Teoría Ejercicios

Números Complejos

Los números complejos surgen para resolver ecuaciones como \(x^2 = -1\), que no tienen solución en los reales.

La unidad imaginaria

Se define \(i\) como:

\[i = \sqrt{-1} \implies i^2 = -1\]

Con esto podemos calcular raíces de negativos:

\[\sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = 2i\]

Potencias de \(i\)

\[i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1, \quad i^5 = i, \ldots\]

Las potencias de \(i\) se repiten con periodo 4.

Forma binómica

Un número complejo en forma binómica es:

\[z = a + bi\]

Donde:

  • \(a = \text{Re}(z)\) es la parte real
  • \(b = \text{Im}(z)\) es la parte imaginaria
  • \(bi\) es el término imaginario

Ejemplos
  • \(z = 3 + 4i\): parte real \(3\), parte imaginaria \(4\)
  • \(z = -2 - i\): parte real \(-2\), parte imaginaria \(-1\)
  • \(z = 5\): número real (parte imaginaria \(0\))
  • \(z = 3i\): imaginario puro (parte real \(0\))

Complejo conjugado

El conjugado de \(z = a + bi\) es \(\bar{z} = a - bi\) (cambia el signo de la parte imaginaria).

\[z = 3 + 4i \implies \bar{z} = 3 - 4i\]

Operaciones en forma binómica

Suma y resta

Se operan las partes reales entre sí y las imaginarias entre sí:

\[(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i\]
Ejemplo: \((2 + 3i) + (1 - i)\)
\[= (2+1) + (3-1)i = 3 + 2i\]

Multiplicación

Se multiplica como un producto de binomios, usando \(i^2 = -1\):

\[(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i\]
Ejemplo: \((1 + 2i)(3 - i)\)
\[= 3 - i + 6i - 2i^2 = 3 + 5i - 2(-1) = 5 + 5i\]

División

Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador:

\[\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}\]
Ejemplo: \(\frac{3 + 2i}{1 + i}\)
\[= \frac{(3 + 2i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{3 - 3i + 2i - 2i^2}{1 + 1} = \frac{3 - i + 2}{2} = \frac{5 - i}{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\]

Representación gráfica: Plano de Argand

Un número complejo \(z = a + bi\) se representa como el punto \((a, b)\) en el plano complejo:

  • El eje horizontal es el eje real
  • El eje vertical es el eje imaginario

Módulo y argumento

Módulo

El módulo de \(z = a + bi\) es la distancia al origen:

\[|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\]
Ejemplo: \(|3 + 4i|\)
\[|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Argumento

El argumento \(\theta\) es el ángulo que forma el vector con el eje real positivo:

\[\theta = \text{arctan}\left(\frac{b}{a}\right)\]

(con corrección según el cuadrante)

Forma polar

\[z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) = |z|e^{i\theta}\]

Esta forma facilita la multiplicación y la elevación a potencias.

Fórmula de Moivre

\[(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\]
Ejemplo: \((1 + i)^4\)

\(|1+i| = \sqrt{2}\), \(\theta = 45°\)

\[(1 + i)^4 = (\sqrt{2})^4(\cos 180° + i \sin 180°) = 4(-1 + 0i) = -4\]