Números Reales

Los Números Reales

El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ es la unión de todos los conjuntos numéricos que hemos estudiado: naturales, enteros, racionales e irracionales.

$$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $$

Subconjuntos de los reales

Símbolo	Nombre	Ejemplos
$\mathbb{N}$	Naturales	$1, 2, 3, 4, \ldots$
$\mathbb{Z}$	Enteros	$\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$
$\mathbb{Q}$	Racionales	$\frac{1}{2}, -3, 0{,}75, 0{,}\overline{3}$
$\mathbb{I}$	Irracionales	$\sqrt{2}, \pi, e$
$\mathbb{R}$	Reales	todos los anteriores

Ejemplo: Clasificar números

$5$: natural, entero, racional y real.
$-7$: entero, racional y real (no natural).
$\frac{2}{3}$: racional y real (no entero).
$\sqrt{5}$: irracional y real.

La recta real

Cada número real corresponde a exactamente un punto de la recta numérica, y cada punto corresponde a un número real.

$$ \cdots \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad \cdots $$

Los racionales e irracionales juntos llenan completamente la recta (no quedan huecos).

Orden en los reales

Para cualquier par de reales $a$ y $b$, se cumple exactamente una de estas condiciones:

$$ a < b, \quad a = b, \quad a > b $$

Regla del orden:

Los positivos están a la derecha del cero.
Los negativos están a la izquierda del cero.
Un número mayor siempre está más a la derecha.

Ejemplo: Ordenar de menor a mayor

$$ -3{,}5, \quad 0, \quad \sqrt{2}, \quad -\frac{1}{2}, \quad 2 $$

Resultado: $-3{,}5 < -\frac{1}{2} < 0 < \sqrt{2} < 2$

Intervalos

Un intervalo es un subconjunto de $\mathbb{R}$ formado por todos los reales entre dos extremos $a$ y $b$.

Tipos de intervalos

Notación	Nombre	Descripción
$(a, b)$	Abierto	No incluye $a$ ni $b$
$[a, b]$	Cerrado	Incluye $a$ y $b$
$[a, b)$	Semiabierto	Incluye $a$, no $b$
$(a, b]$	Semiabierto	No incluye $a$, sí $b$
$(a, +\infty)$	Semirrecta abierta	Todos los mayores que $a$
$[a, +\infty)$	Semirrecta cerrada	Todos los mayores o iguales que $a$
$(-\infty, b)$	Semirrecta abierta	Todos los menores que $b$
$(-\infty, +\infty)$	Recta real	Todos los reales

Ejemplo: Intervalo $[-2, 5)$

Incluye todos los reales $x$ tales que $-2 \leq x < 5$. El $-2$ está incluido (corchete), el $5$ no (paréntesis).

Operaciones con intervalos

Unión $\cup$

Reúne todos los elementos de ambos intervalos:

$$ [1, 3] \cup [2, 5] = [1, 5] $$

Intersección $\cap$

Solo los elementos comunes:

$$ [1, 3] \cap [2, 5] = [2, 3] $$

Valor absoluto

El valor absoluto de un número real $a$ es su distancia al cero:

$$ |a| = \begin{cases} a & \text{si } a \geq 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{cases} $$

Ejemplos

$$ |5| = 5, \quad |-3| = 3, \quad |0| = 0, \quad |-\sqrt{2}| = \sqrt{2} $$

Propiedad: distancia entre puntos

La distancia entre $a$ y $b$ en la recta real es $|a - b|$.

Ejemplo: Distancia entre $-3$ y $5$

$$ |-3 - 5| = |-8| = 8 $$