Descomposición de Números

La descomposición de números es una herramienta fundamental en aritmética que nos permite expresar cualquier número como un producto de sus factores más básicos: los números primos. Esta técnica es esencial para resolver problemas de divisibilidad, encontrar el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM).

Números Primos y Compuestos

Números Primos

Un número primo es un número natural mayor que 1 que solo tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo.

Los Primeros Números Primos

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... Nota importante: El número 2 es el único número primo par.

Números Compuestos

Un número compuesto es un número natural mayor que 1 que tiene más de dos divisores, es decir, puede descomponerse en factores menores que él mismo.

Ejemplos de Números Compuestos

• 4 = 2 × 2
• 6 = 2 × 3
• 8 = 2 × 2 × 2
• 9 = 3 × 3
• 10 = 2 × 5

Casos Especiales

• El número 1: No es primo ni compuesto (por definición)
• El número 0: No se considera en esta clasificación

Descomposición en Factores Primos

Teorema Fundamental de la Aritmética

Todo número entero mayor que 1 puede expresarse de manera única como un producto de números primos (salvo el orden de los factores).

Método de Descomposición

Proceso Paso a Paso

• Dividir el número por el menor primo que lo divida exactamente
• Repetir el proceso con el cociente obtenido
• Continuar hasta que el cociente sea 1
• El producto de todos los divisores primos es la descomposición

Ejemplo: Descomponer 60

60 │ 2

30 │ 2

15 │ 3

5 │ 5

1 │

Por tanto: 60 = 2² × 3 × 5

Más ejemplos de descomposición

Ejemplo 1: 72

72 │ 2

36 │ 2

18 │ 2

9 │ 3

3 │ 3

1 │

72 = 2³ × 3²

Ejemplo 2: 105

105 │ 3

35 │ 5

7 │ 7

1 │

105 = 3 × 5 × 7

Reglas de Divisibilidad

Las reglas de divisibilidad nos permiten determinar rápidamente si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.

Reglas Principales

| Divisor | Regla | Ejemplo

| 2 | Termina en cifra par (0, 2, 4, 6, 8) | 124, 56, 38

| 3 | La suma de sus cifras es múltiplo de 3 | 123 (1+2+3=6)

| 4 | Las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 | 1324 (24÷4=6)

| 5 | Termina en 0 o 5 | 25, 30, 45

| 6 | Es divisible por 2 Y por 3 | 126

| 8 | Las tres últimas cifras forman un múltiplo de 8 | 1248 (248÷8=31)

| 9 | La suma de sus cifras es múltiplo de 9 | 189 (1+8+9=18)

| 10 | Termina en 0 | 120, 380

| 11 | La diferencia entre la suma de cifras en posiciones pares e impares es múltiplo de 11 | 121 ((1+1)-2=0)

Ejemplos de Aplicación

¿Es 1728 divisible por 8?

Aplicamos la regla del 8: miramos las tres últimas cifras.

Las tres últimas cifras son: 728

728 ÷ 8 = 91 (exacto)

Respuesta: Sí, 1728 es divisible por 8

¿Es 2457 divisible por 9?

Aplicamos la regla del 9: sumamos las cifras.

2 + 4 + 5 + 7 = 18

18 es múltiplo de 9 (18 ÷ 9 = 2)

Respuesta: Sí, 2457 es divisible por 9

Divisores de un Número

Encontrar Todos los Divisores

Una vez que tenemos la descomposición en factores primos, podemos encontrar todos los divisores de un número.

Método

Si un número tiene la descomposición: n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pₖ^aₖ

Entonces el número total de divisores es: (a₁ + 1) × (a₂ + 1) × ... × (aₖ + 1)

Ejemplo: Divisores de 12

12 = 2² × 3¹

Número de divisores: (2 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 = 6

Los divisores son: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Máximo Común Divisor (MCD)

Definición

El MCD de dos o más números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos.

Métodos para Calcular el MCD

Método 1: Descomposición en Factores Primos

• Descomponer cada número en factores primos
• Identificar los factores primos comunes
• Tomar cada factor común con su menor exponente
• Multiplicar estos factores

Ejemplo: MCD(48, 72)

Paso 1: Descomponemos

48 = 2⁴ × 3¹

72 = 2³ × 3²

Paso 2: Factores comunes: 2 y 3 Paso 3: Tomamos el menor exponente

2: min(4, 3) = 3 → 2³

3: min(1, 2) = 1 → 3¹

Paso 4: MCD(48, 72) = 2³ × 3¹ = 8 × 3 = 24

Método 2: Algoritmo de Euclides

Es un método eficiente basado en divisiones sucesivas:

• Dividir el mayor entre el menor
• Si el resto es 0, el divisor es el MCD
• Si no, repetir con el divisor y el resto

Ejemplo: MCD(48, 72) con Euclides

72 ÷ 48 = 1 resto 24

48 ÷ 24 = 2 resto 0

Como el resto es 0, MCD(48, 72) = 24

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Definición

El MCM de dos o más números es el menor número positivo que es múltiplo de todos ellos.

Método para Calcular el MCM

Descomposición en Factores Primos

• Descomponer cada número en factores primos
• Identificar todos los factores primos que aparecen
• Tomar cada factor con su mayor exponente
• Multiplicar estos factores

Ejemplo: MCM(48, 72)

Paso 1: Descomponemos

48 = 2⁴ × 3¹

72 = 2³ × 3²

Paso 2: Factores que aparecen: 2 y 3 Paso 3: Tomamos el mayor exponente

2: max(4, 3) = 4 → 2⁴

3: max(1, 2) = 2 → 3²

Paso 4: MCM(48, 72) = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144

Relación entre MCD y MCM

Para dos números a y b:

\( \text{MCD}(a,b) \times \text{MCM}(a,b) = a \times b\)

Esta relación es muy útil para verificar cálculos o calcular uno cuando conocemos el otro.

Aplicaciones Prácticas

Problemas de Reparto (MCD)

Cuando queremos dividir cantidades en partes iguales lo más grandes posible, usamos el MCD.

Ejemplo: Problema de reparto

Problema: Un agricultor tiene 60 manzanas y 48 peras. Quiere hacer cestas con la misma cantidad de cada fruta en cada cesta. ¿Cuál es el mayor número de cestas que puede hacer? Solución:

Necesitamos MCD(60, 48)

60 = 2² × 3 × 5

48 = 2⁴ × 3

MCD(60, 48) = 2² × 3 = 12

Respuesta: Puede hacer 12 cestas con 5 manzanas y 4 peras cada una.

Problemas de Coincidencia (MCM)

Cuando queremos encontrar cuándo coinciden eventos periódicos, usamos el MCM.

Ejemplo: Problema de coincidencia

Problema: Dos semáforos se encienden cada 30 y 45 segundos respectivamente. Si se encienden juntos a las 12:00, ¿cuándo volverán a encenderse juntos? Solución:

Necesitamos MCM(30, 45)

30 = 2 × 3 × 5

45 = 3² × 5

MCM(30, 45) = 2 × 3² × 5 = 90

Respuesta: Volverán a encenderse juntos cada 90 segundos (1 minuto y 30 segundos).

Números Coprimos

Dos números son coprimos (o primos relativos) si su MCD es 1, es decir, no tienen factores comunes además del 1.

Ejemplos de Números Coprimos

• 15 y 28: MCD(15, 28) = 1
• 9 y 16: MCD(9, 16) = 1
• 7 y 11: MCD(7, 11) = 1 (ambos son primos)

Propiedad importante: Si dos números son coprimos, entonces su MCM es igual a su producto.

Estrategias y Consejos

Para Descomponer Números Grandes

• Empieza siempre por los primos pequeños: 2, 3, 5, 7, 11, ...
• Usa las reglas de divisibilidad para ir más rápido
• Si un número no es divisible por ningún primo hasta √n, entonces es primo

Para Verificar Resultados

• MCD × MCM = producto de los números originales
• El MCD debe dividir a ambos números
• Ambos números deben dividir al MCM
• MCD ≤ menor de los números
• MCM ≥ mayor de los números

La descomposición en factores primos es una herramienta poderosa que nos ayuda a entender la estructura interna de los números y resolver muchos problemas prácticos de manera eficiente.