Teoría Ejercicios

Operaciones Básicas de la Aritmética

Las operaciones aritméticas fundamentales son los pilares de las matemáticas. Estas cuatro operaciones básicas nos permiten resolver problemas cotidianos y formar la base para conceptos matemáticos más avanzados.

Las Cuatro Operaciones Fundamentales

1. Suma (Adición)

La suma combina dos o más números para obtener un total. Se representa con el símbolo +.

\[a + b = c\]

Donde \(a\) y \(b\) son los sumandos y \(c\) es la suma total.

Términos:
  • Sumandos: Los números que se suman
  • Suma o total: El resultado de la operación
Ejemplo: Compra de frutas

Si compras 5 manzanas y luego 3 más:

\[5 + 3 = 8\]
En total tienes 8 manzanas

2. Resta (Sustracción)

La resta encuentra la diferencia entre dos números. Se representa con el símbolo −.

\[a - b = c\]

Donde \(a\) es el minuendo, \(b\) es el sustraendo y \(c\) es la diferencia.

Términos:
  • Minuendo: El número del que se resta
  • Sustraendo: El número que se resta
  • Diferencia: El resultado
Ejemplo: Dinero gastado

Si tienes 20€ y gastas 8€:

\[20 - 8 = 12\]
Te quedan 12€

3. Multiplicación

La multiplicación es una suma repetida. Se representa con × o ·.

\[a \times b = c\]

Términos:
  • Factores: Los números que se multiplican
  • Producto: El resultado
Ejemplo: Filas de libros

Si tienes 4 estantes con 6 libros cada uno:

\[4 \times 6 = 24\]
En total tienes 24 libros

4. División

La división reparte una cantidad en partes iguales. Se representa con ÷ o /.

\[a \div b = c\]

Términos:
  • Dividendo: El número que se divide
  • Divisor: El número por el que se divide
  • Cociente: El resultado
Ejemplo: Repartición equitativa

Si tienes 12 caramelos y los repartes entre 3 amigos:

\[12 \div 3 = 4\]
Cada amigo recibe 4 caramelos

Propiedades de las Operaciones

Propiedades de la Suma

Propiedad Conmutativa

El orden de los sumandos no altera el resultado:

\[a + b = b + a\]

Ejemplo: Orden de los sumandos

\[5 + 3 = 8\]
\[3 + 5 = 8\]
El resultado es el mismo sin importar el orden

Propiedad Asociativa

El modo de agrupar los sumandos no altera el resultado:

\[(a + b) + c = a + (b + c)\]

Ejemplo: Agrupación diferente

\[(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9\]
\[2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9\]
Agrupemos como queramos, el resultado es 9

Elemento Neutro

El cero es el elemento neutro de la suma. Sumar cero no cambia el número:

\[a + 0 = a\]

Ejemplo: Cero no cambia nada

\[7 + 0 = 7\]
\[15 + 0 = 15\]

Propiedades de la Multiplicación

Propiedad Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto:

\[a \times b = b \times a\]

Ejemplo: Cuadrículas

Una cuadrícula de 4 filas × 6 columnas tiene:

\[4 \times 6 = 24 \text{ casillas}\]
Una cuadrícula de 6 filas × 4 columnas tiene:
\[6 \times 4 = 24 \text{ casillas}\]

Propiedad Asociativa

El modo de agrupar los factores no altera el producto:

\[(a \times b) \times c = a \times (b \times c)\]

Ejemplo: Agrupación en la multiplicación

\[(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24\]
\[2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24\]

Elemento Neutro

El uno es el elemento neutro de la multiplicación:

\[a \times 1 = a\]

Ejemplo: Multiplicar por 1

\[9 \times 1 = 9\]
\[100 \times 1 = 100\]

Propiedad Distributiva

La multiplicación se distribuye sobre la suma y la resta:

\[a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)\]

\[a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c)\]

Ejemplo: Distributiva con suma

Reparte 3 cajas con (4 + 2) = 6 caramelos cada una:

\[3 \times (4 + 2) = (3 \times 4) + (3 \times 2) = 12 + 6 = 18 \text{ caramelos}\]

Jerarquía de las Operaciones (PEMDAS/BODMAS)

Cuando en una expresión aparecen varias operaciones, es fundamental seguir un orden específico:

  1. Paréntesis (y otros símbolos de agrupación)
  2. Exponentes (potencias y raíces)
  3. Multiplicación y División (de izquierda a derecha)
  4. Adición (suma) y Sustracción (resta) (de izquierda a derecha)
PasoOperaciónEjemplo
1Paréntesis
\[(3 + 5) \times 2\]
Primero:
\[3 + 5 = 8\]
2Potencias
\[3 + 2^4\]
Primero:
\[2^4 = 16\]
3Multiplicación/División
\[3 + 2 \times 4\]
Primero:
\[2 \times 4 = 8\]
4Suma/Resta
\[3 + 8\]
Finalmente:
\[11\]

Ejemplos de Aplicación de la Jerarquía

Ejemplo 1: Operación sin paréntesis

\[3 + 2 \times 4\]
Paso 1: Primero la multiplicación
\[2 \times 4 = 8\]
Paso 2: Luego la suma
\[3 + 8 = 11\]

Ejemplo 2: Operación con paréntesis

\[(5 + 3) \times 2 - 4\]
Paso 1: Paréntesis primero
\[(5 + 3) = 8\]
Paso 2: Multiplicación
\[8 \times 2 = 16\]
Paso 3: Resta
\[16 - 4 = 12\]

Ejemplo 3: Múltiples operaciones

\[2 + 3 \times 4 - 5 \div 5\]
Paso 1: Multiplicación y división (izquierda a derecha)
\[3 \times 4 = 12\]
y
\[5 \div 5 = 1\]
Paso 2: Suma y resta (izquierda a derecha)
\[2 + 12 - 1 = 13\]

Algoritmos de las Operaciones

Suma de números de varias cifras

Pasos:

  1. Alinear los números por las columnas (unidades, decenas, centenas, etc.)
  2. Sumar columna por columna, empezando por las unidades
  3. Si la suma de una columna es ≥ 10, "llevar" 1 a la siguiente columna

Ejemplo: 234 + 567

234

> > + 567 > > ----- > > 801 > > Se suma: 4 + 7 = 11 (escribimos 1, llevamos 1) > 3 + 6 + 1 = 10 (escribimos 0, llevamos 1) > 2 + 5 + 1 = 8

Resta de números de varias cifras

Pasos:

  1. Alinear los números (el mayor arriba, el menor abajo)
  2. Restar columna por columna, empezando por las unidades
  3. Si no se puede restar, "pedir prestado" de la columna siguiente

Ejemplo: 1000 - 347

1000

> > - 347 > > ------ > > 653 > > Unidades: 0 - 7 (no se puede). Pedimos prestado: 10 - 7 = 3 > Decenas: 0 - 4 - 1 = (no se puede). Pedimos prestado: 10 - 4 - 1 = 5 > Centenas: 10 - 3 - 1 = 6 > Unidades de mil: 0

Multiplicación de números de varias cifras

Pasos:

  1. Multiplicar el multiplicando por cada cifra del multiplicador
  2. Colocar cada producto parcial desplazado una posición a la izquierda
  3. Sumar todos los productos parciales

Ejemplo: 25 × 12

25 × 12 ----- 50 (25 × 2) 250 (25 × 10) ----- 300

División de números

Pasos:

  1. Determinar cuántas veces cabe el divisor en la primera parte del dividendo
  2. Multiplicar y restar
  3. Bajar la siguiente cifra y repetir
  4. Continuar hasta procesar todas las cifras

Ejemplo: 144 ÷ 12

¿Cuántas veces cabe 12 en 144? 12 × 12 = 144 Resultado: 12 Verificación: 12 × 12 = 144 ✓

Estrategias de Cálculo Mental

Para la Suma

Redondear a números convenientes

\[47 + 35 = (50 - 3) + 35 = 50 + 35 - 3 = 85 - 3 = 82\]

Buscar complementos que formen 10, 100, etc.

\[67 + 33 = (67 + 30) + 3 = 97 + 3 = 100\]

Agrupar decenas

\[23 + 47 = (20 + 40) + (3 + 7) = 60 + 10 = 70\]

Para la Multiplicación

Factorizar

\[25 \times 36 = 25 \times 4 \times 9 = 100 \times 9 = 900\]

Usar la propiedad distributiva

\[23 \times 15 = 23 \times (10 + 5) = 230 + 115 = 345\]

Duplicar y mitad

\[26 \times 50 = 13 \times 100 = 1300\]

Aplicaciones Prácticas

Las operaciones básicas se utilizan constantemente en la vida cotidiana en áreas como:

  • Compras: Calcular el total y el cambio
  • Tiempo: Calcular duraciones y horarios
  • Medidas: Convertir unidades y calcular áreas
  • Finanzas: Calcular intereses y presupuestos
  • Cocina: Ajustar proporciones de recetas

Ejemplo: Compra en el Supermercado

Problema: ¿Cuánto dinero gastó Ana?

Ana va al supermercado y compra:

  • 3 paquetes de pasta a 1.20€ cada uno
  • 2 kg de manzanas a 2.50€ el kg
  • 1 litro de leche a 0.85€
Solución: Pasta:
\[3 \times 1.20 = 3.60\text{€}\]
Manzanas:
\[2 \times 2.50 = 5.00\text{€}\]
Leche:
\[1 \times 0.85 = 0.85\text{€}\]
Total:
\[3.60 + 5.00 + 0.85 = 9.45\text{€}\]
Si Ana paga con un billete de 10€:
\[10.00 - 9.45 = 0.55\text{€ de cambio}\]