Monomios y términos semejantes
Un monomio consta de un coeficiente (número) y una parte literal (letras con sus exponentes). Por ejemplo, en $3x^2y$ el coeficiente es 3 y la parte literal es $x^2y$.
Dos términos son semejantes si tienen la misma parte literal. Solo se pueden sumar o restar términos semejantes:
$$
3x^2 + 5x^2 = 8x^2 \qquad 4x^3 - 2x^3 = 2x^3
$$
Producto y potencia de monomios
- Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de cada letra: $2x^2 \cdot 3x^3 = 6x^5$
- Potencia de un monomio: $(2x^3)^2 = 4x^6$
resuelto
Simplifica $3x^2 \cdot 2x^4 + x^3 \cdot x^3$:
1. $3x^2 \cdot 2x^4 = 6x^6$ 2. $x^3 \cdot x^3 = x^6$ 3. Como son semejantes: $6x^6 + x^6 = 7x^6$
Identidades notables
$$
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
$$
$$
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
$$
$$
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
$$
Ejemplos
- $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$
- $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$
- $(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$
Factor común
Extraer factor común es la operación inversa de la propiedad distributiva:
$$
ka + kb = k(a + b)
$$
$6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)$, porque $3x^2 \cdot 2x = 6x^3$ y $3x^2 \cdot 3 = 9x^2$.
$6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)$, porque $3x^2 \cdot 2x = 6x^3$ y $3x^2 \cdot 3 = 9x^2$.
Simplificación de fracciones algebraicas
Se factorizan numerador y denominador y se cancelan los factores comunes. Hay que tener en cuenta que el denominador no puede anularse.
Ejemplos resueltos
- $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} = \dfrac{(x + 2)(x - 2)}{x + 2} = x - 2$ (con $x \neq -2$)
- $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = \dfrac{(x + 3)(x - 3)}{x - 3} = x + 3$ (con $x \neq 3$)
Errores comunes
| Error | Correcto |
|---|---|
| $3x + 5x^2 = 8x^3$ | $3x + 5x^2$ no se puede simplificar: no son semejantes |
| $(x + 2)^2 = x^2 + 4$ | $(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$ |
| $\dfrac{x + 2}{2} = x$ | $\dfrac{x + 2}{2} = \dfrac{x}{2} + 1$ |