Teoría Ejercicios

Inecuaciones

Las inecuaciones o desigualdades son expresiones matemáticas que relacionan dos cantidades usando símbolos de desigualdad. A diferencia de las ecuaciones, sus soluciones forman intervalos.

Símbolos de Desigualdad

SímboloSignificado
\(>\)Mayor que
\(geq\)Mayor o igual que
\(<\)Menor que
\(leq\)Menor o igual que

Propiedades Fundamentales

1. Propiedad Transitiva

Si \(a > b\) y \(b > c\), entonces \(a > c\)

2. Propiedad de Adición

Si \(a > b\), entonces \(a + c > b + c\) para cualquier número real \(c\)

3. Propiedad de Multiplicación

CasoPropiedad
Si \(a > b\) y \(c > 0\)Entonces \(ac > bc\)
Si \(a > b\) y \(c < 0\)Entonces \(ac < bc\) (se invierte)
⚠️ Regla Importante

Al multiplicar o dividir una inecuación por un número negativo, el signo de desigualdad se invierte.
Ejemplo: \(-2x > 6\)
Dividir por -2: \(x < -3\) (se invierte el \(>\) a \(<\))

Representación de Soluciones

Notación de Intervalos

IntervaloNotaciónSignificado
Abierto\((a, b)\)\(a < x < b\) (no incluye extremos)
Cerrado\([a, b]\)\(a leq x leq b\) (incluye extremos)
Semiabierto\((a, b]\)\(a < x leq b\)
Semi cerrado\([a, b)\)\(a leq x < b\)
Infinito\((a, +infty)\)\(x > a\)
Infinito\((-infty, b)\)\(x < b\)

Representación Gráfica

  • Círculo abierto ○: El punto NO está incluido
  • Círculo cerrado ●: El punto SÍ está incluido
  • Flecha →: Hacia valores mayores
  • Flecha ←: Hacia valores menores
Ejemplo: Gráfica de \(2 < x leq 5\)
  • Círculo abierto en 2 (no incluido)
  • Círculo cerrado en 5 (incluido)
  • Línea que conecta ambos
  • Notación: \((2, 5]\)

Inecuaciones Lineales

Una inecuación lineal tiene la forma \(ax + b > 0\) (u otro signo de desigualdad).

Método de Resolución

  1. Trasposer términos (como en ecuaciones)
  2. Reducir términos semejantes
  3. Despejar la variable
  4. ¡IMPORTANTE! Invertir el signo si multiplicamos/dividimos por negativo
Ejemplo 1: \(3x - 5 > 7\)
\[3x > 7 + 5\]

>

\[3x > 12\]

>

\[x > 4\]

> Solución: \(x in (4, +infty)\) o simplemente \(x > 4\)

Ejemplo 2: \(-2x + 3 geq 7\)
\[-2x geq 7 - 3\]

>

\[-2x geq 4\]

>

\[x leq -2\]

⚠️ (se invierte por el -2) > Solución: \(x in (-infty, -2]\)

Sistemas de Inecuaciones

Se resuelven dos o más inecuaciones simultáneamente. La solución es la intersección de las soluciones individuales.

Ejemplo: Resolver sistema
\[egin{cases} 2x + 1 > 5 \ x - 3 < 1 end{cases}\]

> Primera inecuación: \(2x > 4 \Rightarrow x > 2\) > Segunda inecuación: \(x < 4\) > Intersección: \(2 < x < 4\) > Solución: \(x in (2, 4)\)

Inecuaciones Cuadráticas

Las inecuaciones cuadráticas tienen la forma \(ax^2 + bx + c > 0\) (u otro signo).

Método de Resolución

  1. Igualar a cero: \(ax^2 + bx + c = 0\)
  2. Encontrar las raíces (si existen)
  3. Estudiar el signo en cada intervalo
  4. Elegir intervalos que satisfacen la inecuación
Ejemplo: \(x^2 - 5x + 6 > 0\)
Paso 1: Factorizar: \((x - 2)(x - 3) > 0\) Paso 2: Raíces: \(x = 2\) y \(x = 3\) Paso 3: Estudiar signos en cada región:
RegiónSigno \((x-2)\)Signo \((x-3)\)Producto
\(x < 2\)(−)(−)+
\(2 < x < 3\)(+)(−)−
\(x > 3\)(+)(+)+
Paso 4: Como queremos \(> 0\), tomamos donde es positivo Solución: \(x in (-infty, 2) cup (3, +infty)\)

Casos Especiales

Caso: Discriminante negativo

Si \(\Delta < 0\) y \(a > 0\):


  • \(ax^2 + bx + c > 0\) para todo \(x in mathbb{R}\) ✓

  • \(ax^2 + bx + c < 0\) no tiene solución ✗

Caso: Discriminante cero

Si \(\Delta = 0\), hay una raíz doble:


  • \(ax^2 + bx + c > 0\) para todo \(x eq \text{raíz}\)

  • \(ax^2 + bx + c geq 0\) para todo \(x in mathbb{R}\)

Inecuaciones con Valor Absoluto

Caso 1: \(|x| < a\) (donde \(a > 0\))

\[|x| < a Leftrightarrow -a < x < a\]
Ejemplo: \(|x - 3| < 2\)
\[-2 < x - 3 < 2\]

>

\[1 < x < 5\]

> Solución: \(x in (1, 5)\)

Caso 2: \(|x| > a\) (donde \(a > 0\))

\[|x| > a Leftrightarrow x < -a \text{ o } x > a\]
Ejemplo: \(|2x + 1| > 3\)
\[2x + 1 < -3 \text{ o } 2x + 1 > 3\]

>

\[2x < -4 \text{ o } 2x > 2\]

>

\[x < -2 \text{ o } x > 1\]

> Solución: \(x in (-infty, -2) cup (1, +infty)\)

Inecuaciones Racionales

Las inecuaciones de la forma \(\frac{f(x)}{g(x)} > 0\) se resuelven estudiando el signo del numerador y denominador.

Ejemplo: \(\frac{x - 1}{x + 2} > 0\)
Paso 1: Ceros del numerador: \(x = 1\) Ceros del denominador: \(x = -2\) (NO incluido) Paso 2: Tabla de signos:
Región\(x - 1\)\(x + 2\)Cociente
\(x < -2\)(−)(−)+
\(-2 < x < 1\)(−)(+)−
\(x > 1\)(+)(+)+
Paso 3: Como queremos \(> 0\): Solución: \(x in (-infty, -2) cup (1, +infty)\) ⚠️ Nota: \(x = -2\) NO está incluido (anula denominador)

Aplicaciones Prácticas

Problema de Optimización

Ejemplo: Beneficio de una empresa

Una empresa produce \(x\) unidades. El beneficio es \(B(x) = -x^2 + 10x - 16\). ¿Para qué valores el beneficio es positivo?

\[-x^2 + 10x - 16 > 0\]

>

\[x^2 - 10x + 16 < 0\]

>

\[(x - 2)(x - 8) < 0\]

> Análisis: Positivo entre raíces > Solución: \(2 < x < 8\) unidades (beneficio positivo entre 2 y 8 unidades)

Problema de Movimiento

Ejemplo: Altura de proyectil

Un proyectil tiene altura \(h(t) = -5t^2 + 20t + 15\). ¿Durante qué tiempo está por encima de 35 m?

\[-5t^2 + 20t + 15 > 35\]

>

\[-5t^2 + 20t - 20 > 0\]

>

\[t^2 - 4t + 4 < 0\]

>

\[(t - 2)^2 < 0\]

> Análisis: Un cuadrado nunca es negativo > Solución: No hay solución real (el proyectil nunca llega a 35 m)

Estrategias y Consejos

  • ✓ Siempre verifica si inviertes el signo correctamente
  • ✓ Dibuja la recta numérica para visualizar soluciones
  • ✓ En cuadráticas, estudia el signo sistemáticamente
  • ✓ En racionales, identifica valores que anulan el denominador
  • ✓ Verifica sustituyendo un valor del intervalo solución
  • ✓ Presta atención a si los extremos están incluidos (● o ○)

Errores Comunes a Evitar

ErrorCorrección
No invertir signo al multiplicar/dividir por negativo⚠️ SIEMPRE invertir
Incluir valores que anulan denominadorExcluir esos puntos
Confundir paréntesis \(()\) y corchetes \([]\)\(()\) abierto, \([]\) cerrado
Omitir un caso en valor absolutoConsiderar AMBOS casos
Error en tabla de signosVerificar cada región