Los Números Enteros

Los números enteros extienden el conjunto de los números naturales para incluir el cero y los números negativos. Este conjunto nos permite representar situaciones como temperaturas bajo cero, deudas, niveles bajo el mar, y muchas otras aplicaciones.

Definición

El conjunto de los números enteros se denota con el símbolo ℤ (de la palabra alemana "Zahlen", que significa números) y está formado por:

\(\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \}\)

Subconjuntos de los Números Enteros

Enteros Positivos (ℤ⁺)

Son los números naturales:

\(\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, 4, 5, ... \} = \mathbb{N}\)

Enteros Negativos (ℤ⁻)

Son los opuestos de los números naturales:

\(\mathbb{Z}^- = \{..., -5, -4, -3, -2, -1 \}\)

El Cero

El cero (0) no es positivo ni negativo. Es el elemento neutro.

Conceptos Fundamentales

Valor Absoluto

El valor absoluto de un número entero es su distancia al cero en la recta numérica, sin considerar el signo. Se denota con barras verticales: |a|.

Definición Formal

Para cualquier número entero a:

\(\( |a| = \begin{cases\) a & \text{si } a \geq 0 \\ -a & \text{si } a Ejemplo 1: Problema de temperaturas

Problema: La temperatura al amanecer era de -3°C. Durante el día subió 8°C, pero por la noche bajó 5°C. ¿Cuál fue la temperatura final? Solución:

Temperatura inicial: -3°C

Después de subir 8°C: -3 + 8 = 5°C

Después de bajar 5°C: 5 - 5 = 0°C

Respuesta: La temperatura final fue 0°C

Ejemplo 2: Problema financiero

Problema: Juan tiene una deuda de 50€. Su hermana le da 30€ y él gana 40€ trabajando. ¿Cuál es su situación financiera final? Solución:

Situación inicial: -50€ (deuda)

Después de recibir 30€: -50 + 30 = -20€

Después de ganar 40€: -20 + 40 = 20€

Respuesta: Juan tiene 20€

Ejemplo 3: Cálculo con valor absoluto

Problema: Calcula: |-7| + |3| - |-5| + |0| Solución:

|-7| = 7

|3| = 3

|-5| = 5

|0| = 0

Resultado: 7 + 3 - 5 + 0 = 5

Respuesta: 5

Relación con Otros Conjuntos Numéricos

Los números enteros forman parte de una jerarquía de conjuntos numéricos:

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)

• ℕ ⊂ ℤ: Todo número natural es entero
• ℤ ⊂ ℚ: Todo número entero es racional
• ℚ ⊂ ℝ: Todo número racional es real

Los números enteros nos permiten resolver problemas que no podían resolverse solo con números naturales, especialmente aquellos que involucran "pérdidas", "deudas", o situaciones "opuestas" a las representadas por los naturales.