Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es toda ecuación que, tras simplificar, puede escribirse en la forma:

$$ ax^2 + bx + c = 0, \qquad \text{con } a \neq 0 $$

Los coeficientes son $a$ (término cuadrático), $b$ (término lineal) y $c$ (término independiente).

Fórmula general

Las soluciones se obtienen con la fórmula cuadrática:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
resuelto: $x^2 - 5x + 6 = 0$

1. Identificamos $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$. 2. Aplicamos la fórmula: $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$. 3. Soluciones: $x = \frac{5 + 1}{2} = 3$ y $x = \frac{5 - 1}{2} = 2$. 4. Comprobación: $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ ✓ y $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ ✓

El discriminante

El discriminante es $\Delta = b^2 - 4ac$ y determina el número de soluciones reales:

DiscriminanteNº de soluciones
$\Delta > 0$Dos soluciones reales distintas
$\Delta = 0$Una solución real doble: $x = -\frac{b}{2a}$
$\Delta < 0$Ninguna solución real
resuelto: $x^2 + 4x + 4 = 0$

1. $\Delta = 16 - 16 = 0$: hay una solución doble. 2. $x = \frac{-4 \pm 0}{2} = -2$. 3. Solución doble: $x = -2$, pues $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$.

resuelto: $x^2 + 2x + 5 = 0$

1. $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$. 2. La ecuación no tiene soluciones reales (en el curso de 1º de Bachillerato no trabajamos con raíces de números negativos).

Ecuaciones incompletas

Si falta el término lineal ($b = 0$), se despeja directamente:

$$ ax^2 + c = 0 \Rightarrow x^2 = -\frac{c}{a} \Rightarrow x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} $$

Si falta el término independiente ($c = 0$), se saca factor común:

$$ ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax + b) = 0 \Rightarrow x = 0 \; \text{ o } \; x = -\frac{b}{a} $$
resuelto: $3x^2 - 12 = 0$

$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Comprobación: $3 \cdot 4 - 12 = 0$ ✓

resuelto: $x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 3$. Comprobación: $0 - 0 = 0$ ✓ y $9 - 9 = 0$ ✓

Suma y producto de las raíces

Si $x_1$ y $x_2$ son las raíces de $ax^2 + bx + c = 0$, se cumple:

$$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $$

Esto permite factorizar: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

resuelto: $2x^2 - 8x + 6 = 0$

1. Suma de raíces: $x_1 + x_2 = -\frac{-8}{2} = 4$; producto: $x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{2} = 3$. 2. Efectivamente las raíces son $x = 1$ y $x = 3$: $1 + 3 = 4$ y $1 \cdot 3 = 3$. 3. Factorización: $2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 1)(x - 3)$.

Errores comunes

ErrorIncorrectoCorrecto
Olvidar el doble signo$x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$$x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$
Identificar mal los coeficientesen $2x^2 - x + 1$, tomar $b = 1$$b = -1$
Dividir por la incógnita$x^2 = 3x \Rightarrow x = 3$ (pierde $x = 0$)$x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 3$
Concluir soluciones con $\Delta < 0$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2}$No hay soluciones reales

Consejo: calcula siempre primero el discriminante: te dice cuántas soluciones esperar antes de aplicar la fórmula.

1. Las soluciones de $x^2 - 3x + 2 = 0$ son: (1 puntos)

2. Calcula el discriminante de la ecuación $x^2 - 6x + 9 = 0$. (1 puntos)

3. La ecuación $x^2 + x + 1 = 0$: (1 puntos)

4. ¿Cuánto vale la suma de las raíces de la ecuación $2x^2 - 8x + 6 = 0$? (1 puntos)

5. Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas: (1 puntos)

a ) Solución positiva de $x^2 - 9 = 0$

b ) Solución positiva de $2x^2 - 8 = 0$

c ) Solución doble de $x^2 - 10x + 25 = 0$

6. Las soluciones de la ecuación $(x - 3)(x + 2) = 0$ son: (1 puntos)

7. Si $\Delta = 0$ en la ecuación $3x^2 + bx + c = 0$ y la solución doble es $x = 2$, ¿cuánto vale $b$? (1 puntos)

8. ¿Cuánto vale el producto de las raíces de $x^2 - 7x + 10 = 0$? (1 puntos)