Logaritmos

El logaritmo es la operación inversa a la potencia. Si las potencias responden a la pregunta "¿cuánto vale $a^n$?", los logaritmos responden a "¿a qué potencia hay que elevar $a$ para obtener $x$?".

Definición

$$ \log_a x = n \iff a^n = x $$

Se lee: "el logaritmo en base $a$ de $x$ es $n$".

Condiciones: $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$

Ejemplos básicos
  • $\log_2 8 = 3$ porque $2^3 = 8$
  • $\log_3 9 = 2$ porque $3^2 = 9$
  • $\log_{10} 1000 = 3$ porque $10^3 = 1000$
  • $\log_5 1 = 0$ porque $5^0 = 1$

Tipos de logaritmos

Logaritmo decimal (o de Briggs)

Base 10. Se escribe simplemente como $\log x$ (sin indicar la base):

$$ \log x = \log_{10} x $$
$$ \log 1 = 0, \quad \log 10 = 1, \quad \log 100 = 2, \quad \log 0{,}1 = -1 $$

Logaritmo natural (o neperiano)

Base $e \approx 2{,}71828$. Se escribe como $\ln x$:

$$ \ln x = \log_e x $$
$$ \ln 1 = 0, \quad \ln e = 1, \quad \ln e^2 = 2 $$

Propiedades de los logaritmos

1. Logaritmo del producto

$$ \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y $$
Ejemplo
$$ \log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5 $$

Comprobación: $2^5 = 32 = 4 \cdot 8$ ✓

2. Logaritmo del cociente

$$ \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y $$
Ejemplo
$$ \log_{10} \frac{1000}{10} = \log 1000 - \log 10 = 3 - 1 = 2 $$

3. Logaritmo de una potencia

$$ \log_a x^n = n \cdot \log_a x $$
Ejemplo
$$ \log 10^5 = 5 \cdot \log 10 = 5 \cdot 1 = 5 $$
$$ \ln e^3 = 3 \cdot \ln e = 3 \cdot 1 = 3 $$

4. Logaritmo de una raíz

$$ \log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \cdot \log_a x $$
Ejemplo
$$ \log \sqrt{1000} = \log 1000^{1/2} = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5 $$

Resumen de propiedades

PropiedadFórmula
Producto$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
Cociente$\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y$
Potencia$\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$
Identidad$\log_a a = 1$
Cero$\log_a 1 = 0$

Cambio de base

Para calcular un logaritmo en cualquier base usando la calculadora (que solo tiene $\log$ y $\ln$):

$$ \log_a x = \frac{\log x}{\log a} = \frac{\ln x}{\ln a} $$
Ejemplo: Calcular $\log_2 10$
$$ \log_2 10 = \frac{\log 10}{\log 2} = \frac{1}{0{,}3010} \approx 3{,}32 $$

Comprobación: $2^{3{,}32} \approx 10$ ✓

Ecuaciones logarítmicas

Para resolver ecuaciones con logaritmos, usamos que $\log_a$ y $a^x$ son funciones inversas:

$$ \log_a x = n \implies x = a^n $$
Ejemplo 1: $\log_2 x = 5$
$$ x = 2^5 = 32 $$
Ejemplo 2: $\log(x+1) = 2$
$$ x + 1 = 10^2 = 100 $$
$$ x = 99 $$
Ejemplo 3: $\log x + \log(x-3) = 1$

Aplicando la propiedad del producto:

$$ \log[x(x-3)] = 1 $$
$$ x(x-3) = 10 $$
$$ x^2 - 3x - 10 = 0 $$
$$ (x-5)(x+2) = 0 $$

$x = 5$ o $x = -2$. Como el logaritmo exige $x > 0$ y $x > 3$: $x = 5$

Gráfica de la función logarítmica

La función $y = \log_a x$ tiene estas características:

  • Dominio: $x > 0$
  • Siempre pasa por el punto $(1, 0)$ porque $\log_a 1 = 0$
  • Pasa por $(a, 1)$ porque $\log_a a = 1$
  • Si $a > 1$: creciente; si $0 < a < 1$: decreciente
  • Asíntota vertical en $x = 0$

1. ¿Cuánto vale $\log_3 27$? (1 puntos)

2. ¿Cuánto vale $\log 0{,}01$? (1 puntos)

3. Simplifica: $\log 5 + \log 2$ (1 puntos)

4. Simplifica: $\log_4 64$ (1 puntos)

5. Resuelve: $\log_2(x) = 4$ (1 puntos)