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Ecuaciones de Segundo Grado
Las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas son ecuaciones polinómicas de grado 2. Son fundamentales en matemáticas y aparecen en múltiples aplicaciones de la física, ingeniería y otras ciencias.
Forma General
Una ecuación de segundo grado tiene la forma:
\[ax^2 + bx + c = 0\]
Donde:
- a, b, c son números reales
- a ≠ 0 (si a = 0, la ecuación sería de primer grado)
- x es la incógnita
Tipos según los Coeficientes
| Tipo | Forma | Ejemplo |
|---|---|---|
| Completa | \(ax^2 + bx + c = 0\) | \(2x^2 + 3x + 1 = 0\) |
| Incompleta Pura | \(ax^2 + c = 0\) | \(x^2 - 4 = 0\) |
| Incompleta Mixta | \(ax^2 + bx = 0\) | \(3x^2 + 6x = 0\) |
Métodos de Resolución
1. Ecuaciones Incompletas
Tipo: ax² + c = 0Ejemplo: 3x² - 12 = 0
\[3x^2 = 12\]
\[x^2 = 4\]
\[x = \pm\sqrt{4} = \pm 2\]
Soluciones: \(x_1 = 2, x_2 = -2\)Ejemplo: 2x² + 6x = 0
\[2x(x + 3) = 0\]
Por factor nulo: - \(2x = 0 \Rightarrow x = 0\)
- \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
2. Factorización
Se aplica cuando el trinomio se puede factorizar como \((x - r_1)(x - r_2) = 0\)
Ejemplo: x² - 5x + 6 = 0
Buscamos dos números que:
- Sumados: \(-2 + (-3) = -5\) ✓
- Multiplicados: \((-2) \times (-3) = 6\) ✓
\[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0\]
\[x = 2 \text{ o } x = 3\]
3. Fórmula General (Fórmula Cuadrática)
Para cualquier ecuación \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Ejemplo: 2x² - 3x - 2 = 0
Identificar coeficientes: \(a = 2, b = -3, c = -2\) Calcular discriminante:
\[\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25\]
Aplicar fórmula: \[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{3 \pm 5}{4}\]
\[x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2 quad ; quad x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}\]
El Discriminante
El discriminante es la expresión bajo la raíz cuadrada en la fórmula:
\[\Delta = b^2 - 4ac\]
Interpretación del Discriminante
| Discriminante | Soluciones | Interpretación |
|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | 2 reales y distintas | La parábola cruza el eje X en 2 puntos |
| \(\Delta = 0\) | 1 real doble | La parábola toca el eje X en 1 punto |
| \(\Delta < 0\) | No hay reales | La parábola no cruza el eje X |
4. Completando el Cuadrado
Transformar la ecuación en un trinomio cuadrado perfecto:
Ejemplo: x² + 6x + 5 = 0
Paso 1: Mover el término independiente
\[x^2 + 6x = -5\]
Paso 2: Completar el cuadrado (sumar \((b/2)^2 = 9\))
\[x^2 + 6x + 9 = -5 + 9\]
\[(x + 3)^2 = 4\]
Paso 3: Aplicar raíz cuadrada
\[x + 3 = \pm 2\]
Paso 4: Resolver
\[x_1 = -3 + 2 = -1 quad ; quad x_2 = -3 - 2 = -5\]
Propiedades de las Soluciones
Para la ecuación \(ax^2 + bx + c = 0\) con soluciones \(x_1\) y \(x_2\):
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Suma de soluciones | \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) |
| Producto de soluciones | \(x_1 cdot x_2 = \frac{c}{a}\) |
Ejemplo: 2x² - 7x + 3 = 0
- Suma: \(x_1 + x_2 = -\frac{-7}{2} = \frac{7}{2}\)
- Producto: \(x_1 cdot x_2 = \frac{3}{2}\)
- Suma: \(3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\) ✓
- Producto: \(3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) ✓
La Función Cuadrática
La función \(f(x) = ax^2 + bx + c\) representa una parábola:
| Caso | Forma | Características |
|---|---|---|
| \(a > 0\) | Abierta hacia arriba | Mínimo en el vértice |
| \(a < 0\) | Abierta hacia abajo | Máximo en el vértice |
Vértice de la Parábola
\[V = left(-\frac{b}{2a}, fleft(-\frac{b}{2a}
ight)
ight)\]
El vértice determina los puntos máximos o mínimos de la función.
Eje de Simetría
\[x = -\frac{b}{2a}\]
La parábola es simétrica con respecto a esta recta vertical.
Aplicaciones Prácticas
1. Movimiento Vertical
Problema: Lanzamiento vertical
Un objeto se lanza hacia arriba con velocidad inicial de 20 m/s. Su altura está dada por:
\[h(t) = -5t^2 + 20t\]
¿En qué momento toca el suelo? Resolver: \(-5t^2 + 20t = 0\) \[-5t(t - 4) = 0\]
\[t = 0 \text{ (lanzamiento) o } t = 4 \text{ s (toca el suelo)}\]
2. Problemas de Área
Problema: Dimensiones de un rectángulo
Un rectángulo tiene perímetro 20 cm y área 24 cm². ¿Cuáles son sus dimensiones? Sea \(x\) la base, entonces altura \(= (10 - x)\)
\[x(10 - x) = 24\]
\[10x - x^2 = 24\]
\[x^2 - 10x + 24 = 0\]
\[(x - 4)(x - 6) = 0\]
Dimensiones: 4 cm × 6 cm3. Problemas con Números
Problema: Números consecutivos
Encuentra dos números consecutivos cuyo producto sea 132. Sean \(x\) y \((x + 1)\) los números:
\[x(x + 1) = 132\]
\[x^2 + x - 132 = 0\]
Usando la fórmula: \[x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 528}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-1 \pm 23}{2}\]
- \(x = 11 \Rightarrow\) números son 11 y 12
- \(x = -12 \Rightarrow\) números son -12 y -11
Estrategias de Resolución
¿Qué método usar?- Ecuaciones incompletas \((b = 0\) o \(c = 0)\): Métodos directos o factor nulo
- Trinomios factorizables: Factorización
- Trinomios cuadrados perfectos: Factorización o completar el cuadrado
- Casos generales: Fórmula general