Las Fracciones

Las fracciones son una forma de expresar números que representan partes de un todo. Nos permiten trabajar con cantidades que no son números enteros y son fundamentales para entender conceptos más avanzados en matemáticas.

¿Qué es una Fracción?

Una fracción es un número que expresa una o varias partes iguales de una unidad. Se escribe como:

Donde:

• a es el numerador (partes que tomamos)
• b es el denominador (partes en que se divide el todo)
• La raya horizontal se llama raya de fracción

Ejemplo: Dividir una torta

En

\[\frac{3}{4}\]

, el numerador es 3 (tomamos 3 partes) y el denominador es 4 (la torta está dividida en 4 partes iguales)

Tres Interpretaciones de una Fracción

1. Como Parte de un Todo

representa 3 de las 4 partes iguales en que se ha dividido algo.

2. Como División

3. Como Razón

Expresa la relación entre dos cantidades: "3 de cada 4"

Tipos de Fracciones

Según la Relación entre Numerador y Denominador

Fracciones Equivalentes

Las fracciones equivalentes representan la misma cantidad aunque tengan numeradores y denominadores diferentes.

Amplificación y Simplificación

Amplificación (Hacer Fracciones Equivalentes)

Multiplicamos numerador y denominador por el mismo número:

Ejemplo: Amplificar 3/5

Multiplicamos por 2:

\[\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}\]

Multiplicamos por 3:

\[\frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15}\]

Simplificación (Reducir a su forma más simple)

Dividimos numerador y denominador por el mismo número:

Método paso a paso:

1. Encontrar el MCD del numerador y denominador
2. Dividir ambos por el MCD
3. La fracción resultante es irreducible

Ejemplo: Simplificar 18/24

Paso 1: Descomponer en factores primos

\[18 = 2 \times 3^2\]

\[24 = 2^3 \times 3\]

Paso 2: MCD(18, 24) = 2 × 3 = 6 Paso 3: Dividir por el MCD

\[\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}\]

Comparación de Fracciones

Con el Mismo Denominador

Es mayor la que tiene mayor numerador:

Con Distinto Denominador

Método 1: Denominador Común

Convertimos a fracciones equivalentes con el mismo denominador:

Ejemplo: Comparar 2/3 y 3/4

Paso 1: Encontrar MCM(3, 4) = 12 Paso 2: Convertir a equivalentes

\[\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}\]

\[\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}\]

Paso 3: Comparar Como 8 < 9, entonces

\[\frac{2}{3} < \frac{3}{4}\]

Método 2: Multiplicación Cruzada

Para comparar

y , multiplicamos en cruz:

Si

, entonces

Operaciones con Fracciones

Suma y Resta

Con Igual Denominador

Sumamos o restamos los numeradores y conservamos el denominador:

Ejemplo: 3/8 + 2/8

\[\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8}\]

Ejemplo: 7/12 - 3/12

\[\frac{7}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7 - 3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

Con Distinto Denominador

1. Encontrar el MCM de los denominadores
2. Convertir a fracciones equivalentes
3. Sumar o restar los numeradores
4. Simplificar si es posible

Ejemplo: 1/4 + 2/6

Paso 1: MCM(4, 6) = 12 Paso 2: Convertir

\[\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}\]

\[\frac{2}{6} = \frac{2 \times 2}{6 \times 2} = \frac{4}{12}\]

Paso 3: Sumar

\[\frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}\]

Multiplicación de Fracciones

Multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí:

Ejemplo: 2/3 × 4/5

\[\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}\]

Multiplicación con número entero

\[3 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5}\]

Simplificación Previa

Podemos simplificar antes de multiplicar:

Ejemplo: 4/9 × 3/8

\[\frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{\cancel{4}^1}{9} \times \frac{3}{\cancel{8}^2} = \frac{1 \times 3}{9 \times 2} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}\]

División de Fracciones

Para dividir fracciones, multiplicamos por la fracción recíproca (invertida):

Ejemplo: 3/4 ÷ 2/5

\[\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{4 \times 2} = \frac{15}{8}\]

División por número entero

\[\frac{2}{3} \div 4 = \frac{2}{3} \div \frac{4}{1} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\]

Conversión entre Formas

Fracción Impropia → Número Mixto

1. Dividir numerador entre denominador
2. El cociente es la parte entera
3. El resto es el nuevo numerador
4. El denominador queda igual

Ejemplo: Convertir 11/4 a número mixto

\[11 \div 4 = 2 \text{ con resto } 3\]

\[\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}\]

Número Mixto → Fracción Impropia

Fórmula:

Ejemplo: Convertir 3 2/5

\[3\frac{2}{5} = \frac{(3 \times 5) + 2}{5} = \frac{15 + 2}{5} = \frac{17}{5}\]

Fracción → Decimal

Dividimos numerador entre denominador:

Decimal → Fracción

Decimales Exactos

1. Escribir el decimal como fracción con denominador potencia de 10
2. Simplificar

Ejemplo: Convertir 0.25 a fracción

\[0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}\]

Ejemplo: Convertir 0.6 a fracción

\[0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\]

Aplicaciones Prácticas de Fracciones

En la Cocina

Ajustar una receta

Si una receta pide

\[\frac{3}{4}\]

taza de harina pero quieres hacer la mitad:

\[\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \text{ taza de harina}\]

Doblar cantidades

Ingredientes para 4 personas × 2 = Ingredientes para 8 personas

En Medidas

Repartición Equitativa

Ejemplo: Repartir una pizza

Una pizza se divide en 8 partes iguales. Ana come 3 partes, Luis 2 y María 1. ¿Qué fracción comieron?

\[\frac{3}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]

¿Qué fracción sobra?

\[1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\]