Inecuaciones
Las inecuaciones o desigualdades son expresiones matemáticas que relacionan dos cantidades usando símbolos de desigualdad. A diferencia de las ecuaciones, sus soluciones forman intervalos.
Símbolos de Desigualdad
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $>$ | Mayor que |
| $\geq$ | Mayor o igual que |
| $<$ | Menor que |
| $\leq$ | Menor o igual que |
Propiedades Fundamentales
1. Propiedad Transitiva
Si $a > b$ y $b > c$, entonces $a > c$
2. Propiedad de Adición
Si $a > b$, entonces $a + c > b + c$ para cualquier número real $c$
3. Propiedad de Multiplicación
| Caso | Propiedad |
|---|---|
| Si $a > b$ y $c > 0$ | Entonces $ac > bc$ |
| Si $a > b$ y $c < 0$ | Entonces $ac < bc$ (se invierte) |
⚠️ Regla Importante]
Al multiplicar o dividir una inecuación por un número negativo, el signo de desigualdad se invierte. Ejemplo: $-2x > 6$ Dividir por -2: $x < -3$ (se invierte el $>$ a $<$)
Representación de Soluciones
Notación de Intervalos
| Intervalo | Notación | Significado |
|---|---|---|
| Abierto | $(a, b)$ | $a < x < b$ (no incluye extremos) |
| Cerrado | $[a, b]$ | $a \leq x \leq b$ (incluye extremos) |
| Semiabierto | $(a, b]$ | $a < x \leq b$ |
| Semi cerrado | $[a, b)$ | $a \leq x < b$ |
| Infinito | $(a, +\infty)$ | $x > a$ |
| Infinito | $(-\infty, b)$ | $x < b$ |
Representación Gráfica
- Círculo abierto ○: El punto NO está incluido
- Círculo cerrado ●: El punto SÍ está incluido
- Flecha →: Hacia valores mayores
- Flecha ←: Hacia valores menores
Ejemplo: Gráfica de $2 < x \leq 5$
- Círculo abierto en 2 (no incluido)
- Círculo cerrado en 5 (incluido)
- Línea que conecta ambos
- Notación: $(2, 5]$
Inecuaciones Lineales
Una inecuación lineal tiene la forma $ax + b > 0$ (u otro signo de desigualdad).
Método de Resolución
1. Trasposer términos (como en ecuaciones) 2. Reducir términos semejantes 3. Despejar la variable 4. ¡IMPORTANTE! Invertir el signo si multiplicamos/dividimos por negativo
Ejemplo 1: $3x - 5 > 7$
Solución: $x \in (4, +\infty)$ o simplemente $x > 4$
Ejemplo 2: $-2x + 3 \geq 7$
⚠️ (se invierte por el -2) Solución: $x \in (-\infty, -2]$
Sistemas de Inecuaciones
Se resuelven dos o más inecuaciones simultáneamente. La solución es la intersección de las soluciones individuales.
Ejemplo: Resolver sistema
Primera inecuación: $2x > 4 \Rightarrow x > 2$ Segunda inecuación: $x < 4$ Intersección: $2 < x < 4$ Solución: $x \in (2, 4)$
Inecuaciones Cuadráticas
Las inecuaciones cuadráticas tienen la forma $ax^2 + bx + c > 0$ (u otro signo).
Método de Resolución
1. Igualar a cero: $ax^2 + bx + c = 0$ 2. Encontrar las raíces (si existen) 3. Estudiar el signo en cada intervalo 4. Elegir intervalos que satisfacen la inecuación
Ejemplo: $x^2 - 5x + 6 > 0$
Paso 1: Factorizar: $(x - 2)(x - 3) > 0$ Paso 2: Raíces: $x = 2$ y $x = 3$ Paso 3: Estudiar signos en cada región:
| Región | Signo $(x-2)$ | Signo $(x-3)$ | Producto |
|---|---|---|---|
| $x < 2$ | (−) | (−) | + |
| $2 < x < 3$ | (+) | (−) | − |
| $x > 3$ | (+) | (+) | + |
Paso 4: Como queremos $> 0$, tomamos donde es positivo Solución: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$
Casos Especiales
Caso: Discriminante negativo
Si $\Delta < 0$ y $a > 0$:
- $ax^2 + bx + c > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ ✓
- $ax^2 + bx + c < 0$ no tiene solución ✗
Caso: Discriminante cero
Si $\Delta = 0$, hay una raíz doble:
- $ax^2 + bx + c > 0$ para todo $x \neq \text{raíz}$
- $ax^2 + bx + c \geq 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$
Inecuaciones con Valor Absoluto
Caso 1: $|x| < a$ (donde $a > 0$)
Ejemplo: $|x - 3| < 2$
Solución: $x \in (1, 5)$
Caso 2: $|x| > a$ (donde $a > 0$)
Ejemplo: $|2x + 1| > 3$
Solución: $x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$
Inecuaciones Racionales
Las inecuaciones de la forma $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$ se resuelven estudiando el signo del numerador y denominador.
Ejemplo: $\frac{x - 1}{x + 2} > 0$
Paso 1: Ceros del numerador: $x = 1$ Ceros del denominador: $x = -2$ (NO incluido) Paso 2: Tabla de signos:
| Región | $x - 1$ | $x + 2$ | Cociente |
|---|---|---|---|
| $x < -2$ | (−) | (−) | + |
| $-2 < x < 1$ | (−) | (+) | − |
| $x > 1$ | (+) | (+) | + |
Paso 3: Como queremos $> 0$: Solución: $x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$ ⚠️ Nota: $x = -2$ NO está incluido (anula denominador)
Aplicaciones Prácticas
Problema de Optimización
Ejemplo: Beneficio de una empresa
Una empresa produce $x$ unidades. El beneficio es $B(x) = -x^2 + 10x - 16$. ¿Para qué valores el beneficio es positivo?
Análisis: Positivo entre raíces Solución: $2 < x < 8$ unidades (beneficio positivo entre 2 y 8 unidades)
Problema de Movimiento
Ejemplo: Altura de proyectil
Un proyectil tiene altura $h(t) = -5t^2 + 20t + 15$. ¿Durante qué tiempo está por encima de 35 m?
Análisis: Un cuadrado nunca es negativo Solución: No hay solución real (el proyectil nunca llega a 35 m)
Estrategias y Consejos
- ✓ Siempre verifica si inviertes el signo correctamente
- ✓ Dibuja la recta numérica para visualizar soluciones
- ✓ En cuadráticas, estudia el signo sistemáticamente
- ✓ En racionales, identifica valores que anulan el denominador
- ✓ Verifica sustituyendo un valor del intervalo solución
- ✓ Presta atención a si los extremos están incluidos (● o ○)
Errores Comunes a Evitar
| Error | Corrección |
|---|---|
| No invertir signo al multiplicar/dividir por negativo | ⚠️ SIEMPRE invertir |
| Incluir valores que anulan denominador | Excluir esos puntos |
| Confundir paréntesis $()$ y corchetes $[]$ | $()$ abierto, $[]$ cerrado |
| Omitir un caso en valor absoluto | Considerar AMBOS casos |
| Error en tabla de signos | Verificar cada región |