El teorema del resto
Al dividir un polinomio $P(x)$ entre $x-a$, el resto es un número. El teorema del resto afirma que ese número se obtiene evaluando el polinomio en $a$:
No hace falta calcular el cociente para conocer el resto.
hallar un resto
Halla el resto de dividir $P(x)=x^3-2x^2+x-1$ entre $x-2$.
El divisor es $x-a$ con $a=2$. Entonces $P(2)=8-8+2-1=1$. El resto es $1$.
Determinar un parámetro
Si se conoce el resto, iguala $P(a)$ a ese valor y resuelve la ecuación resultante.
guiado
Encuentra $k$ para que el resto de dividir $P(x)=x^2+kx+3$ entre $x+1$ sea cero.
Como $x+1=x-(-1)$, evaluamos en $-1$: $P(-1)=1-k+3=4-k$. Pedimos $4-k=0$, luego $k=4$.
El teorema del factor
El teorema del factor es una consecuencia del teorema del resto: $(x-a)$ es factor de $P(x)$ exactamente cuando $P(a)=0$. En ese caso, $a$ es una raíz del polinomio y la división es exacta.
comprobar un factor
¿Es $x-3$ factor de $P(x)=x^2-5x+6$? Evaluamos: $P(3)=9-15+6=0$. Sí, es factor. De hecho, $P(x)=(x-3)(x-2)$.
Cómo elegir el valor correcto
- Divisor $x-4$: evalúa $P(4)$.
- Divisor $x+4$: escríbelo como $x-(-4)$ y evalúa $P(-4)$.
- Si el resto no es cero, el divisor no es factor.
El teorema se aplica directamente a divisores mónicos de primer grado. Para un divisor $cx-d$, primero exprésalo como $c(x-d/c)$; el resto de la división euclídea sigue siendo $P(d/c)$.