Teoría Ejercicios

Las Potencias

Las potencias son una forma abreviada y eficiente de expresar multiplicaciones repetidas del mismo número. Son fundamentales en matemáticas y aparecen constantemente en ciencias, tecnología y vida cotidiana.

¿Qué es una Potencia?

Una potencia es una expresión de la forma

\[a^n\]
, donde:

  • a es la base (el número que se multiplica)
  • n es el exponente (indica cuántas veces se multiplica la base)

Se lee como "a elevado a n".

\[a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ veces}}\]

Ejemplo: Potencia 2³

\[2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\]
Se lee "2 elevado a 3" o "2 al cubo"

Ejemplo: Potencia 5²

\[5^2 = 5 \times 5 = 25\]
Se lee "5 elevado a 2" o "5 al cuadrado"

Casos Especiales

CasoReglaEjemplos
Exponente 1
\[a^1 = a\]
\[7^1 = 7\]
,
\[(-3)^1 = -3\]
Exponente 0
\[a^0 = 1\]
(si
\[a \neq 0\]
)
\[5^0 = 1\]
,
\[100^0 = 1\]
Base 1
\[1^n = 1\]
\[1^5 = 1\]
,
\[1^{100} = 1\]
Base 0
\[0^n = 0\]
(si
\[n > 0\]
)
\[0^3 = 0\]
,
\[0^{10} = 0\]
Caso especial: Exponente 0

\[5^0 = 1\]
\[100^0 = 1\]
Nota: 0⁰ es indeterminado en matemáticas

Propiedades Fundamentales de las Potencias

1. Producto de Potencias de la Misma Base

Al multiplicar potencias con la misma base, sumamos los exponentes:

\[a^m \times a^n = a^{m+n}\]

Ejemplo: 2³ × 2⁴

\[2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\]
O directamente:
\[(2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) = 128\]

2. Cociente de Potencias de la Misma Base

Al dividir potencias con la misma base, restamos los exponentes:

\[a^m \div a^n = a^{m-n}\]
(donde
\[a \neq 0\]
)

Ejemplo: 3⁷ ÷ 3⁴

\[3^7 \div 3^4 = 3^{7-4} = 3^3 = 27\]

3. Potencia de una Potencia

Al elevar una potencia a otra potencia, multiplicamos los exponentes:

\[(a^m)^n = a^{m \times n}\]

Ejemplo: (2³)²

\[(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64\]

4. Potencia de un Producto

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias:

\[(a \times b)^n = a^n \times b^n\]

Ejemplo: (2 × 3)⁴

\[(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4 = 16 \times 81 = 1296\]

5. Potencia de un Cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias:

\[(a \div b)^n = a^n \div b^n\]
(donde
\[b \neq 0\]
)

Ejemplo: (6 ÷ 2)³

\[(6 \div 2)^3 = 6^3 \div 2^3 = 216 \div 8 = 27\]

Exponentes Negativos

Un exponente negativo indica el recíproco de la potencia positiva:

\[a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]
(donde
\[a \neq 0\]
)

Ejemplo: 2⁻³

\[2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125\]

Ejemplo: 5⁻²

\[5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0.04\]

Importante: Los exponentes negativos NO hacen el resultado negativo

\[2^{-2} = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ (positivo)}\]
\[(-2)^2 = 4 \text{ (esto es diferente)}\]

Potencias de 10

Las potencias de 10 forman la base de nuestro sistema decimal:

PotenciaValorNombre
\[10^0\]
1uno
\[10^1\]
10diez
\[10^2\]
100cien
\[10^3\]
1,000mil
\[10^6\]
1,000,000millón
\[10^9\]
1,000,000,000mil millones
\[10^{-1}\]
0.1décimo
\[10^{-2}\]
0.01centésimo
\[10^{-3}\]
0.001milésimo
Patrón de potencias de 10

\[10^n\]
tiene n ceros después del 1
\[10^3 = 1,000\]
(3 ceros)
\[10^6 = 1,000,000\]
(6 ceros)

Notación Científica

¿Qué es?

La notación científica expresa números muy grandes o muy pequeños de forma compacta:

\[a \times 10^n\]

Donde

\[1 \leq a < 10\]
y
\[n\]
es un entero.

Conversión de Números Grandes

  1. Colocar la coma después del primer dígito significativo
  2. Contar cuántos lugares se movió la coma hacia la izquierda
  3. Ese número es el exponente
Ejemplo: 45,600,000

\[45,600,000 = 4.56 \times 10^7\]
La coma se movió 7 lugares hacia la izquierda

Conversión de Números Pequeños

  1. Colocar la coma después del primer dígito diferente de cero
  2. Contar cuántos lugares se movió la coma hacia la derecha
  3. Ese número es el exponente negativo
Ejemplo: 0.000234

\[0.000234 = 2.34 \times 10^{-4}\]
La coma se movió 4 lugares hacia la derecha

Operaciones en Notación Científica

Multiplicación

\[(3.2 \times 10^4) \times (2.1 \times 10^3)\]
\[= (3.2 \times 2.1) \times 10^{4+3}\]
\[= 6.72 \times 10^7\]

División

\[(8.4 \times 10^6) \div (2.1 \times 10^2)\]
\[= (8.4 \div 2.1) \times 10^{6-2}\]
\[= 4.0 \times 10^4\]

Cuadrados y Cubos Notables

Cuadrados Perfectos

nn²nn²
11636
24749
39864
416981
52510100

Cubos Perfectos

\[1^3 = 1, \quad 2^3 = 8, \quad 3^3 = 27, \quad 4^3 = 64, \quad 5^3 = 125, \quad 10^3 = 1000\]

Potencias de 2 (Especialmente Importantes en Informática)

\[2^1 = 2, \quad 2^2 = 4, \quad 2^3 = 8, \quad 2^4 = 16, \quad 2^5 = 32\]
\[2^6 = 64, \quad 2^7 = 128, \quad 2^8 = 256, \quad 2^9 = 512, \quad 2^{10} = 1024\]

Aplicaciones en la Vida Real

En Ciencias

  • Velocidad de la luz:
    \[3 \times 10^8\]
    m/s
  • Distancia a estrellas: Año luz =
    \[9.46 \times 10^{15}\]
    metros
  • Número de Avogadro:
    \[6.022 \times 10^{23}\]
  • Tamaño de virus:
    \[10^{-8}\]
    metros

En Tecnología

  • Almacenamiento: 1 GB =
    \[10^9\]
    bytes
  • Frecuencia de procesador: GHz =
    \[10^9\]
    Hz
  • Nanotecnología:
    \[10^{-9}\]
    metros

En Matemáticas

  • Crecimiento exponencial: Poblaciones, bacterias
  • Geometría: Áreas (a²) y volúmenes (a³)
  • Probabilidad: Combinaciones posibles