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Los Números Reales
El conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\) es la unión de todos los conjuntos numéricos que hemos estudiado: naturales, enteros, racionales e irracionales.
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\]
Subconjuntos de los reales
| Símbolo | Nombre | Ejemplos |
|---|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | Naturales | \(1, 2, 3, 4, \ldots\) |
| \(\mathbb{Z}\) | Enteros | \(\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\) |
| \(\mathbb{Q}\) | Racionales | \(\frac{1}{2}, -3, 0{,}75, 0{,}\overline{3}\) |
| \(\mathbb{I}\) | Irracionales | \(\sqrt{2}, \pi, e\) |
| \(\mathbb{R}\) | Reales | todos los anteriores |
Ejemplo: Clasificar números
- \(5\): natural, entero, racional y real.
- \(-7\): entero, racional y real (no natural).
- \(\frac{2}{3}\): racional y real (no entero).
- \(\sqrt{5}\): irracional y real.
La recta real
Cada número real corresponde a exactamente un punto de la recta numérica, y cada punto corresponde a un número real.
\[\cdots \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad \cdots\]
Los racionales e irracionales juntos llenan completamente la recta (no quedan huecos).
Orden en los reales
Para cualquier par de reales \(a\) y \(b\), se cumple exactamente una de estas condiciones:
\[a < b, \quad a = b, \quad a > b\]
Regla del orden:
- Los positivos están a la derecha del cero.
- Los negativos están a la izquierda del cero.
- Un número mayor siempre está más a la derecha.
Ejemplo: Ordenar de menor a mayor
\[-3{,}5, \quad 0, \quad \sqrt{2}, \quad -\frac{1}{2}, \quad 2\]
> > Resultado: \(-3{,}5 < -\frac{1}{2} < 0 < \sqrt{2} < 2\)
Intervalos
Un intervalo es un subconjunto de \(\mathbb{R}\) formado por todos los reales entre dos extremos \(a\) y \(b\).
Tipos de intervalos
| Notación | Nombre | Descripción |
|---|---|---|
| \((a, b)\) | Abierto | No incluye \(a\) ni \(b\) |
| \([a, b]\) | Cerrado | Incluye \(a\) y \(b\) |
| \([a, b)\) | Semiabierto | Incluye \(a\), no \(b\) |
| \((a, b]\) | Semiabierto | No incluye \(a\), sí \(b\) |
| \((a, +\infty)\) | Semirrecta abierta | Todos los mayores que \(a\) |
| \([a, +\infty)\) | Semirrecta cerrada | Todos los mayores o iguales que \(a\) |
| \((-\infty, b)\) | Semirrecta abierta | Todos los menores que \(b\) |
| \((-\infty, +\infty)\) | Recta real | Todos los reales |
Ejemplo: Intervalo \([-2, 5)\)
Incluye todos los reales \(x\) tales que \(-2 \leq x < 5\).
El \(-2\) está incluido (corchete), el \(5\) no (paréntesis).
Operaciones con intervalos
Unión \(\cup\)
Reúne todos los elementos de ambos intervalos:
\[[1, 3] \cup [2, 5] = [1, 5]\]
Intersección \(\cap\)
Solo los elementos comunes:
\[[1, 3] \cap [2, 5] = [2, 3]\]
Valor absoluto
El valor absoluto de un número real \(a\) es su distancia al cero:
\[|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \geq 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{cases}\]
Ejemplos
\[|5| = 5, \quad |-3| = 3, \quad |0| = 0, \quad |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}\]
Propiedad: distancia entre puntos
La distancia entre \(a\) y \(b\) en la recta real es \(|a - b|\).
Ejemplo: Distancia entre \(-3\) y \(5\)
\[|-3 - 5| = |-8| = 8\]