Una raíz también se puede escribir como potencia
El índice de la raíz pasa a ser el denominador del exponente. Si el radicando está elevado a una potencia, ese exponente pasa a ser el numerador:
$$
\sqrt[n]{a}=a^{1/n} qquad \sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}
$$
En esta lección trabajaremos con bases positivas. Así podemos aplicar estas equivalencias sin preocuparnos por las restricciones de las raíces pares.
Ejemplos:
- $\sqrt{a}=a^{1/2}$.
- $\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}$.
- $\sqrt[5]{x^3}=x^{3/5}$.
Calcular una potencia con exponente fraccionario
Para calcular $a^{m/n}$, puedes calcular primero la raíz de índice $n$ y después elevar el resultado a $m$:
$$
a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m
$$
$64^{1/2}$
$$
64^{1/2}=\sqrt{64}=8
$$
$27^{2/3}$
$$
27^{2/3}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9
$$
$16^{3/4}$
$$
16^{3/4}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8
$$
Simplificar raíces escribiéndolas como potencias
Si puedes, simplifica la fracción del exponente antes de calcular:
$$
81^{2/4}=81^{1/2}=\sqrt{81}=9
$$
También puedes descomponer el radicando en una potencia perfecta y el factor que sobra:
$$
\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}=3\cdot2^{1/3}
$$
Errores comunes
| Error | Incorrecto | Correcto |
|---|---|---|
| Invertir numerador y denominador | $\sqrt[3]{a^2}=a^{3/2}$ | $\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}$ |
| Confundir el índice con el exponente | $\sqrt[4]{a^3}=a^{4/3}$ | $\sqrt[4]{a^3}=a^{3/4}$ |
| No simplificar la fracción | $81^{2/4}=81^{2/4}$ | $81^{2/4}=81^{1/2}=9$ |
Recuerda: en $a^{m/n}$, el denominador $n$ indica el índice de la raíz y el numerador $m$ indica la potencia.