Números Primos y Compuestos
Todos los números naturales mayores que 1 se pueden clasificar en dos grandes grupos según su cantidad de divisores: primos y compuestos.
1. Números Primos
Un número primo es aquel número natural mayor que 1 que solo tiene dos divisores: el $1$ y él mismo.
- Ejemplo: El número 7 es primo. Sus únicos divisores son $\{1, 7\}$.
- Los primeros números primos son:
- Nota: El número 2 es el único número primo que también es par.
2. Números Compuestos
Un número compuesto es aquel número natural que tiene más de dos divisores. Es decir, además de ser divisible por 1 y por sí mismo, se puede dividir de forma exacta por otros números.
- Ejemplo: El número 12 es compuesto. Sus divisores son $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.
!IMPORTANT
El número 1 no es primo ni compuesto, ya que solo tiene un único divisor (él mismo).
3. La Criba de Eratóstenes
Es un antiguo método ideado por el matemático griego Eratóstenes para encontrar todos los números primos hasta un cierto límite. Consiste en escribir los números y tachar sistemáticamente los múltiplos de los primos ya identificados: 1. Escribimos los números del 2 en adelante. 2. Dejamos el 2 y tachamos todos sus múltiplos (4, 6, 8, 10...). 3. Tomamos el siguiente número no tachado (el 3) y tachamos sus múltiplos (9, 15, 21...). 4. Repetimos el proceso con los siguientes números primos. Los que queden sin tachar son primos.
4. Descomposición en Factores Primos
Cualquier número compuesto se puede expresar de forma única como un producto de números primos. A este proceso se le llama factorización o descomposición factorial.
Método de División Sucesiva:
Dividimos el número por el menor número primo posible. Luego dividimos el cociente obtenido por el mismo u otro primo, y repetimos el proceso hasta llegar a 1.
Ejemplo: Descomponer el número 24
$\begin{array}{r|l} 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$ Por lo tanto, la descomposición es: $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$
Criba de Eratóstenes y Descomposición Factorial
La criba de Eratóstenes es un algoritmo ideado por el matemático griego Eratóstenes de Cirene en el siglo III a.C. Permite encontrar de manera rápida todos los números primos menores que un número natural dado. Funciona eliminando sistemáticamente los múltiplos de cada número primo, dejando solo los números primos intactos.
¿Cómo funciona el algoritmo?
Para encontrar todos los números primos hasta un número límite (por ejemplo, 100), se siguen estos pasos:
1) Crear una lista con todos los números naturales desde el 2 hasta el límite deseado. (El 1 se descarta porque no se considera un número primo).
2) Identificar el primer número no tachado (que será el 2, el primer primo) y marcar todos sus múltiplos (4, 6, 8, 10...).
3) Avanzar al siguiente número que no haya sido tachado y repetir el proceso, marcando todos sus múltiplos.
4) Finalizar el proceso cuando el cuadrado del número que se está evaluando sea mayor que el límite total (por ejemplo, para hallar primos hasta 100, se detiene al llegar al 11, ya que 11² = 121). Los números que queden sin tachar al finalizar el proceso son los números primos.
