Teorema del resto: el resto de dividir $P(x)$ entre $x-a$ es $P(a)$. Si ese resto es 0, $x=a$ es raíz y $x-a$ divide a $P(x)$. La regla de Ruffini permite dividir un polinomio entre $x-a$ de forma rápida.
Racionales: se multiplica por el mcm de los denominadores y se comprueba que las soluciones no anulen ningún denominador.
Irracionales: se aísla la raíz, se eleva al cuadrado y se comprueban las soluciones (pueden aparecer raíces extrañas).
Exponenciales: si es posible se igualan las bases; si no, se aplican logaritmos.
Logarítmicas: se usan las propiedades $\log(a\cdot b)=\log a+\log b$, $\log\dfrac{a}{b}=\log a-\log b$, $\log a^n=n\log a$ y la definición $\log_a b=c\Leftrightarrow b=a^c$.
Sistemas no lineales: se resuelven por sustitución. Inecuaciones: se resuelven como ecuaciones y se estudia el signo; la solución se expresa como intervalo.
1. Según el teorema del resto, al dividir el polinomio $P(x)$ entre el binomio $x-a$, el resto de la división es igual a:
(1 punto)
Retroalimentación: El teorema del resto afirma que el resto de dividir $P(x)$ entre $x-a$ coincide con el valor numérico del polinomio en $x=a$, es decir, con $P(a)$. La opción $P(-a)$ correspondería a dividir entre $x+a$, y ni $a$ ni el cociente evaluado tienen relación con el resto.
2. Dado el polinomio $P(x)=2x^3-3x^2+4x-5$, calcula $P(2)$ aplicando la regla de Ruffini.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Aplicamos Ruffini con $a=2$ sobre los coeficientes $2,\,-3,\,4,\,-5$: bajamos el 2 y multiplicamos por 2, $2\cdot 2=4$; $-3+4=1$; $1\cdot 2=2$, $4+2=6$; $6\cdot 2=12$, $-5+12=7$. El resto es 7, así que por el teorema del resto $P(2)=7$.
3. Resuelve la ecuación racional: $\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{4}{x+1}$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Multiplicamos en cruz: $2(x+1)=4(x-1)$, es decir, $2x+2=4x-4$. Despejando, $6=2x$, de donde $x=3$. Comprobación: $\dfrac{2}{3-1}=\dfrac{2}{2}=1$ y $\dfrac{4}{3+1}=\dfrac{4}{4}=1$. La solución es válida porque no anula ningún denominador.
4. Resuelve la ecuación irracional: $\sqrt{2x+3}=x$.
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) Solución válida de la ecuación.
b
)
Apartado b) Solución extraña que se descarta al comprobar.
Retroalimentación: Elevamos al cuadrado ambos miembros: $2x+3=x^2$, de donde $x^2-2x-3=0$, cuyas soluciones son $x=3$ y $x=-1$. Al comprobar: para $x=3$, $\sqrt{2\cdot 3+3}=\sqrt{9}=3$, solución válida; para $x=-1$, $\sqrt{2\cdot(-1)+3}=\sqrt{1}=1\neq -1$, solución extraña. La única solución es $x=3$.
5. Resuelve la ecuación exponencial: $2^{x-1}=8$.
(1 punto)
Retroalimentación: Escribimos 8 como potencia de 2: $8=2^3$. Entonces $2^{x-1}=2^3$ y, al tener la misma base, igualamos los exponentes: $x-1=3$, de donde $x=4$.
6. Resuelve la ecuación logarítmica: $\log_3 x-\log_3(x-2)=1$.
(1 punto)
Retroalimentación: Aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente: $\log_3\dfrac{x}{x-2}=1$. Por definición de logaritmo, $\dfrac{x}{x-2}=3^1=3$, de donde $x=3x-6$, luego $2x=6$ y $x=3$. Comprobación: $\log_3 3-\log_3 1=1-0=1$. Válida.
7. Resuelve el sistema no lineal formado por las ecuaciones $x^2+y^2=25$ y $x-y=1$.
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) Valor de $x$ cuando $y=3$.
b
)
Apartado b) Valor de $x$ cuando $y=-4$.
Retroalimentación: Despejamos $y=x-1$ y sustituimos en la primera ecuación: $x^2+(x-1)^2=25$, es decir, $x^2+x^2-2x+1=25$, luego $2x^2-2x-24=0$, que dividiendo entre 2 queda $x^2-x-12=0$. Sus soluciones son $x=4$ (con $y=3$) y $x=-3$ (con $y=-4$).
8. La solución de la inecuación $2x-3\le x+4$ es:
(1 punto)
Retroalimentación: Despejamos: $2x-3\le x+4\Rightarrow 2x-x\le 4+3\Rightarrow x\le 7$. La solución es el intervalo $(-\infty,7]$, con el 7 incluido porque la desigualdad es no estricta ($\le$).