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Logaritmos
El logaritmo es la operación inversa a la potencia. Si las potencias responden a la pregunta "¿cuánto vale \(a^n\)?", los logaritmos responden a "¿a qué potencia hay que elevar \(a\) para obtener \(x\)?".
Definición
\[\log_a x = n \iff a^n = x\]
Se lee: "el logaritmo en base \(a\) de \(x\) es \(n\)".
Condiciones: \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(x > 0\)
Ejemplos básicos
- \(\log_2 8 = 3\) porque \(2^3 = 8\)
- \(\log_3 9 = 2\) porque \(3^2 = 9\)
- \(\log_{10} 1000 = 3\) porque \(10^3 = 1000\)
- \(\log_5 1 = 0\) porque \(5^0 = 1\)
Tipos de logaritmos
Logaritmo decimal (o de Briggs)
Base 10. Se escribe simplemente como \(\log x\) (sin indicar la base):
\[\log x = \log_{10} x\]
\[\log 1 = 0, \quad \log 10 = 1, \quad \log 100 = 2, \quad \log 0{,}1 = -1\]
Logaritmo natural (o neperiano)
Base \(e \approx 2{,}71828\). Se escribe como \(\ln x\):
\[\ln x = \log_e x\]
\[\ln 1 = 0, \quad \ln e = 1, \quad \ln e^2 = 2\]
Propiedades de los logaritmos
1. Logaritmo del producto
\[\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y\]
Ejemplo
\[\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5\]
> Comprobación: \(2^5 = 32 = 4 \cdot 8\) ✓
2. Logaritmo del cociente
\[\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\]
Ejemplo
\[\log_{10} \frac{1000}{10} = \log 1000 - \log 10 = 3 - 1 = 2\]
3. Logaritmo de una potencia
\[\log_a x^n = n \cdot \log_a x\]
Ejemplo
\[\log 10^5 = 5 \cdot \log 10 = 5 \cdot 1 = 5\]
>
\[\ln e^3 = 3 \cdot \ln e = 3 \cdot 1 = 3\]
4. Logaritmo de una raíz
\[\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \cdot \log_a x\]
Ejemplo
\[\log \sqrt{1000} = \log 1000^{1/2} = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5\]
Resumen de propiedades
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Producto | \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\) |
| Cociente | \(\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y\) |
| Potencia | \(\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x\) |
| Identidad | \(\log_a a = 1\) |
| Cero | \(\log_a 1 = 0\) |
Cambio de base
Para calcular un logaritmo en cualquier base usando la calculadora (que solo tiene \(\log\) y \(\ln\)):
\[\log_a x = \frac{\log x}{\log a} = \frac{\ln x}{\ln a}\]
Ejemplo: Calcular \(\log_2 10\)
\[\log_2 10 = \frac{\log 10}{\log 2} = \frac{1}{0{,}3010} \approx 3{,}32\]
> Comprobación: \(2^{3{,}32} \approx 10\) ✓
Ecuaciones logarítmicas
Para resolver ecuaciones con logaritmos, usamos que \(\log_a\) y \(a^x\) son funciones inversas:
\[\log_a x = n \implies x = a^n\]
Ejemplo 1: \(\log_2 x = 5\)
\[x = 2^5 = 32\]
Ejemplo 2: \(\log(x+1) = 2\)
\[x + 1 = 10^2 = 100\]
>
\[x = 99\]
Ejemplo 3: \(\log x + \log(x-3) = 1\)
Aplicando la propiedad del producto:
\[\log[x(x-3)] = 1\]
>
\[x(x-3) = 10\]
>
\[x^2 - 3x - 10 = 0\]
>
\[(x-5)(x+2) = 0\]
> \(x = 5\) o \(x = -2\). Como el logaritmo exige \(x > 0\) y \(x > 3\): \(x = 5\)
Gráfica de la función logarítmica
La función \(y = \log_a x\) tiene estas características:
- Dominio: \(x > 0\)
- Siempre pasa por el punto \((1, 0)\) porque \(\log_a 1 = 0\)
- Pasa por \((a, 1)\) porque \(\log_a a = 1\)
- Si \(a > 1\): creciente; si \(0 < a < 1\): decreciente
- Asíntota vertical en \(x = 0\)