Las Fracciones

Las fracciones son una forma de expresar números que representan partes de un todo. Nos permiten trabajar con cantidades que no son números enteros y son fundamentales para entender conceptos más avanzados en matemáticas.

¿Qué es una Fracción?

Una fracción es un número que expresa una o varias partes iguales de una unidad. Se escribe como:

$$ \frac{a}{b} $$

Donde:

  • a es el numerador (partes que tomamos)
  • b es el denominador (partes en que se divide el todo)
  • La raya horizontal se llama raya de fracción
Ejemplo: Dividir una torta

En

$$ \frac{3}{4} $$

, el numerador es 3 (tomamos 3 partes) y el denominador es 4 (la torta está dividida en 4 partes iguales)

Tres Interpretaciones de una Fracción

1. Como Parte de un Todo

$$ \frac{3}{4} $$

representa 3 de las 4 partes iguales en que se ha dividido algo.

2. Como División

$$ \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75 $$

3. Como Razón

Expresa la relación entre dos cantidades: "3 de cada 4"

Tipos de Fracciones

Según la Relación entre Numerador y Denominador

TipoDescripciónEjemplosValor

| Propias | Numerador < Denominador |

$$ \frac{1}{2}, \frac{3}{4} $$

| Menor que 1 | | Impropias | Numerador ≥ Denominador |

$$ \frac{5}{3}, \frac{8}{8} $$

| Mayor o igual a 1 | | Números Mixtos | Entero + Fracción Propia |

$$ 2\frac{1}{3}, 1\frac{3}{4} $$

| Mayor que 1 |

Fracciones Equivalentes

Las fracciones equivalentes representan la misma cantidad aunque tengan numeradores y denominadores diferentes.

$$ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} $$

Amplificación y Simplificación

Amplificación (Hacer Fracciones Equivalentes)

Multiplicamos numerador y denominador por el mismo número:

$$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} $$
Ejemplo: Amplificar 3/5

Multiplicamos por 2:

$$ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} $$

Multiplicamos por 3:

$$ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15} $$

Simplificación (Reducir a su forma más simple)

Dividimos numerador y denominador por el mismo número:

$$ \frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} $$

Método paso a paso:

1. Encontrar el MCD del numerador y denominador 2. Dividir ambos por el MCD 3. La fracción resultante es irreducible

Ejemplo: Simplificar 18/24

Paso 1: Descomponer en factores primos

$$ 18 = 2 \times 3^2 $$
$$ 24 = 2^3 \times 3 $$

Paso 2: MCD(18, 24) = 2 × 3 = 6

Paso 3: Dividir por el MCD

$$ \frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4} $$

Comparación de Fracciones

Con el Mismo Denominador

Es mayor la que tiene mayor numerador:

$$ \frac{5}{8} > \frac{3}{8} > \frac{1}{8} $$

Con Distinto Denominador

Método 1: Denominador Común

Convertimos a fracciones equivalentes con el mismo denominador:

Ejemplo: Comparar 2/3 y 3/4

Paso 1: Encontrar MCM(3, 4) = 12

Paso 2: Convertir a equivalentes

$$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} $$
$$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} $$

Paso 3: Comparar Como 8 < 9, entonces

$$ \frac{2}{3} < \frac{3}{4} $$

Método 2: Multiplicación Cruzada

Para comparar

$$ \frac{a}{b} $$

y

$$ \frac{c}{d} $$

, multiplicamos en cruz:

Si

$$ a \times d < b \times c $$

, entonces

$$ \frac{a}{b} < \frac{c}{d} $$

Operaciones con Fracciones

Suma y Resta

Con Igual Denominador

Sumamos o restamos los numeradores y conservamos el denominador:

$$ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} $$
$$ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c} $$
Ejemplo: 3/8 + 2/8
$$ \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8} $$
Ejemplo: 7/12 - 3/12
$$ \frac{7}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7 - 3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$

Con Distinto Denominador

1. Encontrar el MCM de los denominadores 2. Convertir a fracciones equivalentes 3. Sumar o restar los numeradores 4. Simplificar si es posible

Ejemplo: 1/4 + 2/6

Paso 1: MCM(4, 6) = 12

Paso 2: Convertir

$$ \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} $$
$$ \frac{2}{6} = \frac{2 \times 2}{6 \times 2} = \frac{4}{12} $$

Paso 3: Sumar

$$ \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12} $$

Multiplicación de Fracciones

Multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí:

$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} $$
Ejemplo: 2/3 × 4/5
$$ \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} $$
Multiplicación con número entero
$$ 3 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5} $$

Simplificación Previa

Podemos simplificar antes de multiplicar:

Ejemplo: 4/9 × 3/8
$$ \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{\cancel{4}^1}{9} \times \frac{3}{\cancel{8}^2} = \frac{1 \times 3}{9 \times 2} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} $$

División de Fracciones

Para dividir fracciones, multiplicamos por la fracción recíproca (invertida):

$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} $$
Ejemplo: 3/4 ÷ 2/5
$$ \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{4 \times 2} = \frac{15}{8} $$
División por número entero
$$ \frac{2}{3} \div 4 = \frac{2}{3} \div \frac{4}{1} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $$

Conversión entre Formas

Fracción Impropia → Número Mixto

1. Dividir numerador entre denominador 2. El cociente es la parte entera 3. El resto es el nuevo numerador 4. El denominador queda igual

Ejemplo: Convertir 11/4 a número mixto
$$ 11 \div 4 = 2 \text{ con resto } 3 $$
$$ \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} $$

Número Mixto → Fracción Impropia

Fórmula:

$$ a\frac{b}{c} = \frac{(a \times c) + b}{c} $$
Ejemplo: Convertir 3 2/5
$$ 3\frac{2}{5} = \frac{(3 \times 5) + 2}{5} = \frac{15 + 2}{5} = \frac{17}{5} $$

Fracción → Decimal

Dividimos numerador entre denominador:

$$ \frac{1}{2} = 1 \div 2 = 0.5 $$
$$ \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75 $$
$$ \frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0.333... $$

Decimal → Fracción

Decimales Exactos

1. Escribir el decimal como fracción con denominador potencia de 10 2. Simplificar

Ejemplo: Convertir 0.25 a fracción
$$ 0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} $$
Ejemplo: Convertir 0.6 a fracción
$$ 0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$

Aplicaciones Prácticas de Fracciones

En la Cocina

Ajustar una receta

Si una receta pide

$$ \frac{3}{4} $$

taza de harina pero quieres hacer la mitad:

$$ \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \text{ taza de harina} $$
Doblar cantidades

Ingredientes para 4 personas × 2 = Ingredientes para 8 personas

En Medidas

ConceptoConversión

| Tiempo |

$$ \frac{1}{4} $$

hora = 15 minutos | | Distancia |

$$ \frac{3}{4} $$

km = 750 metros | | Peso |

$$ \frac{1}{2} $$

kg = 500 gramos |

Repartición Equitativa

Ejemplo: Repartir una pizza

Una pizza se divide en 8 partes iguales. Ana come 3 partes, Luis 2 y María 1. ¿Qué fracción comieron?

$$ \frac{3}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $$

¿Qué fracción sobra?

$$ 1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $$

1. ¿Qué representa el numerador en una fracción? (1 puntos)

2. ¿Cuál es la fracción equivalente a 2/4? (1 puntos)

3. ¿Cómo se llama una fracción donde el numerador es mayor que el denominador? (1 puntos)

4. Simplifica las siguientes fracciones: (4 puntos)

a ) 6/9 = ?/? (numerador)

b ) 6/9 = ?/? (denominador)

c ) 15/25 = ?/? (numerador)

d ) 15/25 = ?/? (denominador)

5. ¿Cuál es el resultado de 1/3 + 1/6? (1 puntos)

6. ¿Cuál es el resultado de 2/3 × 3/4? (1 puntos)

7. Resuelve las siguientes operaciones: (6 puntos)

a ) 1/4 + 1/4 = ?/? (numerador)

b ) 1/4 + 1/4 = ?/? (denominador)

c ) 3/5 - 1/5 = ?/? (numerador)

d ) 3/5 - 1/5 = ?/? (denominador)

e ) 2/7 × 3/2 = ?/? (numerador simplificado)

f ) 2/7 × 3/2 = ?/? (denominador simplificado)

8. ¿Cuál es el resultado de 1/2 ÷ 1/4? (1 puntos)

9. ¿Cuál es el denominador común de 1/6 y 1/4? (1 puntos)

10. Convierte a fracción impropia: (4 puntos)

a ) 2 1/3 = ?/? (numerador)

b ) 2 1/3 = ?/? (denominador)

c ) 1 3/4 = ?/? (numerador)

d ) 1 3/4 = ?/? (denominador)

11. ¿Cuál de estas fracciones es mayor: 3/4 o 5/6? (1 puntos)

12. Ordena de menor a mayor (usa números 1, 2, 3): (3 puntos)

a ) Posición de 1/4:

b ) Posición de 1/3:

c ) Posición de 1/2:

13. ¿Cuál es la fracción decimal de 3/4? (1 puntos)

14. ¿Cuál es la fracción de 0.6? (1 puntos)

15. Problemas aplicados con fracciones: (4 puntos)

a ) Si comes 2/8 de una pizza y tu amigo 3/8, ¿qué fracción de pizza comieron en total?

b ) Tienes 3/4 de litro de agua. Bebes 1/4 de litro. ¿Cuánta agua te queda? (fracción)

c ) Un pastel se corta en 6 partes iguales. Si te comes 2 partes, ¿qué fracción del pastel comiste?

d ) ¿Cuántas botellas de 1/4 de litro necesitas para llenar 2 litros?