Problemas de Aplicación: DG y MP
A la hora de enfrentarnos a un problema matemático, el mayor reto no suele ser hacer los cálculos, sino decidir qué herramienta utilizar. Para saber si debes calcular el Divisor Común más Grande (DG) o el Múltiplo Común más Pequeño (MP), debes leer atentamente el enunciado y buscar palabras clave.
1. ¿Cómo identificar qué método usar?
- Pistas para usar el DCG:
El problema implica dividir, cortar, repartir o agrupar cosas en partes más pequeñas. Buscas que esas partes sean iguales. Aparecen palabras como: mayor, máximo, más grande, la mayor cantidad posible.
- Pistas para usar el MP:
El problema habla de eventos que se repiten en el tiempo (frecuencias). Buscas un momento en el futuro en el que varias cosas van a coincidir, encontrarse o repetirse a la vez. Aparecen palabras como: mínimo, menor tiempo, cuándo volverán a coincidir.
2. Ejercicios Resueltos
Lee con atención cada problema y analiza el razonamiento paso a paso:
Ejercicio 1: Un autobús de la línea A pasa por una parada cada 15 minutos y un autobús de la línea B pasa cada 20 minutos. Si acaban de coincidir en la parada a las 10:00 a.m., ¿cuánto tiempo tardarán en volver a encontrarse y a qué hora será?
Primero hay que ver si se busca un múltiplo o un divisor. En este caso, los minutos van a ir sumándose hacia el futuro (15, 30, 45... y 20, 40, 60...). Además, el enunciado nos pregunta cuándo van a "volver a encontrarse" o coincidir. Esto nos indica claramente que debemos calcular el m.c.m.
Paso 1: Descomponemos los números. 15 = 3 × 5 20 = 2² × 5
Paso 2: Calculamos el m.c.m. (comunes y no comunes al mayor exponente). $m.c.m. = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$
Respuesta: Tardarán 60 minutos (1 hora) en volver a encontrarse. Por lo tanto, coincidirán de nuevo a las 11:00 a.m.
Ejercicio 2: Un carpintero tiene dos listones de madera, uno de 40 cm y otro de 60 cm. Quiere cortarlos en trozos que sean exactamente iguales y del mayor tamaño posible, sin que le sobre nada de madera. ¿Cuánto debe medir cada trozo?
Primero hay que ver si se busca un múltiplo o un divisor. En este caso, la acción principal es "cortar", es decir, dividir un tamaño grande en partes más pequeñas. Además, nos exige que los trozos sean del "mayor tamaño posible". Esto es la definición exacta del DCG.
Paso 1: Descomponemos los números. 40 = 2³ × 5 60 = 2² × 3 × 5
Paso 2: Calculamos el DCG (solo comunes al menor exponente). Los factores comunes son el 2 y el 5. $DCG = 2^2 \times 5 = 20$
Respuesta: Cada trozo de madera debe medir 20 cm.
Ejercicio 3: Ana toma una pastilla para la alergia cada 8 horas y un jarabe para la tos cada 12 horas. Si se acaba de tomar ambas medicinas a la vez, ¿cuántas horas pasarán hasta que vuelva a tomárselas juntas?
Primero hay que ver si se busca un múltiplo o un divisor. En este caso, estamos hablando de tiempos que avanzan (múltiplos de 8 y de 12 horas) y buscamos el momento en el que ambas tomas "coincidan" nuevamente. Por lo tanto, aplicamos el m.c.m.
Paso 1: Descomponemos. 8 = 2³ 12 = 2² × 3
Paso 2: Calculamos el m.c.m. (comunes y no comunes al mayor exponente). $m.c.m. = 2^3 \times 3 = 24$
Respuesta: Pasarán 24 horas exactas hasta que vuelva a tomar ambas medicinas a la vez.
Ejercicio 4: Una tienda quiere preparar cajas de regalo. Tienen 45 bombones y 30 galletas. Quieren que todas las cajas tengan el mismo contenido y que sean la mayor cantidad de cajas posibles sin que sobre nada. ¿Cuántas cajas podrán hacer?
Primero hay que ver si se busca un múltiplo o un divisor. En este caso, se trata de "repartir" o agrupar dulces en cajas iguales. La palabra clave es hacer la "mayor cantidad de cajas posibles". Estamos dividiendo cantidades, por lo que usamos el DCG.
Paso 1: Descomponemos. 45 = 3² × 5 30 = 2 × 3 × 5
Paso 2: Calculamos el DCG (solo factores comunes al menor exponente). Los factores comunes son el 3 y el 5. $DCG = 3 \times 5 = 15$
Respuesta: Podrán preparar 15 cajas iguales (cada caja tendrá 3 bombones y 2 galletas).