]
Paso 2: Reducir
\[3x = 15\]
Paso 3: Despejar
\[x = 5\]
Verificación:
\[5(5) - 7 = 25 - 7 = 18\]
,
\[2(5) + 8 = 18\]
✓

Tipos de Ecuaciones por su Solución

TipoCaracterísticasEjemplo
Compatible DeterminadaTiene exactamente UNA solución
\[2x + 3 = 7 \Rightarrow x = 2\]
Compatible IndeterminadaTiene INFINITAS soluciones
\[2x + 3 = 2x + 3 \Rightarrow\]
Siempre verdadero
IncompatibleNO tiene solución
\[2x + 3 = 2x + 5 \Rightarrow 3 = 5\]
(Falso)
Ecuación Indeterminada: 2x + 3 = 2x + 3

Reducimos:

\[2x - 2x = 3 - 3\]
Resultado:
\[0 = 0\]
(Siempre verdadero) Cualquier valor de x es solución

Ecuación Incompatible: 2x + 3 = 2x + 5

Reducimos:

\[2x - 2x = 5 - 3\]
Resultado:
\[0 = 2\]
(Siempre falso) No existe solución

Aplicaciones: Problemas de la Vida Real

Estrategia para Resolver Problemas

  1. Leer atentamente el enunciado (varias veces si es necesario)
  2. Identificar qué se pregunta (la incógnita)
  3. Definir la incógnita con claridad
  4. Traducir a lenguaje algebraico
  5. Resolver la ecuación
  6. Verificar que la solución tenga sentido
  7. Interpretar la respuesta en el contexto

Problemas de Números

Problema: El triple de un número aumentado en 5 es igual a 23. ¿Cuál es?

Incógnita: x = el número Ecuación:

\[3x + 5 = 23\]
Solución:
\[3x = 18 \Rightarrow x = 6\]
Respuesta: El número es 6

Problema: La suma de dos números consecutivos es 49. ¿Cuáles son?

Incógnita: x = primer número Segundo número: x + 1 Ecuación:

\[x + (x + 1) = 49\]
Solución:
\[2x + 1 = 49 \Rightarrow x = 24\]
Respuesta: Los números son 24 y 25

Problemas de Edades

Problema: Ana tiene 5 años más que su hermano. Si la suma de sus edades es 27, ¿cuántos años tiene cada uno?

Incógnita: x = edad del hermano Edad de Ana: x + 5 Ecuación:

\[x + (x + 5) = 27\]
Solución:
\[2x + 5 = 27 \Rightarrow x = 11\]
Respuesta: Hermano: 11 años | Ana: 16 años

Problemas de Geometría

Problema: El perímetro de un rectángulo es 30 cm. Si el largo es el doble del ancho, ¿cuáles son sus dimensiones?

Incógnita: x = ancho Largo: 2x Fórmula: Perímetro = 2(ancho + largo) = 30 Ecuación:

\[2(x + 2x) = 30\]
Solución:
\[2(3x) = 30 \Rightarrow x = 5\]
Respuesta: Ancho: 5 cm | Largo: 10 cm

Problemas de Dinero

Problema: Tienes €50 en billetes de €5 y €10. Si tienes 7 billetes totales, ¿cuántos de cada tipo?

Incógnita: x = número de billetes de €5 Billetes de €10: 7 - x Ecuación:

\[5x + 10(7 - x) = 50\]
Solución:
\[5x + 70 - 10x = 50 \Rightarrow -5x = -20 \Rightarrow x = 4\]
Respuesta: 4 billetes de €5 y 3 billetes de €10

Errores Comunes y Cómo Evitarlos

Error❌ Incorrecto✓ Correcto
Cambio de signo
\[2x - 5 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 5\]
\[2x - 5 = 3 \Rightarrow 2x = 3 + 5 = 8\]
Distribución
\[2(x - 3) = 2x - 3\]
\[2(x - 3) = 2x - 6\]
División
\[2x = 8 \Rightarrow x = 8 - 2 = 6\]
\[2x = 8 \Rightarrow x = 4\]
Olvido de paréntesis
\[3(2x - 1) = 6x - 1\]
\[3(2x - 1) = 6x - 3\]
No verificarConfiar ciegamente en el cálculoSiempre sustituir en la ecuación original

Consejos para el Éxito

  • ✓ Trabaja de forma ordenada y sistemática
  • ✓ Escribe cada paso con claridad
  • ✓ Verifica siempre tu solución
  • ✓ Lee problemas varias veces
  • ✓ Define claramente tu incógnita
  • ✓ Practica con diferentes tipos de ecuaciones
  • ✓ No dudes en verificar cálculos
  • ✓ Si no entiendes, dibuja o visualiza el problema