Logaritmos
El logaritmo es la operación inversa a la potencia. Si las potencias responden a la pregunta "¿cuánto vale $a^n$?", los logaritmos responden a "¿a qué potencia hay que elevar $a$ para obtener $x$?".
Definición
Se lee: "el logaritmo en base $a$ de $x$ es $n$".
Condiciones: $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$
Ejemplos básicos
- $\log_2 8 = 3$ porque $2^3 = 8$
- $\log_3 9 = 2$ porque $3^2 = 9$
- $\log_{10} 1000 = 3$ porque $10^3 = 1000$
- $\log_5 1 = 0$ porque $5^0 = 1$
Tipos de logaritmos
Logaritmo decimal (o de Briggs)
Base 10. Se escribe simplemente como $\log x$ (sin indicar la base):
Logaritmo natural (o neperiano)
Base $e \approx 2{,}71828$. Se escribe como $\ln x$:
Propiedades de los logaritmos
1. Logaritmo del producto
$$$$
\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5
$$
Comprobación: $2^5 = 32 = 4 \cdot 8$ ✓
2. Logaritmo del cociente
$$
\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y
$$
$$$$
\log_{10} \frac{1000}{10} = \log 1000 - \log 10 = 3 - 1 = 2
$$
3. Logaritmo de una potencia
$$
\log_a x^n = n \cdot \log_a x
$$
$$$$
\log 10^5 = 5 \cdot \log 10 = 5 \cdot 1 = 5
$$
$$
\ln e^3 = 3 \cdot \ln e = 3 \cdot 1 = 3
$$
4. Logaritmo de una raíz
$$
\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \cdot \log_a x
$$
$$$$
\log \sqrt{1000} = \log 1000^{1/2} = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5
$$
Resumen de propiedades
Propiedad Fórmula Producto $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ Cociente $\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y$ Potencia $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$ Identidad $\log_a a = 1$ Cero $\log_a 1 = 0$
Cambio de base
Para calcular un logaritmo en cualquier base usando la calculadora (que solo tiene $\log$ y $\ln$):
$$
\log_a x = \frac{\log x}{\log a} = \frac{\ln x}{\ln a}
$$
Calcular $\log_2 10$
$$
\log_2 10 = \frac{\log 10}{\log 2} = \frac{1}{0{,}3010} \approx 3{,}32
$$
Comprobación: $2^{3{,}32} \approx 10$ ✓
Ecuaciones logarítmicas
Para resolver ecuaciones con logaritmos, usamos que $\log_a$ y $a^x$ son funciones inversas:
$$
\log_a x = n \implies x = a^n
$$
$\log_2 x = 5$
$$
x = 2^5 = 32
$$
$\log(x+1) = 2$
$$
x + 1 = 10^2 = 100
$$
$$
x = 99
$$
$\log x + \log(x-3) = 1$
Aplicando la propiedad del producto:
$$
\log[x(x-3)] = 1
$$
$$
x(x-3) = 10
$$
$$
x^2 - 3x - 10 = 0
$$
$$
(x-5)(x+2) = 0
$$
$x = 5$ o $x = -2$. Como el logaritmo exige $x > 0$ y $x > 3$: $x = 5$
Gráfica de la función logarítmica
La función $y = \log_a x$ tiene estas características:
- Dominio: $x > 0$
- Siempre pasa por el punto $(1, 0)$ porque $\log_a 1 = 0$
- Pasa por $(a, 1)$ porque $\log_a a = 1$
- Si $a > 1$: creciente; si $0 < a < 1$: decreciente
- Asíntota vertical en $x = 0$
1. ¿Cuánto vale $\log_3 27$?
(1 puntos)
Retroalimentación: 2. ¿Cuánto vale $\log 0{,}01$?
(1 puntos)
Retroalimentación: 3. Simplifica: $\log 5 + \log 2$
(1 puntos)
Retroalimentación: 4. Simplifica: $\log_4 64$
(1 puntos)
Retroalimentación: 5. Resuelve: $\log_2(x) = 4$
(1 puntos)
Retroalimentación:
Comprobación: $2^5 = 32 = 4 \cdot 8$ ✓
2. Logaritmo del cociente
$$$$
\log_{10} \frac{1000}{10} = \log 1000 - \log 10 = 3 - 1 = 2
$$
3. Logaritmo de una potencia
$$
\log_a x^n = n \cdot \log_a x
$$
$$$$
\log 10^5 = 5 \cdot \log 10 = 5 \cdot 1 = 5
$$
$$
\ln e^3 = 3 \cdot \ln e = 3 \cdot 1 = 3
$$
4. Logaritmo de una raíz
$$
\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \cdot \log_a x
$$
$$$$
\log \sqrt{1000} = \log 1000^{1/2} = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5
$$
Resumen de propiedades
Propiedad Fórmula Producto $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ Cociente $\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y$ Potencia $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$ Identidad $\log_a a = 1$ Cero $\log_a 1 = 0$
Cambio de base
Para calcular un logaritmo en cualquier base usando la calculadora (que solo tiene $\log$ y $\ln$):
$$
\log_a x = \frac{\log x}{\log a} = \frac{\ln x}{\ln a}
$$
Calcular $\log_2 10$
$$
\log_2 10 = \frac{\log 10}{\log 2} = \frac{1}{0{,}3010} \approx 3{,}32
$$
Comprobación: $2^{3{,}32} \approx 10$ ✓
Ecuaciones logarítmicas
Para resolver ecuaciones con logaritmos, usamos que $\log_a$ y $a^x$ son funciones inversas:
$$
\log_a x = n \implies x = a^n
$$
$\log_2 x = 5$
$$
x = 2^5 = 32
$$
$\log(x+1) = 2$
$$
x + 1 = 10^2 = 100
$$
$$
x = 99
$$
$\log x + \log(x-3) = 1$
Aplicando la propiedad del producto:
$$
\log[x(x-3)] = 1
$$
$$
x(x-3) = 10
$$
$$
x^2 - 3x - 10 = 0
$$
$$
(x-5)(x+2) = 0
$$
$x = 5$ o $x = -2$. Como el logaritmo exige $x > 0$ y $x > 3$: $x = 5$
Gráfica de la función logarítmica
La función $y = \log_a x$ tiene estas características:
- Dominio: $x > 0$
- Siempre pasa por el punto $(1, 0)$ porque $\log_a 1 = 0$
- Pasa por $(a, 1)$ porque $\log_a a = 1$
- Si $a > 1$: creciente; si $0 < a < 1$: decreciente
- Asíntota vertical en $x = 0$
1. ¿Cuánto vale $\log_3 27$?
(1 puntos)
Retroalimentación: 2. ¿Cuánto vale $\log 0{,}01$?
(1 puntos)
Retroalimentación: 3. Simplifica: $\log 5 + \log 2$
(1 puntos)
Retroalimentación: 4. Simplifica: $\log_4 64$
(1 puntos)
Retroalimentación: 5. Resuelve: $\log_2(x) = 4$
(1 puntos)
Retroalimentación:
3. Logaritmo de una potencia
$$$$
\log 10^5 = 5 \cdot \log 10 = 5 \cdot 1 = 5
$$
$$
\ln e^3 = 3 \cdot \ln e = 3 \cdot 1 = 3
$$
4. Logaritmo de una raíz
$$
\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \cdot \log_a x
$$
$$$$
\log \sqrt{1000} = \log 1000^{1/2} = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5
$$
Resumen de propiedades
Propiedad Fórmula Producto $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ Cociente $\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y$ Potencia $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$ Identidad $\log_a a = 1$ Cero $\log_a 1 = 0$
Cambio de base
Para calcular un logaritmo en cualquier base usando la calculadora (que solo tiene $\log$ y $\ln$):
$$
\log_a x = \frac{\log x}{\log a} = \frac{\ln x}{\ln a}
$$
Calcular $\log_2 10$
$$
\log_2 10 = \frac{\log 10}{\log 2} = \frac{1}{0{,}3010} \approx 3{,}32
$$
Comprobación: $2^{3{,}32} \approx 10$ ✓
Ecuaciones logarítmicas
Para resolver ecuaciones con logaritmos, usamos que $\log_a$ y $a^x$ son funciones inversas:
$$
\log_a x = n \implies x = a^n
$$
$\log_2 x = 5$
$$
x = 2^5 = 32
$$
$\log(x+1) = 2$
$$
x + 1 = 10^2 = 100
$$
$$
x = 99
$$
$\log x + \log(x-3) = 1$
Aplicando la propiedad del producto:
$$
\log[x(x-3)] = 1
$$
$$
x(x-3) = 10
$$
$$
x^2 - 3x - 10 = 0
$$
$$
(x-5)(x+2) = 0
$$
$x = 5$ o $x = -2$. Como el logaritmo exige $x > 0$ y $x > 3$: $x = 5$
Gráfica de la función logarítmica
La función $y = \log_a x$ tiene estas características:
- Dominio: $x > 0$
- Siempre pasa por el punto $(1, 0)$ porque $\log_a 1 = 0$
- Pasa por $(a, 1)$ porque $\log_a a = 1$
- Si $a > 1$: creciente; si $0 < a < 1$: decreciente
- Asíntota vertical en $x = 0$
1. ¿Cuánto vale $\log_3 27$?
(1 puntos)
Retroalimentación: 2. ¿Cuánto vale $\log 0{,}01$?
(1 puntos)
Retroalimentación: 3. Simplifica: $\log 5 + \log 2$
(1 puntos)
Retroalimentación: 4. Simplifica: $\log_4 64$
(1 puntos)
Retroalimentación: 5. Resuelve: $\log_2(x) = 4$
(1 puntos)
Retroalimentación:
4. Logaritmo de una raíz
$$$$
\log \sqrt{1000} = \log 1000^{1/2} = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5
$$
Resumen de propiedades
Propiedad Fórmula Producto $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ Cociente $\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y$ Potencia $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$ Identidad $\log_a a = 1$ Cero $\log_a 1 = 0$
Cambio de base
Para calcular un logaritmo en cualquier base usando la calculadora (que solo tiene $\log$ y $\ln$):
$$
\log_a x = \frac{\log x}{\log a} = \frac{\ln x}{\ln a}
$$
Calcular $\log_2 10$
$$
\log_2 10 = \frac{\log 10}{\log 2} = \frac{1}{0{,}3010} \approx 3{,}32
$$
Comprobación: $2^{3{,}32} \approx 10$ ✓
Ecuaciones logarítmicas
Para resolver ecuaciones con logaritmos, usamos que $\log_a$ y $a^x$ son funciones inversas:
$$
\log_a x = n \implies x = a^n
$$
$\log_2 x = 5$
$$
x = 2^5 = 32
$$
$\log(x+1) = 2$
$$
x + 1 = 10^2 = 100
$$
$$
x = 99
$$
$\log x + \log(x-3) = 1$
Aplicando la propiedad del producto:
$$
\log[x(x-3)] = 1
$$
$$
x(x-3) = 10
$$
$$
x^2 - 3x - 10 = 0
$$
$$
(x-5)(x+2) = 0
$$
$x = 5$ o $x = -2$. Como el logaritmo exige $x > 0$ y $x > 3$: $x = 5$
Gráfica de la función logarítmica
La función $y = \log_a x$ tiene estas características:
- Dominio: $x > 0$
- Siempre pasa por el punto $(1, 0)$ porque $\log_a 1 = 0$
- Pasa por $(a, 1)$ porque $\log_a a = 1$
- Si $a > 1$: creciente; si $0 < a < 1$: decreciente
- Asíntota vertical en $x = 0$
1. ¿Cuánto vale $\log_3 27$?
(1 puntos)
Retroalimentación: 2. ¿Cuánto vale $\log 0{,}01$?
(1 puntos)
Retroalimentación: 3. Simplifica: $\log 5 + \log 2$
(1 puntos)
Retroalimentación: 4. Simplifica: $\log_4 64$
(1 puntos)
Retroalimentación: 5. Resuelve: $\log_2(x) = 4$
(1 puntos)
Retroalimentación:
Resumen de propiedades
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Producto | $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ |
| Cociente | $\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y$ |
| Potencia | $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$ |
| Identidad | $\log_a a = 1$ |
| Cero | $\log_a 1 = 0$ |
Cambio de base
Para calcular un logaritmo en cualquier base usando la calculadora (que solo tiene $\log$ y $\ln$):
Calcular $\log_2 10$
Comprobación: $2^{3{,}32} \approx 10$ ✓
Ecuaciones logarítmicas
Para resolver ecuaciones con logaritmos, usamos que $\log_a$ y $a^x$ son funciones inversas:
$\log_2 x = 5$
$\log(x+1) = 2$
$\log x + \log(x-3) = 1$
Aplicando la propiedad del producto:
$x = 5$ o $x = -2$. Como el logaritmo exige $x > 0$ y $x > 3$: $x = 5$
Gráfica de la función logarítmica
La función $y = \log_a x$ tiene estas características:
- Dominio: $x > 0$
- Siempre pasa por el punto $(1, 0)$ porque $\log_a 1 = 0$
- Pasa por $(a, 1)$ porque $\log_a a = 1$
- Si $a > 1$: creciente; si $0 < a < 1$: decreciente
- Asíntota vertical en $x = 0$
1. ¿Cuánto vale $\log_3 27$? (1 puntos)
2. ¿Cuánto vale $\log 0{,}01$? (1 puntos)
3. Simplifica: $\log 5 + \log 2$ (1 puntos)
4. Simplifica: $\log_4 64$ (1 puntos)
5. Resuelve: $\log_2(x) = 4$ (1 puntos)