Números Irracionales
Los números racionales son los que pueden escribirse como fracción $\frac{a}{b}$ con $a$ y $b$ enteros y $b \neq 0$. Sus expresiones decimales son exactas (0,75) o periódicas (0,333...).
Los números irracionales son los números reales que no pueden escribirse como fracción. Su expresión decimal es infinita y no periódica: no termina nunca y no se repite ningún bloque.
Ejemplos clásicos
| Número | Valor aproximado | Nota |
|---|---|---|
| $\sqrt{2}$ | 1,41421356... | Diagonal de un cuadrado de lado 1 |
| $\sqrt{3}$ | 1,73205080... | |
| $\pi$ | 3,14159265... | Cociente entre la longitud y el diámetro de una circunferencia |
| $e$ | 2,71828182... | Base de los logaritmos naturales |
| $\varphi$ | 1,61803398... | Número áureo: $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ |
Raíces cuadradas
Si $n$ es un número natural que no es un cuadrado perfecto, entonces $\sqrt{n}$ es irracional.
- $\sqrt{4} = 2$ y $\sqrt{9} = 3$ son racionales (4 y 9 son cuadrados perfectos).
- $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ y $\sqrt{7}$ son irracionales.
¿Por qué $\sqrt{2}$ es irracional?
Supongamos que $\sqrt{2}$ fuera racional: existiría una fracción irreducible $\frac{p}{q}$ con $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$. Elevando al cuadrado, $p^2 = 2q^2$, luego $p^2$ es par y $p$ también. Si $p = 2k$, entonces $4k^2 = 2q^2$, es decir, $q^2 = 2k^2$, luego $q$ también es par. Pero entonces $\frac{p}{q}$ no sería irreducible: contradicción. Por tanto, $\sqrt{2}$ no puede ser racional.
Decimales: ¿racional o irracional?
| Expresión decimal | Tipo | ¿Por qué? |
|---|---|---|
| 0,5 | Racional | Decimal exacto: $\frac{1}{2}$ |
| 0,333... | Racional | Periódico: $\frac{1}{3}$ |
| 0,142857142857... | Racional | Periódico: $\frac{1}{7}$ |
| 0,1010010001... | Irracional | Infinito y no periódico |
Los números reales
El conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) es la unión de los números racionales y los irracionales. Todo número real es racional o irracional, pero nunca ambos a la vez.
Ejemplo: ¿$\frac{22}{7}$ es irracional?
No. Aunque $\frac{22}{7} \approx 3{,}142857$ se parece a $\pi$, es una fracción, luego es un número racional. Es solo una aproximación de $\pi$, no su valor exacto.
Aproximaciones
Para operar con números irracionales se usan aproximaciones, indicando con cuántas cifras decimales:
Es un error común creer que $1{,}41$ es el valor exacto de $\sqrt{2}$: su expresión decimal exacta es infinita y no periódica.