Inecuaciones

Las inecuaciones o desigualdades son expresiones matemáticas que relacionan dos cantidades usando símbolos de desigualdad. A diferencia de las ecuaciones, sus soluciones forman intervalos.

Símbolos de Desigualdad

Propiedades Fundamentales

1. Propiedad Transitiva

Si \(a > b\) y \(b > c\), entonces \(a > c\)

2. Propiedad de Adición

Si \(a > b\), entonces \(a + c > b + c\) para cualquier número real \(c\)

3. Propiedad de Multiplicación

⚠️ Regla Importante

Al multiplicar o dividir una inecuación por un número negativo, el signo de desigualdad se invierte. Ejemplo: \(-2x > 6\) Dividir por -2: \(x < -3\) (se invierte el \(>\) a \(<\))

Representación de Soluciones

Notación de Intervalos

Representación Gráfica

• Círculo abierto ○: El punto NO está incluido
• Círculo cerrado ●: El punto SÍ está incluido
• Flecha →: Hacia valores mayores
• Flecha ←: Hacia valores menores

Ejemplo: Gráfica de \(2 < x leq 5\)

• Círculo abierto en 2 (no incluido)
• Círculo cerrado en 5 (incluido)
• Línea que conecta ambos
• Notación: \((2, 5]\)

Inecuaciones Lineales

Una inecuación lineal tiene la forma \(ax + b > 0\) (u otro signo de desigualdad).

Método de Resolución

1. Trasposer términos (como en ecuaciones)
2. Reducir términos semejantes
3. Despejar la variable
4. ¡IMPORTANTE! Invertir el signo si multiplicamos/dividimos por negativo

Ejemplo 1: \(3x - 5 > 7\)

\[3x > 7 + 5\]

\[3x > 12\]

\[x > 4\]

Solución: \(x in (4, +infty)\) o simplemente \(x > 4\)

Ejemplo 2: \(-2x + 3 geq 7\)

\[-2x geq 7 - 3\]

\[-2x geq 4\]

\[x leq -2\]

⚠️ (se invierte por el -2) Solución: \(x in (-infty, -2]\)

Sistemas de Inecuaciones

Se resuelven dos o más inecuaciones simultáneamente. La solución es la intersección de las soluciones individuales.

Ejemplo: Resolver sistema

\[egin{cases} 2x + 1 > 5 \ x - 3 < 1 end{cases}\]

Primera inecuación: \(2x > 4 \Rightarrow x > 2\) Segunda inecuación: \(x < 4\) Intersección: \(2 < x < 4\) Solución: \(x in (2, 4)\)

Inecuaciones Cuadráticas

Las inecuaciones cuadráticas tienen la forma \(ax^2 + bx + c > 0\) (u otro signo).

Método de Resolución

1. Igualar a cero: \(ax^2 + bx + c = 0\)
2. Encontrar las raíces (si existen)
3. Estudiar el signo en cada intervalo
4. Elegir intervalos que satisfacen la inecuación

Ejemplo: \(x^2 - 5x + 6 > 0\)

Paso 1: Factorizar: \((x - 2)(x - 3) > 0\) Paso 2: Raíces: \(x = 2\) y \(x = 3\) Paso 3: Estudiar signos en cada región:

Región	Signo \((x-2)\)	Signo \((x-3)\)	Producto
\(x < 2\)	(−)	(−)	+
\(2 < x < 3\)	(+)	(−)	−
\(x > 3\)	(+)	(+)	+

Paso 4: Como queremos \(> 0\), tomamos donde es positivo Solución: \(x in (-infty, 2) cup (3, +infty)\)

Casos Especiales

Caso: Discriminante negativo

Si \(\Delta < 0\) y \(a > 0\):

• \(ax^2 + bx + c > 0\) para todo \(x in mathbb{R}\) ✓
• \(ax^2 + bx + c < 0\) no tiene solución ✗

Caso: Discriminante cero

Si \(\Delta = 0\), hay una raíz doble:

• \(ax^2 + bx + c > 0\) para todo \(x

eq \text{raíz}\) > - \(ax^2 + bx + c geq 0\) para todo \(x in mathbb{R}\)

Inecuaciones con Valor Absoluto

Caso 1: \(|x| < a\) (donde \(a > 0\))

Ejemplo: \(|x - 3| < 2\)

\[-2 < x - 3 < 2\]

\[1 < x < 5\]

Solución: \(x in (1, 5)\)

Caso 2: \(|x| > a\) (donde \(a > 0\))

Ejemplo: \(|2x + 1| > 3\)

\[2x + 1 < -3 \text{ o } 2x + 1 > 3\]

\[2x < -4 \text{ o } 2x > 2\]

\[x < -2 \text{ o } x > 1\]

Solución: \(x in (-infty, -2) cup (1, +infty)\)

Inecuaciones Racionales

Las inecuaciones de la forma \(\frac{f(x)}{g(x)} > 0\) se resuelven estudiando el signo del numerador y denominador.

Ejemplo: \(\frac{x - 1}{x + 2} > 0\)

Paso 1: Ceros del numerador: \(x = 1\) Ceros del denominador: \(x = -2\) (NO incluido) Paso 2: Tabla de signos:

Región	\(x - 1\)	\(x + 2\)	Cociente
\(x < -2\)	(−)	(−)	+
\(-2 < x < 1\)	(−)	(+)	−
\(x > 1\)	(+)	(+)	+

Paso 3: Como queremos \(> 0\): Solución: \(x in (-infty, -2) cup (1, +infty)\) ⚠️ Nota: \(x = -2\) NO está incluido (anula denominador)

Aplicaciones Prácticas

Problema de Optimización

Ejemplo: Beneficio de una empresa

Una empresa produce \(x\) unidades. El beneficio es \(B(x) = -x^2 + 10x - 16\). ¿Para qué valores el beneficio es positivo?

\[-x^2 + 10x - 16 > 0\]

\[x^2 - 10x + 16 < 0\]

\[(x - 2)(x - 8) < 0\]

Análisis: Positivo entre raíces Solución: \(2 < x < 8\) unidades (beneficio positivo entre 2 y 8 unidades)

Problema de Movimiento

Ejemplo: Altura de proyectil

Un proyectil tiene altura \(h(t) = -5t^2 + 20t + 15\). ¿Durante qué tiempo está por encima de 35 m?

\[-5t^2 + 20t + 15 > 35\]

\[-5t^2 + 20t - 20 > 0\]

\[t^2 - 4t + 4 < 0\]

\[(t - 2)^2 < 0\]

Análisis: Un cuadrado nunca es negativo Solución: No hay solución real (el proyectil nunca llega a 35 m)

Estrategias y Consejos

• ✓ Siempre verifica si inviertes el signo correctamente
• ✓ Dibuja la recta numérica para visualizar soluciones
• ✓ En cuadráticas, estudia el signo sistemáticamente
• ✓ En racionales, identifica valores que anulan el denominador
• ✓ Verifica sustituyendo un valor del intervalo solución
• ✓ Presta atención a si los extremos están incluidos (● o ○)

Errores Comunes a Evitar