Operaciones con Polinomios

Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por la suma de monomios. Aprender a operar con polinomios es fundamental para resolver ecuaciones, factorizar expresiones y simplificar cálculos algebraicos.

¿Qué es un Polinomio?

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

Donde:

• \(a_n, a_{n-1}, ldots, a_1, a_0\) son los coeficientes
• \(n\) es el grado del polinomio
• \(a_n

eq 0\) (coeficiente principal)

• \(a_0\) es el término independiente

Clasificación de Polinomios

Suma y Resta de Polinomios

Para sumar o restar polinomios, se combinan los términos semejantes (términos con iguales variables y exponentes).

Procedimiento

1. Eliminar paréntesis aplicando la ley de signos
2. Agrupar términos semejantes
3. Sumar o restar los coeficientes
4. Escribir el resultado en orden decreciente de exponentes

Ejemplo: Suma de polinomios

\((3x^2 + 2x - 5) + (x^2 - 4x + 3)\) Agrupar: \((3x^2 + x^2) + (2x - 4x) + (-5 + 3)\) Resultado: \(4x^2 - 2x - 2\)

Ejemplo: Resta de polinomios

\((2x^3 + x^2 - 3) - (x^3 - 2x^2 + x + 1)\) Distribuir el signo negativo: \(2x^3 + x^2 - 3 - x^3 + 2x^2 - x - 1\) Agrupar: \((2x^3 - x^3) + (x^2 + 2x^2) + (-x) + (-3 - 1)\) Resultado: \(x^3 + 3x^2 - x - 4\)

Multiplicación de Polinomios

Monomio por Polinomio

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio:

Ejemplo: Monomio × Polinomio

\(3x(2x^2 - 4x + 1)\) \(= 3x cdot 2x^2 - 3x cdot 4x + 3x cdot 1\) \(= 6x^3 - 12x^2 + 3x\)

Polinomio por Polinomio

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo:

Ejemplo: Binomio × Trinomio

\((x + 2)(x^2 - 3x + 1)\) \(= x(x^2 - 3x + 1) + 2(x^2 - 3x + 1)\) \(= x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2\) \(= x^3 - x^2 - 5x + 2\)

Productos Notables

Los productos notables son multiplicaciones frecuentes con fórmulas especiales:

1. Cuadrado de un Binomio

Ejemplo: \((x + 3)^2\)

\((x + 3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = x^2 + 6x + 9\)

Ejemplo: \((2x - 5)^2\)

\((2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(5) + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25\)

2. Diferencia de Cuadrados

Ejemplo: \((x + 4)(x - 4)\)

\((x + 4)(x - 4) = x^2 - 16\)

Ejemplo: \((3x + 2y)(3x - 2y)\)

\((3x + 2y)(3x - 2y) = 9x^2 - 4y^2\)

3. Cubo de un Binomio

Ejemplo: \((x + 2)^3\)

\((x + 2)^3 = x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(4) + 8\) \(= x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)

4. Suma y Diferencia de Cubos

División de Polinomios

División por Monomio

Se divide cada término del polinomio por el monomio:

Ejemplo: Dividir por monomio

\((6x^3 - 9x^2 + 3x) div 3x\) \(= \frac{6x^3}{3x} - \frac{9x^2}{3x} + \frac{3x}{3x}\) \(= 2x^2 - 3x + 1\)

División Sintética

Método abreviado para dividir un polinomio por un binomio de la forma \((x - a)\).

División Larga

Proceso similar a la división aritmética, útil para divisiones más complejas:

Ejemplo: División polinomial larga

Dividir: \((x^2 - 5x + 6) div (x - 2)\) Resultado: \(x - 3\)

Factorización de Polinomios

Factorizar significa expresar un polinomio como producto de factores más simples.

1. Factor Común

Se extrae el máximo factor común de todos los términos:

Ejemplo: Factor común

\(6x^3 + 9x^2 - 3x = 3x(2x^2 + 3x - 1)\)

2. Trinomio Cuadrado Perfecto

Si \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)

Ejemplo: Trinomio cuadrado perfecto

\(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\) Verificación: \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\) ✓

3. Diferencia de Cuadrados

Si \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Ejemplo: Diferencia de cuadrados

\(x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)\)

4. Trinomio de la Forma \(x^2 + bx + c\)

Se buscan dos números que sumados den \(b\) y multiplicados den \(c\):

Ejemplo: Trinomio general

\(x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)\) Porque: \(3 + 4 = 7\) ✓ y \(3 \times 4 = 12\) ✓

Valor Numérico de un Polinomio

Para evaluar un polinomio \(P(x)\) en un valor específico, se sustituye la variable por ese valor:

Ejemplo: Evaluación de polinomio

Si \(P(x) = 2x^3 - 3x + 1\) Evaluar en \(x = 2\): \(P(2) = 2(2)^3 - 3(2) + 1 = 2(8) - 6 + 1 = 16 - 6 + 1 = 11\)

Ejemplos Resueltos Completos

Ejemplo 1: Suma y Resta

Problema: Sumar \((3x^2 - 2x + 5) + (x^2 + 4x - 3)\)

Paso 1: Eliminar paréntesis \(3x^2 - 2x + 5 + x^2 + 4x - 3\) Paso 2: Agrupar términos semejantes \((3x^2 + x^2) + (-2x + 4x) + (5 - 3)\) Resultado: \(4x^2 + 2x + 2\)

Ejemplo 2: Producto Notable

Problema: Desarrollar \((2x + 3)^2\)

Fórmula: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) Donde: \(a = 2x\), \(b = 3\) Desarrollo: \((2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2\) \(= 4x^2 + 12x + 9\)

Ejemplo 3: Factorización

Problema: Factorizar \(x^2 - 5x + 6\)

Buscar: Dos números que sumen -5 y multipliquen 6 Números: -2 y -3

• Suma: \(-2 + (-3) = -5\) ✓
• Producto: \((-2) \times (-3) = 6\) ✓

Resultado: \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)

Aplicaciones Prácticas

Consejos Importantes

• Siempre agrupa términos semejantes al sumar o restar
• Memoriza los productos notables más comunes
• Al factorizar, busca primero el factor común
• Verifica tus factorizaciones multiplicando
• Mantén el orden decreciente de exponentes
• Practica con diferentes tipos de problemas