Teoría Ejercicios

Las Fracciones

Las fracciones son una forma de expresar números que representan partes de un todo. Nos permiten trabajar con cantidades que no son números enteros y son fundamentales para entender conceptos más avanzados en matemáticas.

¿Qué es una Fracción?

Una fracción es un número que expresa una o varias partes iguales de una unidad. Se escribe como:

\[\frac{a}{b}\]

Donde:

  • a es el numerador (partes que tomamos)
  • b es el denominador (partes en que se divide el todo)
  • La raya horizontal se llama raya de fracción

Ejemplo: Dividir una torta

En

\[\frac{3}{4}\]

, el numerador es 3 (tomamos 3 partes) y el denominador es 4 (la torta está dividida en 4 partes iguales)

Tres Interpretaciones de una Fracción

1. Como Parte de un Todo

\[\frac{3}{4}\]

representa 3 de las 4 partes iguales en que se ha dividido algo.

2. Como División

\[\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75\]

3. Como Razón

Expresa la relación entre dos cantidades: "3 de cada 4"

Tipos de Fracciones

Según la Relación entre Numerador y Denominador

TipoDescripciónEjemplosValor
PropiasNumerador < Denominador
\[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\]

| Menor que 1 | | Impropias | Numerador ≥ Denominador |

\[\frac{5}{3}, \frac{8}{8}\]

| Mayor o igual a 1 | | Números Mixtos | Entero + Fracción Propia |

\[2\frac{1}{3}, 1\frac{3}{4}\]

| Mayor que 1 |

Fracciones Equivalentes

Las fracciones equivalentes representan la misma cantidad aunque tengan numeradores y denominadores diferentes.

\[\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}\]

Amplificación y Simplificación

Amplificación (Hacer Fracciones Equivalentes)

Multiplicamos numerador y denominador por el mismo número:

\[\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}\]
Ejemplo: Amplificar 3/5

Multiplicamos por 2:

\[\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}\]

> Multiplicamos por 3:

\[\frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15}\]

Simplificación (Reducir a su forma más simple)

Dividimos numerador y denominador por el mismo número:

\[\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}\]
Método paso a paso:
  1. Encontrar el MCD del numerador y denominador
  2. Dividir ambos por el MCD
  3. La fracción resultante es irreducible
Ejemplo: Simplificar 18/24

Paso 1: Descomponer en factores primos

\[18 = 2 \times 3^2\]

>

\[24 = 2^3 \times 3\]

> > Paso 2: MCD(18, 24) = 2 × 3 = 6 > > Paso 3: Dividir por el MCD >

\[\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}\]

Comparación de Fracciones

Con el Mismo Denominador

Es mayor la que tiene mayor numerador:

\[\frac{5}{8} > \frac{3}{8} > \frac{1}{8}\]

Con Distinto Denominador

Método 1: Denominador Común

Convertimos a fracciones equivalentes con el mismo denominador:

Ejemplo: Comparar 2/3 y 3/4

Paso 1: Encontrar MCM(3, 4) = 12

Paso 2: Convertir a equivalentes

\[\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}\]

>

\[\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}\]

> > Paso 3: Comparar > Como 8 < 9, entonces

\[\frac{2}{3} < \frac{3}{4}\]

Método 2: Multiplicación Cruzada

Para comparar

\[\frac{a}{b}\]

y

\[\frac{c}{d}\]

, multiplicamos en cruz:

Si

\[a \times d < b \times c\]

, entonces

\[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\]

Operaciones con Fracciones

Suma y Resta

Con Igual Denominador

Sumamos o restamos los numeradores y conservamos el denominador:

\[\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\]
\[\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}\]
Ejemplo: 3/8 + 2/8
\[\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8}\]
Ejemplo: 7/12 - 3/12
\[\frac{7}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7 - 3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

Con Distinto Denominador

  1. Encontrar el MCM de los denominadores
  2. Convertir a fracciones equivalentes
  3. Sumar o restar los numeradores
  4. Simplificar si es posible
Ejemplo: 1/4 + 2/6

Paso 1: MCM(4, 6) = 12

Paso 2: Convertir

\[\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}\]

>

\[\frac{2}{6} = \frac{2 \times 2}{6 \times 2} = \frac{4}{12}\]

> > Paso 3: Sumar >

\[\frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}\]

Multiplicación de Fracciones

Multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí:

\[\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\]
Ejemplo: 2/3 × 4/5
\[\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}\]
Multiplicación con número entero
\[3 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5}\]

Simplificación Previa

Podemos simplificar antes de multiplicar:

Ejemplo: 4/9 × 3/8
\[\frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{\cancel{4}^1}{9} \times \frac{3}{\cancel{8}^2} = \frac{1 \times 3}{9 \times 2} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}\]

División de Fracciones

Para dividir fracciones, multiplicamos por la fracción recíproca (invertida):

\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}\]
Ejemplo: 3/4 ÷ 2/5
\[\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{4 \times 2} = \frac{15}{8}\]
División por número entero
\[\frac{2}{3} \div 4 = \frac{2}{3} \div \frac{4}{1} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\]

Conversión entre Formas

Fracción Impropia → Número Mixto

  1. Dividir numerador entre denominador
  2. El cociente es la parte entera
  3. El resto es el nuevo numerador
  4. El denominador queda igual
Ejemplo: Convertir 11/4 a número mixto
\[11 \div 4 = 2 \text{ con resto } 3\]

>

\[\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}\]

Número Mixto → Fracción Impropia

Fórmula:

\[a\frac{b}{c} = \frac{(a \times c) + b}{c}\]
Ejemplo: Convertir 3 2/5
\[3\frac{2}{5} = \frac{(3 \times 5) + 2}{5} = \frac{15 + 2}{5} = \frac{17}{5}\]

Fracción → Decimal

Dividimos numerador entre denominador:

\[\frac{1}{2} = 1 \div 2 = 0.5\]
\[\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75\]
\[\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0.333...\]

Decimal → Fracción

Decimales Exactos

  1. Escribir el decimal como fracción con denominador potencia de 10
  2. Simplificar
Ejemplo: Convertir 0.25 a fracción
\[0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}\]
Ejemplo: Convertir 0.6 a fracción
\[0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\]

Aplicaciones Prácticas de Fracciones

En la Cocina

Ajustar una receta

Si una receta pide

\[\frac{3}{4}\]

taza de harina pero quieres hacer la mitad: >

\[\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \text{ taza de harina}\]
Doblar cantidades

Ingredientes para 4 personas × 2 = Ingredientes para 8 personas

En Medidas

ConceptoConversión
Tiempo
\[\frac{1}{4}\]

hora = 15 minutos | | Distancia |

\[\frac{3}{4}\]

km = 750 metros | | Peso |

\[\frac{1}{2}\]

kg = 500 gramos |

Repartición Equitativa

Ejemplo: Repartir una pizza

Una pizza se divide en 8 partes iguales. Ana come 3 partes, Luis 2 y María 1. ¿Qué fracción comieron?

\[\frac{3}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]

> > ¿Qué fracción sobra? >

\[1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\]