La derivada de $f$ en $a$ mide la tasa de variación instantánea y coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, f(a))$:
Aplicaciones: si $f'(x)>0$ la función crece y si $f'(x)<0$ decrece. Los puntos donde $f'(x)=0$ son candidatos a extremos relativos (con $f''(x)>0$ hay mínimo y con $f''(x)<0$ máximo). La recta tangente en $x=a$ es $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.
1. Geométricamente, la derivada de una función $f$ en un punto $x=a$ representa:
(1 punto)
Retroalimentación: La derivada de $f$ en $a$ se define como $f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ y su valor coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, f(a))$. Las demás opciones describen la recta secante, el área bajo la curva (que se estudia con la integral) o un máximo de la función, y no corresponden a la interpretación geométrica de la derivada.
2. Dada la función $f(x)=3x^2-5x+2$, calcula el valor de $f'(2)$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Derivamos término a término: $f'(x)=3\cdot 2x-5=6x-5$. Evaluamos en $x=2$: $f'(2)=6\cdot 2-5=12-5=7$.
3. Calcula $f'(1)$ para la función $f(x)=(x^2+1)(2x-3)$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Aplicamos la regla del producto $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$ con $f(x)=x^2+1$ y $g(x)=2x-3$. Como $f'(x)=2x$ y $g'(x)=2$, tenemos $f'(x)=2x(2x-3)+(x^2+1)\cdot 2=4x^2-6x+2x^2+2=6x^2-6x+2$. En $x=1$: $f'(1)=6-6+2=2$.
4. Calcula $f'(2)$ para la función $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Usamos la regla del cociente: $f'(x)=\dfrac{1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^2}=\dfrac{x-1-x-1}{(x-1)^2}=\dfrac{-2}{(x-1)^2}$. Evaluamos en $x=2$: $f'(2)=\dfrac{-2}{(2-1)^2}=\dfrac{-2}{1}=-2$.
5. ¿Cuál es la derivada de la función $f(x)=e^{2x}$?
(1 punto)
Retroalimentación: Es una aplicación de la regla de la cadena: si $f(x)=e^{u(x)}$, entonces $f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x)$. Aquí $u(x)=2x$ y $u'(x)=2$, por lo que $f'(x)=e^{2x}\cdot 2=2e^{2x}$. La opción $e^{2x}$ olvida derivar $2x$; $2xe^{2x-1}$ aplica erróneamente la regla de la potencia a una exponencial, y $\dfrac{1}{2}e^{2x}$ es el resultado de dividir en vez de multiplicar por $u'(x)$.
6. Halla la recta tangente a la gráfica de $f(x)=x^2-3x+2$ en el punto de abscisa $x=1$.
(1.5 puntos)
a
)
Pendiente de la recta tangente.
b
)
Ordenada en el origen de la recta tangente.
Retroalimentación: El punto de tangencia es $(1, f(1))=(1,0)$, ya que $f(1)=1-3+2=0$. La derivada es $f'(x)=2x-3$, así que la pendiente es $m=f'(1)=2-3=-1$. La recta tangente es $y-0=-1(x-1)$, que simplificada queda $y=-x+1$; por tanto, su ordenada en el origen es $1$.
7. La función $f(x)=x^3-3x$ alcanza un mínimo relativo en $x=$
(1 punto)
Retroalimentación: Calculamos $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$. Los puntos críticos son $x=1$ y $x=-1$. Con la segunda derivada $f''(x)=6x$: $f''(1)=6>0$, luego en $x=1$ hay un mínimo relativo (en $x=-1$ se tiene $f''(-1)=-6<0$ y hay un máximo relativo).
8. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba y su altura (en metros) sigue la ley $h(t)=-5t^2+20t+25$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula:
(1 punto)
a
)
Altura máxima que alcanza la pelota (en metros).
b
)
Tiempo (en segundos) que tarda en volver al suelo.
Retroalimentación: La altura máxima se alcanza cuando $h'(t)=0$: $h'(t)=-10t+20=0\Rightarrow t=2$ s. Entonces $h(2)=-5\cdot 2^2+20\cdot 2+25=-20+40+25=45$ m. La pelota vuelve al suelo cuando $h(t)=0$: $-5t^2+20t+25=0\Rightarrow t^2-4t-5=0\Rightarrow (t-5)(t+1)=0$, de donde $t=5$ s (descartamos $t=-1$ s, que no tiene sentido físico).