Números Complejos

Los números complejos surgen para resolver ecuaciones como $x^2 = -1$, que no tienen solución en los reales.

La unidad imaginaria

Se define $i$ como:

$$ i = \sqrt{-1} \implies i^2 = -1 $$

Con esto podemos calcular raíces de negativos:

$$ \sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = 2i $$

Potencias de $i$

$$ i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1, \quad i^5 = i, \ldots $$

Las potencias de $i$ se repiten con periodo 4.

Forma binómica

Un número complejo en forma binómica es:

$$ z = a + bi $$

Donde:

$a = \text{Re}(z)$ es la parte real
$b = \text{Im}(z)$ es la parte imaginaria
$bi$ es el término imaginario

Ejemplos

$z = 3 + 4i$: parte real $3$, parte imaginaria $4$
$z = -2 - i$: parte real $-2$, parte imaginaria $-1$
$z = 5$: número real (parte imaginaria $0$)
$z = 3i$: imaginario puro (parte real $0$)

Complejo conjugado

El conjugado de $z = a + bi$ es $\bar{z} = a - bi$ (cambia el signo de la parte imaginaria).

$$ z = 3 + 4i \implies \bar{z} = 3 - 4i $$

Operaciones en forma binómica

Suma y resta

Se operan las partes reales entre sí y las imaginarias entre sí:

$$ (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i $$

Ejemplo: $(2 + 3i) + (1 - i)$

$$ = (2+1) + (3-1)i = 3 + 2i $$

Multiplicación

Se multiplica como un producto de binomios, usando $i^2 = -1$:

$$ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i $$

Ejemplo: $(1 + 2i)(3 - i)$

$$ = 3 - i + 6i - 2i^2 = 3 + 5i - 2(-1) = 5 + 5i $$

División

Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador:

$$ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} $$

Ejemplo: $\frac{3 + 2i}{1 + i}$

$$ = \frac{(3 + 2i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{3 - 3i + 2i - 2i^2}{1 + 1} = \frac{3 - i + 2}{2} = \frac{5 - i}{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i $$

Representación gráfica: Plano de Argand

Un número complejo $z = a + bi$ se representa como el punto $(a, b)$ en el plano complejo:

El eje horizontal es el eje real
El eje vertical es el eje imaginario

Módulo y argumento

Módulo

El módulo de $z = a + bi$ es la distancia al origen:

$$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Ejemplo: $|3 + 4i|$

$$ |3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

Argumento

El argumento $\theta$ es el ángulo que forma el vector con el eje real positivo:

$$ \theta = \text{arctan}\left(\frac{b}{a}\right) $$

(con corrección según el cuadrante)

Forma polar

$$ z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) = |z|e^{i\theta} $$

Esta forma facilita la multiplicación y la elevación a potencias.

Fórmula de Moivre

$$ (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) $$

Ejemplo: $(1 + i)^4$

$|1+i| = \sqrt{2}$, $\theta = 45°$

$$ (1 + i)^4 = (\sqrt{2})^4(\cos 180° + i \sin 180°) = 4(-1 + 0i) = -4 $$