¿Qué es una raíz cuadrada?
La raíz cuadrada de un número $a$ es otro número $b$ tal que $b \cdot b = a$. Se escribe así:
Ejemplo: $\sqrt{25} = 5$ porque $5 \cdot 5 = 25$.
Cuadrados perfectos
Un número es un cuadrado perfecto cuando su raíz cuadrada es un número entero. Los primeros cuadrados perfectos son:
| Número | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Raíz | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Propiedad del producto de raíces
Para simplificar raíces usamos esta propiedad:
Ejemplo: $\sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Pasos para simplificar $\sqrt{n}$
1. Busca el mayor cuadrado perfecto que divida a $n$. 2. Escribe $n$ como producto: $n = \text{cuadrado} \cdot \text{resto}$. 3. Aplica la propiedad del producto y calcula la raíz del cuadrado perfecto. 4. Deja el resultado como $a\sqrt{b}$, con $b$ sin factores cuadrados.
Simplificar $\sqrt{72}$
1. El mayor cuadrado perfecto que divide a 72 es 36, porque $72 = 36 \cdot 2$. 2. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2}$. 3. Como $\sqrt{36} = 6$, queda $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
Simplificar $\sqrt{50}$
1. $50 = 25 \cdot 2$ y $\sqrt{25} = 5$. 2. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
Simplificar $\sqrt{12}$
1. $12 = 4 \cdot 3$ y $\sqrt{4} = 2$. 2. $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Errores comunes
| Error | Incorrecto | Correcto |
|---|---|---|
| Separar la raíz de una suma | $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4 = 7$ | $\sqrt{25} = 5$ |
| No usar el mayor cuadrado perfecto | $\sqrt{72} = 2\sqrt{18}$ | $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ |
| Confundir la raíz con la división | $\sqrt{25} = 12{,}5$ | $\sqrt{25} = 5$ |
Recuerda: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$. La propiedad del producto solo sirve para multiplicaciones.