Suma y Resta en el Conjunto ℕ
En el conjunto de los números naturales $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$, realizamos sumas y restas con ciertas reglas y limitaciones importantes.
1. La Suma de Números Naturales
La suma de cualquier par de números naturales siempre da como resultado otro número natural. A esto se le conoce como propiedad de clausura o ley de composición interna:
- Ejemplo: $12 + 35 = 47$. Como $12, 35$ y $47$ son naturales, la operación es completamente interna.
- La suma en $\mathbb{N}$ cumple las propiedades conmutativa, asociativa y, si incluimos el cero, la del elemento neutro.
2. La Resta de Números Naturales
A diferencia de la suma, la resta en $\mathbb{N}$ tiene una restricción muy importante. La resta de dos naturales $a - b$ solo da un número natural si el minuendo es mayor o igual que el sustraendo:
- Casos posibles:
Caso 1: $15 - 8 = 7$ (resultado en $\mathbb{N}$, ya que $15 \ge 8$). Caso 2: $8 - 15 = ?$ (no tiene solución en $\mathbb{N}$, ya que el resultado sería negativo ($-7$), que no es natural). * Caso 3: $8 - 8 = 0$ (si se incluye el $0$ en los naturales $\mathbb{N}_0$, pertenece al conjunto; si no se incluye, tampoco tiene solución).
Por tanto, decimos que la resta no cumple la propiedad de clausura en los números naturales.
3. Operaciones combinadas de Suma y Resta
Cuando tenemos expresiones con sumas y restas combinadas sin paréntesis, las resolvemos de izquierda a derecha:
- Ejemplo: $20 - 8 + 5 - 3$
1. Primero $20 - 8 = 12$ 2. Luego $12 + 5 = 17$ 3. Finalmente $17 - 3 = 14$