¿Qué es la regla de Ruffini?
La regla de Ruffini permite dividir un polinomio $P(x)$ entre un binomio de la forma $x - a$ de forma rápida, trabajando solo con los coeficientes.
Condición de uso: el divisor debe ser de la forma $x - a$, es decir, con coeficiente de $x$ igual a 1.
Cómo aplicar Ruffini
1. Escribimos los coeficientes del polinomio ordenados y completos (si falta un término, ponemos un 0). 2. Colocamos $a$ a la izquierda (el número que anula $x - a = 0$). 3. Bajamos el primer coeficiente. 4. Multiplicamos por $a$, sumamos al siguiente coeficiente y repetimos. 5. El último número es el resto; los anteriores son los coeficientes del cociente (de un grado menos).
resuelto: $(2x^3 - 5x^2 + x + 2) : (x - 2)$
Coeficientes: $2,\; -5,\; 1,\; 2$, con $a = 2$:
| Paso | Operación |
|---|---|
| Bajar | $2$ |
| $2 \cdot 2 = 4$ | $-5 + 4 = -1$ |
| $-1 \cdot 2 = -2$ | $1 - 2 = -1$ |
| $-1 \cdot 2 = -2$ | $2 - 2 = 0$ |
Cociente: $2x^2 - x - 1$ (un grado menos) y resto: 0.
Teorema del resto
El resto de dividir $P(x)$ entre $x - a$ coincide con el valor numérico de $P$ en $x = a$:
Para $P(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1$ dividido entre $x - 2$, el resto es:
Para $P(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1$ dividido entre $x - 2$, el resto es:
Raíces y factorización
Si el resto de dividir entre $x - a$ es 0, entonces $a$ es una raíz de $P(x)$ y se cumple:
Para factorizar un polinomio se repite el proceso con el cociente hasta obtener un polinomio de grado 2, que se resuelve con la fórmula general.
resuelto: factorizar $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
1. Probamos $x = 1$: $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Es raíz. 2. Ruffini con $a = 1$ da cociente $x^2 - 5x + 6$. 3. $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.
Raíces: $1$, $2$ y $3$.
Errores comunes
- Olvidar poner un 0 cuando falta un término. Ej.: $x^3 + 2x - 1$ tiene coeficientes $1, 0, 2, -1$.
- Dividir entre $x + 3$ y usar $a = 3$: en realidad $a = -3$.
- Confundir el resto con un coeficiente del cociente: el resto es siempre el último número.