Ecuaciones irracionales
Una ecuación irracional es aquella en la que la incógnita aparece dentro de un radical (normalmente una raíz cuadrada). Por ejemplo:
Método general de resolución
Para resolver una ecuación con una raíz cuadrada:
1. Aislar el radical en uno de los miembros. 2. Elevar al cuadrado ambos miembros (si el índice es $n$, se eleva a $n$). Al elevar se elimina la raíz. 3. Si todavía queda algún radical, repetir los pasos 1 y 2. 4. Comprobar las soluciones en la ecuación original: al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones extrañas que no verifican la ecuación.
Importante: la comprobación no es opcional. Elevar al cuadrado no es una transformación equivalente y puede introducir soluciones falsas.
resuelto: $\sqrt{x + 3} = 2$
1. El radical ya está aislado. 2. Elevamos al cuadrado: $x + 3 = 4$. 3. Solución: $x = 1$. 4. Comprobación: $\sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ ✓
resuelto: $\sqrt{x + 5} = x - 1$
1. El radical está aislado; elevamos al cuadrado: $x + 5 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$. 2. Pasamos todo a un miembro: $x^2 - 3x - 4 = 0$. 3. Resolvemos: $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$, luego $x = 4$ o $x = -1$. 4. Comprobación: - $x = 4$: $\sqrt{9} = 3$ y $4 - 1 = 3$ ✓ - $x = -1$: $\sqrt{4} = 2$ y $-1 - 1 = -2$ ✗ se descarta. 5. Única solución: $x = 4$.
resuelto: $\sqrt{2x + 3} = x$
1. Elevamos al cuadrado: $2x + 3 = x^2$. 2. Ordenamos: $x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$, luego $x = 3$ o $x = -1$. 3. Comprobación: - $x = 3$: $\sqrt{9} = 3$ ✓ - $x = -1$: $\sqrt{1} = 1 \neq -1$ ✗ se descarta. 4. Única solución: $x = 3$.
Ecuaciones con dos radicales
Cuando hay dos radicales, se aísla uno, se eleva al cuadrado y, si queda otro radical, se repite el proceso.
resuelto: $\sqrt{x + 6} - \sqrt{x} = 2$
1. Aislamos: $\sqrt{x + 6} = \sqrt{x} + 2$. 2. Elevamos al cuadrado: $x + 6 = x + 4\sqrt{x} + 4$. 3. Simplificamos: $2 = 4\sqrt{x} \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{2}$. 4. Elevamos de nuevo: $x = \frac{1}{4}$. 5. Comprobación: $\sqrt{0{,}25 + 6} - \sqrt{0{,}25} = \sqrt{6{,}25} - 0{,}5 = 2{,}5 - 0{,}5 = 2$ ✓
Errores comunes
| Error | Incorrecto | Correcto |
|---|---|---|
| Elevar sin aislar | $\sqrt{x} + 1 = 3 \Rightarrow x + 1 = 9$ | $\sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$ |
| Olvidar la comprobación | aceptar $x = -1$ en $\sqrt{2x+3} = x$ | $x = -1$ no verifica la ecuación: se descarta |
| Elevar mal el cuadrado | $(x - 1)^2 = x^2 - 1$ | $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ |
| Olvidar el dominio | considerar $x < 0$ en $\sqrt{x}$ | $\sqrt{x}$ solo existe si $x \geq 0$ |
Consejo: antes de elevar, comprueba que el radical esté solo en un miembro; después, comprueba siempre las soluciones obtenidas.