| Propiedad | Demostración |
|---|---|
| Producto de potencias de igual base $a^m \cdot a^n=a^{m+n}$ | $a^m \cdot a^n=\underbrace{a\cdots a}_{m}\cdot\underbrace{a\cdots a}_{n}=\underbrace{a\cdots a}_{m+n}=a^{m+n}$ |
| Cociente de potencias de igual base $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ | Si $m\ge n$: $\frac{\underbrace{a\cdots a}_{m}}{\underbrace{a\cdots a}_{n}}=\underbrace{a\cdots a}_{m-n}=a^{m-n}$; se simplifican los factores comunes. Para $m |
| Potencia de una potencia $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ | $(a^m)^n=\underbrace{(a\cdots a)\cdot\ldots\cdot(a\cdots a)}_{n\text{ grupos}}=a^{m\cdot n}$ |
| Potencia de un producto $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ | $(a\cdot b)^n=\underbrace{(a\cdot b)\cdots(a\cdot b)}_{n}=\underbrace{a\cdots a}_{n}\cdot\underbrace{b\cdots b}_{n}=a^n\cdot b^n$ |
| Potencia de un cociente $(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$ | $(\frac{a}{b})^n=\underbrace{\frac{a}{b}\cdots\frac{a}{b}}_{n}=\frac{\underbrace{a\cdots a}_{n}}{\underbrace{b\cdots b}_{n}}=\frac{a^n}{b^n}$, con $b\ne0$. |
| Exponente cero $a^0=1$ | Para $a\ne0$: $\frac{a^m}{a^m}=1$ y, por el cociente de igual base, $\frac{a^m}{a^m}=a^{m-m}=a^0$. Por tanto, $a^0=1$. |
| Exponente uno $a^1=a$ | Por definición, una potencia de exponente 1 tiene un único factor: $a^1=a$. |
| Exponente negativo $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ | Para $a\ne0$: $a^n\cdot a^{-n}=a^{n-n}=a^0=1$. Así, $a^{-n}$ es el inverso de $a^n$: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. |
| Base cero $0^n=0$, si $n>0$ | Por definición, $0^n=\underbrace{0\cdot\ldots\cdot0}_{n\text{ factores}}=0$. |
Operaciones con potencias
Multiplicar potencias de la misma base: se conserva la base y se suman los exponentes. $2^3\cdot2^2=2^{3+2}=2^5=32$.
Dividir potencias de la misma base: se conserva la base y se restan los exponentes. $5^4\div5^2=5^{4-2}=5^2=25$.
Elevar una potencia: se multiplican los exponentes. $(3^2)^3=3^{2\cdot3}=3^6=729$.
Elevar un producto o un cociente: el exponente afecta a cada factor. $(2\cdot4)^2=2^2\cdot4^2=64$ y $(\frac{6}{3})^2=\frac{6^2}{3^2}=4$.
Elevar una base negativa: los paréntesis importan. Un exponente par da resultado positivo y uno impar, negativo: $(-2)^4=16$, pero $(-2)^3=-8$. Sin paréntesis, $-2^2=-(2^2)=-4$.
Sumar o restar potencias: no se suman los exponentes. Primero se calcula cada potencia: $2^2+2^3=4+8=12$, no $2^5$.
Propiedades Fundamentales de las Potencias
1. Producto de Potencias de la Misma Base
Al multiplicar potencias con la misma base, sumamos los exponentes:
$a^m \times a^n = a^{m+n}$
2³ × 2⁴
$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$ O directamente: $(2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) = 128$
2. Cociente de Potencias de la Misma Base
Al dividir potencias con la misma base, restamos los exponentes:
$a^m \div a^n = a^{m-n}$ (donde $a \neq 0$)
3⁷ ÷ 3⁴
$3^7 \div 3^4 = 3^{7-4} = 3^3 = 27$
3. Potencia de una Potencia
Al elevar una potencia a otra potencia, multiplicamos los exponentes:
$(a^m)^n = a^{m \times n}$
(2³)²
$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$
4. Potencia de un Producto
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias:
$(a \times b)^n = a^n \times b^n$
(2 × 3)⁴
$(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4 = 16 \times 81 = 1296$
5. Potencia de un Cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias:
$(a \div b)^n = a^n \div b^n$ (donde $b \neq 0$)
(6 ÷ 2)³
$(6 \div 2)^3 = 6^3 \div 2^3 = 216 \div 8 = 27$
Exponentes Negativos
Un exponente negativo indica el recíproco de la potencia positiva:
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (donde $a \neq 0$)
2⁻³
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125$
5⁻²
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0.04$
Importante: Los exponentes negativos NO hacen el resultado negativo
$2^{-2} = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ (positivo)}$ $(-2)^2 = 4 \text{ (esto es diferente)}$
Potencias de 10
Las potencias de 10 forman la base de nuestro sistema decimal:
| Potencia | Valor | Nombre |
|---|---|---|
| $10^0$ | 1 | uno |
| $10^1$ | 10 | diez |
| $10^2$ | 100 | cien |
| $10^3$ | 1,000 | mil |
| $10^6$ | 1,000,000 | millón |
| $10^9$ | 1,000,000,000 | mil millones |
| $10^{-1}$ | 0.1 | décimo |
| $10^{-2}$ | 0.01 | centésimo |
| $10^{-3}$ | 0.001 | milésimo |
Patrón de potencias de 10
$10^n$ tiene n ceros después del 1 $10^3 = 1,000$ (3 ceros) $10^6 = 1,000,000$ (6 ceros)
Notación Científica
¿Qué es?
La notación científica expresa números muy grandes o muy pequeños de forma compacta:
$a \times 10^n$
Donde $1 \leq a < 10$ y $n$ es un entero.
Conversión de Números Grandes
1. Colocar la coma después del primer dígito significativo 2. Contar cuántos lugares se movió la coma hacia la izquierda 3. Ese número es el exponente
45,600,000
$45,600,000 = 4.56 \times 10^7$ La coma se movió 7 lugares hacia la izquierda
Conversión de Números Pequeños
1. Colocar la coma después del primer dígito diferente de cero 2. Contar cuántos lugares se movió la coma hacia la derecha 3. Ese número es el exponente negativo
0.000234
$0.000234 = 2.34 \times 10^{-4}$ La coma se movió 4 lugares hacia la derecha
Operaciones en Notación Científica
Multiplicación
$(3.2 \times 10^4) \times (2.1 \times 10^3)$ $= (3.2 \times 2.1) \times 10^{4+3}$ $= 6.72 \times 10^7$
División
$(8.4 \times 10^6) \div (2.1 \times 10^2)$ $= (8.4 \div 2.1) \times 10^{6-2}$ $= 4.0 \times 10^4$
Cuadrados y Cubos Notables
Cuadrados Perfectos
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 36 |
| 2 | 4 | 7 | 49 |
| 3 | 9 | 8 | 64 |
| 4 | 16 | 9 | 81 |
| 5 | 25 | 10 | 100 |
Cubos Perfectos
$1^3 = 1, \quad 2^3 = 8, \quad 3^3 = 27, \quad 4^3 = 64, \quad 5^3 = 125, \quad 10^3 = 1000$
Potencias de 2 (Especialmente Importantes en Informática)
$2^1 = 2, \quad 2^2 = 4, \quad 2^3 = 8, \quad 2^4 = 16, \quad 2^5 = 32$ $2^6 = 64, \quad 2^7 = 128, \quad 2^8 = 256, \quad 2^9 = 512, \quad 2^{10} = 1024$
Aplicaciones en la Vida Real
En Ciencias
- Velocidad de la luz: $3 \times 10^8$ m/s
- Distancia a estrellas: Año luz = $9.46 \times 10^{15}$ metros
- Número de Avogadro: $6.022 \times 10^{23}$
- Tamaño de virus: $10^{-8}$ metros
En Tecnología
- Almacenamiento: 1 GB = $10^9$ bytes
- Frecuencia de procesador: GHz = $10^9$ Hz
- Nanotecnología: $10^{-9}$ metros
En Matemáticas
- Crecimiento exponencial: Poblaciones, bacterias
- Geometría: Áreas (a²) y volúmenes (a³)
- Probabilidad: Combinaciones posibles