Multiplicación y división de fracciones

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

$$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $$

Reglas básicas

El resultado se puede simplificar.
Si se multiplica por un entero, se escribe el entero como fracción con denominador 1: $k = \frac{k}{1}$.
El producto de una fracción por su inversa es 1: $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}$

$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15} $$

$3 \cdot \frac{2}{7}$

$$ 3 \cdot \frac{2}{7} = \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{7} $$

Simplificar antes de multiplicar

Si hay factores comunes entre un numerador y un denominador, se pueden simplificar antes de multiplicar. Esto facilita los cálculos.

$\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}$

El 4 y el 8 comparten el factor 4; el 3 y el 9 comparten el factor 3:

$$ \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{4 \div 4}{9 \div 3} \cdot \frac{3 \div 3}{8 \div 4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $$

Sin simplificar habríamos obtenido $\frac{12}{72} = \frac{1}{6}$: el mismo resultado.

Multiplicación de números mixtos

Primero se convierte el número mixto en fracción impropia y después se multiplica.

$2\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}$

$$ 2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2} $$

$$ \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} $$

Problema de aplicación

una receta

Una receta para 4 personas necesita $\frac{3}{4}$ de taza de harina. ¿Cuánta harina se necesita para 2 personas (la mitad de la receta)?

$$ \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} $$

Se necesitan $\frac{3}{8}$ de taza de harina.

División de fracciones

Dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inversa. La inversa se obtiene intercambiando numerador y denominador: la inversa de $\dfrac{c}{d}$ es $\dfrac{d}{c}$. Por eso:

$$ \dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c} $$

El divisor no puede ser cero, así que la fracción por la que dividimos debe tener numerador distinto de cero.

dividir dos fracciones

$$ \dfrac{3}{4}\div\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{8}=1\dfrac{7}{8} $$

Se invierte solo la segunda fracción. El resultado mayor que 1 tiene sentido: en $\dfrac{3}{4}$ caben $1\dfrac{7}{8}$ porciones de tamaño $\dfrac{2}{5}$.

dividir una fracción entre un entero

Para dividir entre 3, escribimos $3=\dfrac{3}{1}$ y multiplicamos por su inversa:

$$ \dfrac{5}{6}\div3=\dfrac{5}{6}\div\dfrac{3}{1}=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{18} $$

Dividir una cantidad en 3 partes iguales da una cantidad menor.

dividir un entero entre una fracción

¿Cuántos vasos de $\dfrac{1}{4}$ L se llenan con 2 L?

$$ 2\div\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{4}{1}=8 $$

Se llenan 8 vasos. Este ejemplo muestra por qué dividir por una fracción menor que 1 puede dar un resultado mayor.

Operaciones combinadas

En una expresión con multiplicaciones y divisiones, calcula de izquierda a derecha. Convierte cada división en una multiplicación por la inversa y simplifica al final o durante el cálculo.

una cadena de operaciones

$$ \dfrac{2}{3}\div\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{4} $$

Primero cambiamos la división por multiplicación por $\dfrac{5}{4}$; después multiplicamos y simplificamos.

Errores comunes al dividir

Invertir la primera fracción en vez de la segunda.
Invertir las dos fracciones. Solo se invierte el divisor.
Cambiar una división por multiplicación sin invertir el divisor.
Confundir las reglas: para multiplicar se multiplican numeradores y denominadores; no se invierte nada.
No simplificar la fracción final.

Errores comunes

Sumar numeradores y denominadores en lugar de multiplicarlos.
No simplificar el resultado final.
Olvidar que la simplificación previa se hace en cruz (un numerador con un denominador), nunca entre dos numeradores.