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Proporcionalidad
La proporcionalidad es una relación matemática entre dos o más magnitudes que mantienen una relación constante. Es fundamental para resolver problemas cotidianos y comprender relaciones entre variables.
Razón y Proporción
Razón
Una razón es la comparación entre dos cantidades mediante división. Se expresa como:
\[\frac{a}{b} quad \text{o} quad a:b quad \text{(se lee: "a es a b")}\]
Ejemplo: Razón de chicos a chicas
Si hay 15 chicos y 10 chicas:
- Razón chicos:chicas = \(15:10 = 3:2\) (simplificada)
- Razón chicas:chicos = \(10:15 = 2:3\) (simplificada)
Proporción
Una proporción es la igualdad entre dos razones:
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} quad \text{o} quad a:b = c:d\]
Se lee: "a es a b como c es a d"
Propiedad Fundamental de Proporciones
En toda proporción, el producto de extremos = producto de medios:
\[a \times d = b \times c\]
Ejemplo: Verificar proporción
¿Es \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\) una proporción? Verificar: \(3 \times 8 = 24\) y \(4 \times 6 = 24\) ✓ Sí es una proporción válida.
Proporcionalidad Directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:
- Al aumentar una, la otra aumenta en la misma proporción
- Al disminuir una, la otra disminuye en la misma proporción
- Su cociente es constante: \(\frac{y}{x} = k\)
Características
| Aspecto | Descripción |
|---|---|
| Relación | \(y = kx\) (donde \(k\) es la constante) |
| Gráfica | Línea recta que pasa por el origen |
| Ejemplos | Distancia-tiempo, artículos-precio, lado-perímetro |
Proporcionalidad Simple Directa
Para resolver problemas:
\[\text{Si } A
ightarrow B, \text{ entonces } C
ightarrow x\]
\[x = \frac{C \times B}{A}\]
Ejemplo: Compra de lápices
Si 3 lápices cuestan €2, ¿cuánto costarán 7 lápices?
\[\frac{3 \text{ lápices}}{€2} = \frac{7 \text{ lápices}}{x}\]
\[x = \frac{7 \times €2}{3} = \frac{€14}{3} approx €4.67\]
Proporcionalidad Inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:
- Al aumentar una, la otra disminuye
- Su producto es constante: \(x \times y = k\)
Características
| Aspecto | Descripción |
|---|---|
| Relación | \(y = \frac{k}{x}\) |
| Gráfica | Hipérbola |
| Ejemplos | Velocidad-tiempo, obreros-días, presión-volumen |
Proporcionalidad Simple Inversa
\[\text{Si } A
ightarrow B, \text{ entonces } C
ightarrow x\]
\[x = \frac{A \times B}{C}\]
Ejemplo: Obreros construyendo una pared
6 obreros construyen una pared en 10 días. ¿En cuántos días la construirán 15 obreros? Menos obreros → Más días (inversa)
\[x = \frac{6 \times 10}{15} = \frac{60}{15} = 4 \text{ días}\]
Proporcionalidad Compuesta
Cuando hay más de dos magnitudes relacionadas, se debe analizar cada relación (directa o inversa).
Ejemplo: Producción de máquinas
8 máquinas producen 480 piezas en 6 horas. ¿Cuántas piezas producirán 12 máquinas en 4 horas? Análisis:
- Máquinas → Piezas: Directa (más máquinas = más piezas)
- Horas → Piezas: Directa (más horas = más piezas)
\[\frac{480}{x} = \frac{8 \times 6}{12 \times 4}\]
\[x = \frac{480 \times 12 \times 4}{8 \times 6} = \frac{23040}{48} = 480 \text{ piezas}\]
Porcentajes
Un porcentaje es una forma especial de expresar una proporción como fracción de 100.
Conversiones Básicas
| Forma | Equivalencia | Ejemplo |
|---|---|---|
| Porcentaje | \(%\) | \(25%\) |
| Decimal | \(\frac{%}{100}\) | \(0.25\) |
| Fracción | Simplificada | \(\frac{1}{4}\) |
Cálculos con Porcentajes
1. Calcular el % de una cantidad:\[\text{Resultado} = \frac{\text{Porcentaje}}{100} \times \text{Cantidad}\]
Ejemplo: El 20% de 150
\[\text{Resultado} = \frac{20}{100} \times 150 = 0.20 \times 150 = 30\]
\[\text{Porcentaje} = \frac{\text{Parte}}{\text{Total}} \times 100\]
Ejemplo: ¿Qué % es 45 de 180?
\[\text{Porcentaje} = \frac{45}{180} \times 100 = 0.25 \times 100 = 25%\]
\[\text{Total} = \frac{\text{Parte} \times 100}{\text{Porcentaje}}\]
Aumentos y Descuentos
| Operación | Fórmula |
|---|---|
| Aumento del x% | Cantidad final = Cantidad inicial × \((1 + \frac{x}{100})\) |
| Descuento del x% | Cantidad final = Cantidad inicial × \((1 - \frac{x}{100})\) |
Ejemplo: Descuento del 15% en €80
\[\text{Precio final} = €80 \times (1 - \frac{15}{100}) = €80 \times 0.85 = €68\]
Aplicaciones Prácticas
En la Cocina
- Ajustar recetas según el número de comensales
- Calcular proporciones de ingredientes
Ejemplo: Escalar una receta
Receta original: 4 personas, 200g de harina Receta para 6 personas: \(\frac{6}{4} \times 200g = 300g\) de harina
En las Compras
- Calcular descuentos y ofertas
- Comparar precios por unidad
- Calcular impuestos (IVA)
En el Trabajo
- Distribuir tareas según capacidad
- Calcular productividad
- Planificar tiempos de ejecución
En Finanzas
- Calcular intereses
- Determinar comisiones
- Analizar variaciones de inversiones
Ejemplos Resueltos Completos
Ejemplo 1: Proporcionalidad Directa
Problema: Consumo de gasolina
Un coche consume 8 litros de gasolina por cada 100 km. ¿Cuántos litros consumirá en 350 km? Solución:
- Identificar: Más km → Más litros (directa)
- Plantear: \(\frac{100 \text{ km}}{8 \text{ L}} = \frac{350 \text{ km}}{x}\)
- Resolver: \(x = \frac{350 \times 8}{100} = 28\) L
Ejemplo 2: Porcentaje de Descuento
Problema: Descuento en tienda
Una camisa costaba €45 y ahora cuesta €36. ¿Cuál fue el % de descuento? Solución:
- Calcular descuento: €45 - €36 = €9
- Calcular porcentaje: \(\frac{€9}{€45} \times 100 = 20%\)
Ejemplo 3: Proporcionalidad Inversa
Problema: Pintores pintando una casa
12 pintores pintan una casa en 8 días. ¿Cuántos días tardarán 6 pintores? Solución:
- Identificar: Menos pintores → Más días (inversa)
- Plantear: \(12 \times 8 = 6 \times x\)
- Resolver: \(x = \frac{12 \times 8}{6} = 16\) días
Consejos Importantes
- Identifica correctamente si es directa o inversa
- Define las variables y sus unidades claramente
- Verifica que la respuesta tenga sentido lógico
- Simplifica razones a su forma más reducida
- Practica con problemas de la vida cotidiana
- Comprueba siempre tus cálculos